高三數學12月月考試題 理5

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2016-2017學年鄭州市第47中學高三數學（理）12月試卷 一、選擇題(本大題共12小題，共60分) 1.已知集合P={0，1}，M={x|xP}，則集合M的子集個數為 （　?。? A.16B.32C.8D.64 2.下列命題中，真命題是 （　?。? A.?x∈R，2x＞x2B.?x∈R，ex＜0 C.若a＞b，c＞d，則a-c＞b-dD.ac2＜bc2是a＜b的充分不必要條件 3.已知命題p：x0＞0，2x0≥3，則￢p是 （　?。? A.B.C.D. 4.給出下列四個命題： ①的對稱軸為； ②函數的最大值為2； ③函數f（x）=sinx?cosx-1的周期為2π； ④函數上的值域為． 其中正確命題的個數是（　?。? A.1個B.2個C.3個D.4個 5.以下四個命題中，正確的個數是（　　） ①命題“若f（x）是周期函數，則f（x）是三角函數”的否命題是“若f（x）是周期函數，則f（x）不是三角函數”； ②命題“存在x∈R，x2-x＞0”的否定是“對于任意x∈R，x2-x＜0”； ③在△ABC中，“sinA＞sinB”是“A＞B”成立的充要條件； ④若函數f（x）在（2015，2017）上有零點，則一定有f（2015）?f（2017）＜0． A.0B.1C.2D.3 6.已知函數，則y=f（x）的圖象大致為（　　） A.B.C.D. 7.在R上可導的函數f(x)=，當x∈(0，1)時取得極大值．當x∈(1，2)時取得極小值，則的取值范圍是(　　) A.B.C.D. 8.函數的圖象向左平移個單位，再將圖象上各點的橫坐標壓縮為原來的，那么所得圖象的一條對稱軸方程為（　?。? A. B. C. D. 9.一個物體的運動方程為s=（2t+3）2，其中s的單位是米，t的單位是秒，那么物體在第2秒末的瞬時速度是（　　） A.20米/秒B.28米/秒C.14米/秒D.16米/秒 10.已知函數f（x）=，若f（-1）=2f（a），則a的值等于（　　） A.或-B.C.-D. 11.已知函數f（x）=aln（x+1）-x2，在（1，2）內任取兩個實數x1，x2（x1≠x2），若不等式＞1恒成立，則實數a的取值范圍為（　　） A.（28，+∞）B.[15，+∞）C.[28，+∞）D.（15，+∞） 12.已知y=f（x）是（0，+∞）上的可導函數，滿足（x-1）[2f（x）+xf′（x）]＞0（x≠1）恒成立，f（1）=2，若曲線f（x）在點（1，2）處的切線為y=g（x），且g（a）=2016，則a等于（　?。? A.-500.5B.-501.5C.-502.5D.-503.5 二、填空題(本大題共4小題，共20分) 13.函數y=3sin（2x+），x∈[0，π]的單調遞減區(qū)間為 ______ ． 14.設角α的終邊過點P（-4t，3t）（t∈R，且t＞0），則2sinα+cosα= ______ ． 15.如圖，在平面直角坐標系xOy中，將直線y=與直線x=1及x軸所圍成的圖形旋轉一周得到一個圓錐，圓錐的體積V圓錐=π（）2dx=x3|=． 據此類推：將曲線y=x2與直線y=4所圍成的圖形繞y軸旋轉一周得到一個旋轉體，該旋轉體的體積V= ______ ． 16.= ______ ． 三、解答題(本大題共6小題，共70分) 17.已知直線x=與直線x=是函數的圖象的兩條相鄰的對稱軸． （1）求ω，φ的值； （2）若，f（α）=-，求sinα的值． 18.已知函數f（x）=|x-2| （Ⅰ）解不等式；f（x）+f（2x+1）≥6； （Ⅱ）已知a+b=1（a，b＞0）．且對于x∈R，f（x-m）-f（-x）≤恒成立，求實數m的取值范圍． 19.在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為（t是參數），以原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ=8cos（θ-）． （1）求曲線C2的直角坐標方程，并指出其表示何種曲線； （2）若曲線C1與曲線C2交于A，B兩點，求|AB|的最大值和最小值． 20.已知函數f（x）=x3+ax2+bx+a2（ab∈R） （1）若函數f（x）在x=1處有極值10，求b的值； （2）若對任意a∈[-4，+∞），f（x）在x∈[0，2]上單調遞增，求b的取值范圍． 21.已知函數f（x）=Asin（ωx+?）（A＞0且＞0，0＜?＜）的部分圖象，如圖所示． （1）求函數f（x）的解析式； （2）求函數f（x）的單調遞增區(qū)間； （3）若方程f（x）=a在（0，）上有兩個不同的實根，試求a的取值范圍． 22.已知函數f（x）=alnx+bx2+x，（a，b∈R） （Ⅰ）若函數f（x）在x1=1，x2=2處取得極值，求a，b的值，并求出極值 （Ⅱ）若函數f（x）在（1，f（1））處的切線的斜率為1，存在x∈[1，e]，使得f（x）-x≤（a+2）（-x2+x）成立，求實數a的取值范圍． 答案和解析 【答案】 1.A2.D3.D4.B5.B6.A7.A8.A9.B10.A11.C12.C 13.[，] 14. 15.8π 16.cosα 17.解：（1）因為直線、是函數f（x）=sin（ωx+φ）圖象的兩條相鄰的對稱軸， 所以，函數的最小正周期T=2=2π，從而， 因為函數f（x）關于直線對稱． 所以，即．…（5分） 又因為， 所以．…（6分） （2）由（1），得．由題意，．…（7分） 由，得． 從而．…（8分） ，…（10分） =．…（12分） 18.解：（Ⅰ），（2分） 當時，由3-3x≥6，解得x≤-1； 當時，x+1≥6不成立； 當x＞2時，由3x-3≥6，解得x≥3． 所以不等式f（x）≥6的解集為（-∞，-1]∪[3，+∞）．…（5分） （Ⅱ）∵a+b=1（a，b＞0）， ∴（6分） ∴對于?x∈R，恒成立等價于：對?x∈R，|x-2-m|-|-x-2|≤9， 即[|x-2-m|-|-x-2|]max≤9（7分） ∵|x-2-m|-|-x-2|≤|（x-2-m）-（x+2）|=|-4-m| ∴-9≤m+4≤9，（9分） ∴-13≤m≤5（10分） 19.解：（1）對于曲線C2有，即， 因此曲線C2的直角坐標方程為，其表示一個圓．（5分） （2）聯(lián)立曲線C1與曲線C2的方程可得：， ∴t1+t2=2sinα，t1t2=-13 ， 因此sinα=0，|AB|的最小值為，sinα=1，最大值為8．（10分） 20.解：（1）f′（x）=3x2+2ax+b， ∵f（x）在x=1處有極值10， ∴解得或， 當a=4，b=-11時，f′（x）=3x2+8x-11，其中△＞0，所以函數有極值點， 當a=-3，b=3時，f′（x）=3（x-1）2≥0，所以函數無極值點， ∴b的值為-11； （2）解法一：f（x）=3x2+2ax+b≥0對任意的a∈[-4，+∞），x∈[0，2]都成立， 則F（a）=2xa+3x2+b≥0對任意的a∈[-4，+∞），x∈[0，2]都成立， ∵x≥0，F(xiàn)（a）在a∈[-4，+∞）單調遞增或為常數函數， 所以得F（a）min=F（-4）=-8x+3x2+b≥0對任意的x∈[0，2]恒成立， 即b≥（-3x2+8x）max，又-3x2+8x=-3（x-）2+≤， 當x=時（-3x2+8x）max=，得b≥； 解法二：f（x）=3x2+2ax+b≥0對任意的a∈[-4，+∞），x∈[0，2]都成立 即b≥-3x2-2ax對任意的a∈[-4，+∞），x∈[0，2]都成立， 即b≥（-3x2-2ax）max．令F（x）=-3x2-2ax=-3（x+）2+， ①當a≥0時，F(xiàn)（x）max=0，∴b≥0； ②當-4≤a＜0時，F(xiàn)（x）max=， ∴b≥． 又∵（）MAX=， ∴b≥． 21.解：（1）由圖象易知函數f（x）的周期為 T=4（-）=2π， A=1， 所以ω=1； 由圖象知f（x）過點， 則， ∴， 解得； 又∵，∴?=， ∴；…4分 （2）由， 得， ∴f（x）的單調遞增區(qū)間為[-+2kπ，+2kπ]，k∈Z；…8分 （3）方程f（x）=a在（0，）上有兩個不同的實根， 等價于y=f（x）與y=a的圖象在（0，）上有兩個交點， 在圖中作y=a的圖象，如圖所示； 由函數f（x）=sin（x+）在（0，）上的圖象知， 當x=0時，f（x）=， 當x=時，f（x）=0， 由圖中可以看出有兩個交點時，a∈（-1，0）∪（，1）．…12分 22.解：（Ⅰ）函數f（x）=alnx+bx2+x的導數為f′（x）=+bx+1， 由在x1=1，x2=2處取得極值，可得f′（1）=a+b+1=0，f′（2）=a+2b+1=0， 解得a=-，b=-． 此時f（x）=-lnx-x2+x，f′（x）=--x+1=- x （0，1） 1 （1，2） 2 （2，+∞） f′（x） - 0 + 0 - f（x） 減 極小 增 極大 減 所以，在x=1取得極小值，在x=2取得極大值-ln2； （Ⅱ）若函數f（x）在（1，f（1））處的切線的斜率為1， 則f′（1）=a+b+1=1，則a=-b， 故f（x）=alnx-x2+x， 若f（x）-x=alnx--x2≤（a+2）（-x2+x）成立， 則a（x-lnx）≥x2-2x成立， 由x∈[1，e]，可得lnx≤1≤x，且等號不能同時取， 所以lnx＜x，即x-lnx＞0． 因而a≥（x∈[1，e]）． 令g（x）=（x∈[1，e]） 又g′（x）=， 當x∈[1，e]時，x-1≥0，lnx≤1，x+2-2lnx≥0， 從而g′（x）≥0（僅當x=1時取等號），所以g（x）在[1，e]上為增函數． 故g（x）的最大值為g（1）=-1， 則a的取值范圍是[-1，+∞）． 【解析】 1. 解：∵集合P={0，1}，M={x|x?P}，含有n個元素的集合的子集共有：2n個， ∴集合M有4個元素{?，{0}，{1}，{0，1}}，4個元素的集合子集個數24=16． 故選：A． 根據子集的含義知，集合M有4個元素，4個元素的集合子集個數24=16，即可得到結論． 本題主要考查了集合的子集，一般地，含有n個元素的集合的子集共有：2n個． 2. 解：A當x=2時，2x=x2，故錯誤； B根據指數函數性質可知對任意的x，都有ex＞0，故錯誤； C若a＞b，c＞d，根據同向可加性只能得出a+c＞b+d，故錯誤； Dac2＜bc2，可知c≠0，可推出a＜b，但反之不一定，故是充分不必要條件，故正確． 故選D． A，B，C 根據特殊值法和指數函數的性質直角判斷即可； D主要是對c=0特殊情況的考查． 考查了選擇題中特殊值法的應用和充分不必要條件的概念．屬于基礎題型，應熟練掌握． 3. 解：命題是特稱命題，則命題的否定是 故選：D． 根據特稱命題的否定是全稱命題進行求解即可． 本題主要考查含有量詞的命題的否定，比較基礎． 4. 解：由=kπ+，k∈z，解得x=?π+，k∈z，故的對稱軸為，故①正確． 由于函數=2（）=2sin（x+），其最大值等于2，故②正確． 由于函數f（x）=sinx?cosx-1=sin2x-1，它的周期為T==π，故③不正確． 由0≤x≤可得≤2x+≤，故當2x+=時，有最小值， 故當2x+=時，有最大值1，故函數上的值域為[，1]． 故選B． 考查的對稱性可得①正確．利用兩角和的正弦公式化簡函數的解析式為2sin（x+），其最大值等于2，故②正確．根據函數f（x）=sin2x-1的周期為T=π，故③不正確．根據≤2x+≤，可得函數上的值域為[，1]，故④不正確． 本題主要考查兩角和的正弦公式，正弦函數的定義域、周期性，奇偶性和對稱性，判斷命題的真假，屬于中檔題． 5. 解：①命題“若f（x）是周期函數，則f（x）是三角函數”的否命題是“若f（x）不是周期函數，則f（x）不是三角函數”；故①錯誤， ②命題“存在x∈R，x2-x＞0”的否定是“對于任意x∈R，x2-x≤0”；故②錯誤 ③在△ABC中，“sinA＞sinB”等價為a＞b，則等價為“A＞B”，故，“sinA＞sinB”是“A＞B”成立的充要條件；故③正確， ④若函數f（x）在（2015，2017）上有零點，則一定有f（2015）?f（2017）＜0．錯誤，當f（2015）?f（2017）＞0也可能，故④錯誤． 故選：B ①根據命題的否命題的定義進行判斷， ②根據含有量詞的命題的否定進行判斷， ③根據充分條件和必要條件的定義進行判斷， ④根據將函數零點的定義進行判斷． 本題主要考查命題的真假判斷，涉及的知識點較多，綜合性較強，但難度不大 6. 解：令g（x）=x-lnx-1，則， 由g（x）＞0，得x＞1，即函數g（x）在（1，+∞）上單調遞增， 由g（x）＜0得0＜x＜1，即函數g（x）在（0，1）上單調遞減， 所以當x=1時，函數g（x）有最小值，g（x）min=g（0）=0， 于是對任意的x∈（0，1）∪（1，+∞），有g（x）≥0，故排除B、D， 因函數g（x）在（0，1）上單調遞減，則函數f（x）在（0，1）上遞增，故排除C， 故選A． 利用函數的定義域與函數的值域排除B，D，通過函數的單調性排除C，推出結果即可． 本題考查函數的單調性與函數的導數的關系，函數的定義域以及函數的圖形的判斷，考查分析問題解決問題的能力． 7. 試題分析：由題意知f′(x)=x2+ax+2b，結合題設條件由此可以導出的取值范圍． ∵f(x)=，∴f′(x)=x2+ax+2b， 設x2+ax+2b=(x-x1)(x-x2)，(x1＜x2) 則x1+x2=-a，x1x2=2b， 因為函數f(x)當x∈(0，1)時取得極大值，x∈(1，2)時取得極小值 ∴0＜x1＜1，1＜x2＜2， ∴1＜-a＜3，0＜2b＜2，-3＜a＜-1，0＜b＜1．∴-2＜b-2＜-1，-4＜a-1＜-2， ∴， 故選A． 8. 解：將函數的圖象向左平移個單位，得到函數y=sin（x++）=cosx的圖象， 再將圖象上各點的橫坐標壓縮為原來的，得到函數y=cos2x的圖象， 由2x=kπ，得x=kπ，k∈Z, ∴所得圖象的對稱軸方程為x=kπ，k∈Z，k=-1時，x=-, 故選A. 本題主要考查了三角函數圖象的平移和伸縮變換，y=Asin（ωx+φ）型函數的性質，先利用三角函數圖象的平移和伸縮變換理論求出變換后函數的解析式，再利用余弦函數圖象和性質，求所得函數的對稱軸方程，即可得正確選項. 9. 解：∵s=s（t）=（2t+3）2， ∴s′（t）=4（2t+3）， 則物體在2秒末的瞬時速度s′（2）=28米/秒， 故選：B． 求函數的導數，利用導數的物理意義即可得到結論． 本題主要考查導數的計算，利用導數的物理意義是解決本題的關鍵，比較基礎． 10. 解：f（-1）=（-1）2=1， 則由f（-1）=2f（a），得1=2f（a）， 即f（a）=， 若a＞0，由f（a）=得log3a=，得a=， 若a＜0，由f（a）=得a2=，得a=-或（舍）， 綜上a的值等于或-， 故選：A． 利用分段函數的表達式建立方程關系進行求解即可． 本題主要考查分段函數的應用，根據條件討論a的取值，解方程是解決本題的關鍵． 11. 解：因實數x1，x2在區(qū)間（1，2）內， 故x1+1和x2+1在區(qū)間（2，3）內． 不等式＞1恒成立， 即為＞0， 即有函數y=f（x）-x在（2，3）內遞增． 函數y=f（x）-x=aln（x+1）-x2-x的導數為y′=-2x-1， 即有y′≥0在（2，3）恒成立． 即a≥（2x+1）（x+1）在（2，3）內恒成立． 由于二次函數y=2x2+3x+1在[2，3]上是單調增函數， 故x=3時，y=2x2+3x+1在[2，3]上取最大值為28，即有a≥28， 故答案為[28，+∞）． 故選：C． 求得x1+1和x2+1在區(qū)間（2，3）內，將原不等式移項，可得＞0，即有函數y=f（x）-x在（2，3）內遞增．求得函數y的導數，可得y′≥0在（2，3）恒成立，即a≥2x2+3x+1在（2，3）內恒成立，求出函數y=2x2+3x+1在[2，3]上的最大值即可． 本題考查了導數的應用：判斷單調性，考查函數的單調性的運用，考查轉化思想，將不等式轉化為函數的單調性是解題的關鍵． 12. 解：令F（x）=x2f（x）， 由（x-1）[2f（x）+xf′（x）]＞0（x≠1），可得 x＞1時，2f（x）+xf′（x）＞0即2xf（x）+x2f′（x）＞0，即F（x）遞增； 當0＜x＜1時，2f（x）+xf′（x）＜0即2xf（x）+x2f′（x）＜0，即F（x）遞減． 即有x=1處為極值點，即為F′（1）=0，即有2f（1）+f′（1）=0， 由f（1）=2，可得f′（1）=-4， 曲線f（x）在點（1，2）處的切線為y-2=-4（x-1）， 即有g（x）=6-4x， 由g（a）=2016，即有6-4a=2016，解得a=-502.5． 故選：C． 令F（x）=x2f（x），討論x＞1，0＜x＜1時，F(xiàn)（x）的單調區(qū)間和極值點，可得F′（1）=0，即有2f（1）+f′（1）=0， 由f（1）=2，可得f′（1）=-4，求得f（x）在（1，2）處的切線方程，再由g（a）=2016，解方程可得a的值． 本題考查導數的運用：求切線的斜率，考查導數的運算法則的逆用，以及函數的單調區(qū)間和極值點，考查運算能力，屬于中檔題． 13. 解：y=3sin（2x+），k∈Z， 令2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z， 解得：kπ+≤x≤kπ+，k∈Z， 當k=0時，≤x≤， x∈[0，π]的單調遞減區(qū)間為：[，]， 故答案為：[，]． 根據三角函數的單調性，求得y=3sin（2x+）的單調遞減區(qū)間，令k=0時，即可得到結論． 本題主要考查三角函數單調性和單調區(qū)間的求解，根據正弦函數的單調性是解決本題的關鍵，屬于基礎題． 14. 解：∵角α的終邊過點P（-4t，3t）（t∈R，且t＞0）， ∴r=|OP|=5t，x=-4t，y=3t，∴sinα==，cosα==-， 則2sinα+cosα=-=， 故答案為：． 由條件利用任意角的三角函數的定義，求得要求式子的值． 本題主要考查任意角的三角函數的定義，屬于基礎題． 15. 解：由題意旋轉體的體積V===8π， 故答案為：8π． 根據題意，類比可得旋轉體的體積V=，求出原函數，即可得出結論． 本題給出曲線y=x2與直線y=4所圍成的平面圖形，求該圖形繞xy軸轉一周得到旋轉體的體積．著重考查了利用定積分公式計算由曲邊圖形旋轉而成的幾何體體積的知識，屬于基礎題． 16. 解：=． 故答案為：cosα． 直接運用三角函數的誘導公式化簡即可得答案． 本題主要考察了運用誘導公式化簡求值，比較簡單，屬于基礎題． 17. （1）由題意及正弦函數的圖象和性質可求函數的最小正周期T，由周期公式可求ω，由函數f（x）關于直線對稱，可得，結合范圍，即可解得φ的值． （2）由（1）得，由，得．可求，利用兩角差的正弦函數公式即可求值得解． 本題主要考查了正弦函數的圖象和性質，周期公式，兩角差的正弦函數公式的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題． 18. （Ⅰ）根據絕對值不等式的解法，利用分類討論進行求解即可． （Ⅱ）利用1的代換，結合基本不等式先求出的最小值是9，然后利用絕對值不等式的性質進行轉化求解即可． 本題主要考查絕對值不等式的解法，以及不等式恒成立問題，利用1的代換結合基本不等式，將不等式恒成立進行轉化求解是解決本題的關鍵． 19. （1）利用極坐標與直角坐標的互化方法，即可得出結論； （2）聯(lián)立曲線C1與曲線C2的方程，利用參數的幾何意義，即可求|AB|的最大值和最小值． 本小題主要考查極坐標系與參數方程的相關知識，具體涉及到極坐標方程與平面直角坐標方程的互化、利用直線的參數方程的幾何意義求解直線與曲線交點的距離等內容．本小題考查考生的方程思想與數形結合思想，對運算求解能力有一定要求． 20. （1）先對函數求導f（x）=3x2+2ax+b，由題意可得f（1）=10，f′（1）=0，結合導數存在的條件可求； （2）解法一：f（x）=3x2+2ax+b≥0對任意的a∈[-4，+∞），x∈[0，2]都成立，構造關于a的函數F（a）=2xa+3x2+b≥0對任意a∈[-4，+∞），x∈[0，2]都成立，結合函數單調性可得F（a）min=F（-4）從而有b≥（-3x2+8x）max， 解法二：f（x）=3x2+2ax+b≥0對任意的a∈[-4，+∞），x∈[0，2]都成立，即b≥-3x2-2ax對任意的a∈[-4，+∞），x∈[0，2]都成立，即b≥（-3x2-2ax）max． 構造函數F（x）=-3x2-2ax=-3（x+）2+，結合二次函數的性質進行求解函數F（x）的最大值即可． 本題主要考查了利用導數研究函數的極值，利用構造函數的思想把恒成立轉化為求解函數的最值問題，要注意構造思想在解題中的應用． 21. （1）由圖象得出函數f（x）的周期T，振幅A，計算ω的值，再求出φ的值即得f（x）； （2）由正弦函數的圖象與性質，即可求出f（x）的單調遞增區(qū)間； （3）把問題化為y=f（x）與y=a的圖象在（0，）上有兩個交點問題，利用函數的圖象即可求出a的取值范圍． 本題考查了三角函數的圖象與性質的應用問題，也考查了方程與函數的應用問題，是綜合性題目． 22. （Ⅰ）求得f（x）的導數，由題意可得f′（1）=a+b+1=0，f′（2）=a+2b+1=0，求得a，b的值，可得f（x）及導數，求得單調區(qū)間，可得極值； （Ⅱ）求得f（x）的導數，由導數的幾何意義，解方程可得a=-b，故f（x）=alnx-x2+x，由題意可得a（x-lnx）≥x2-2x成立，由條件可得a≥（x∈[1，e]），令g（x）=（x∈[1，e]），求得導數，判斷單調性，可得最小值，即可得到a的范圍． 本題考查導數的運用：求單調區(qū)間和極值、最值，考查不等式成立問題的解法，注意運用分離參數和構造函數法，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．