高三數(shù)學12月月考試題 文4

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重慶市第十一中學校高2017級12月月考數(shù)學(文)試題 一、選擇題：本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的. 1．已知集合A={3，log2（a2+3a）}，B={a，b}，若A∩B={2}，則實數(shù)a的值等于（　?。? A．1或 -4 B．1 C．4 D．-1或4 2.曲線在點處切線的傾斜角是（ ） A．1 B. C. D. 3. 數(shù)列{an}的首項a1=2，且（n+1）an=nan+1，則a3的值為（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 4．若，b=，，則( ) A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a(chǎn)＞b＞c D．c＞a＞b 5．過圓C：x2+（y﹣1）2=4的圓心，且與直線l：3x+2y+1=0垂直的直線方程是（　 　） A．2x﹣3y+3=0 B．2x﹣3y﹣3=0 C．2x+3y+3=0 D．2x+3y﹣3=0 甲 乙 7 9 m 2 3 n 2 4 8 6．已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)如莖葉圖所示，若它們的中位數(shù)相同，平均數(shù)也相同，則圖中的m、n的比值=（　 ?。? A．1 B． C． D． 7 . 設(shè)是兩個不同的平面，是兩條不同的直線，且， （ ） A．若，則 B．若，則 C．若，則 D．若，則 8．函數(shù)的圖象向左平移（＞0）個單位后關(guān)于原點對稱，則的最小值為（　　） A． B． C． D． 9．已知各項不為0的等差數(shù)列{an}滿足a4﹣2a72+3a8=0，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，且b7=a7，則b2b8b11等于（　?。? A．1 B．2 C．4 D．8 10.在正方體ABCD—A1B1C1D1的側(cè)面AA1BB1內(nèi)有一動點P到直線A1B1與直線BC的距離相等，則動點P所在曲線的形狀為( ) 否 n=n+1 輸出“S+n” 結(jié)束 開始 S<0? 是 n=1,S=100 11．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的“S+n”的值為（　?。? A．﹣19 B．﹣20 C．﹣21 D．﹣18 12． 點為雙曲線的右焦點，點為雙曲線左支上一點，線段與圓相切于點，且，則雙曲線的離心率等于（ ） A． B． C． D．2 二、填空題：本大題有4小題，每小題5分，共20分。把答案填在答題卷的相應(yīng)位置。 13．復(fù)數(shù)（其中i為虛數(shù)單位）的實部與虛部相等，則實數(shù)a=　　　 14．函數(shù)f（x）=x3+sinx+2016（x∈R），若f（a）=2015，則f（﹣a）= _____ 15．設(shè)變量x，y滿足約束條件，則的最小值為___ 16．課本中介紹了應(yīng)用祖暅原理推導(dǎo)棱錐體積公式的做法．祖暅原理也可用來求旋轉(zhuǎn)體的體積．現(xiàn)介紹祖暅原理求球體體積公式的做法：可構(gòu)造一個底面半徑和高都與球半徑相等的圓柱，然后在圓柱內(nèi)挖去一個以圓柱下底面圓心為頂點，圓柱上底面為底面的圓錐，用這樣一個幾何體與半球應(yīng)用祖暅原理（圖1），即可求得球的體積公式．請研究和理解球的體積公式求法的基礎(chǔ)上，解答以下問題：已知橢圓的標準方程為，將此橢圓繞y軸旋轉(zhuǎn)一周后，得一橄欖狀的幾何體（圖2），其體積等于______． 　三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。 17．如圖，在△ABC中，AB=AC=3，BC=2，B的角平分線交過點A且與BC平行的直線于D，AC與BD交于點O． （Ⅰ）求△OAB與△OBC的面積之比； （Ⅱ）求sin∠BAD的值． 18．學校為了了解高三文科學生的數(shù)學、語文情況，利用隨機表法從中抽取100名學生進行統(tǒng)計分析，抽出的100名學生的數(shù)學、語文成績?nèi)绫恚? 語文 優(yōu) 良 及格 數(shù)學 優(yōu) 8 m 9 良 9 n 11 及格 8 9 11 （Ⅰ）將學生編號為000，001，002，…499，500，若從第五行第五列的數(shù)開始右讀，請你依次寫出最先抽出的5個人的編號（下面是摘自隨機數(shù)表的第4～第7行）； 12 56 85 99 26 96 96 68 27 31　05 03 72 93 15 57 12 10 14 21 88 26 49 81 76 55 59 56 35 64　38 54 82 46 22　31 62 43 09 90　06 18 44 32 53　23 83 01 30 30 16 22 77 94 39　49 54 43 54 82　17 37 93 23 78　87 35 20 96 43　84 26 34 91 64 84 42 17 53 31　57 24 55 06 88　77 04 74 47 67　21 76 33 50 25　83 92 12 06 76　 （Ⅱ）若數(shù)學成績優(yōu)秀率為35%，求m，n的值； (Ⅲ)在語文成績?yōu)榱嫉膶W生中，已知m≥13，n≥11，求數(shù)學成績“優(yōu)”比良的人數(shù)少的概率． 19．如圖已知三棱錐P﹣ABC，PA⊥平面ABC，AB=AC=PA=2，∠BAC=90，D，E分別為AB，PC的中點，BF=2FC． （I）求證：PD∥平面AEF； （Ⅱ）求幾何體P﹣AEF的體積 20．已知F是拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點，⊙M過坐標原點和F點，且圓心M到拋物線C的準線距離為 （Ⅰ）求拋物線C的方程； （Ⅱ）已知拋物線C上的點N（s，4），過N作拋物線C的兩條互相垂直的弦NA和NB，判斷直線AB是否過定點？并說明理由． 21．已知函數(shù)（a∈R）． （Ⅰ）當時，求的單調(diào)區(qū)間 （Ⅱ）當x1，x2∈（0，+∞）時，不等式恒成立，求a的取值范圍． 請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分． [選修4-4：坐標系與參數(shù)方程] 22．已知在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程是（t是參數(shù)，m是常數(shù)），以原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C極坐標方程為ρ=asin（θ+），點M的極坐標為（4，），且點M在曲線C上． （I）求a的值及曲線C直角坐標方程； （II ）若點M關(guān)于直線l的對稱點N在曲線C上，求|MN|的長． [選修4-5：不等式選講] 23．已知函數(shù)f（x）=|x+a|+|x﹣2| （I）當a=﹣3時，求不等式的解集； （II）若的解集包含[1，2]，求a的取值范圍．  重慶十一中高2017級高三12月月考數(shù)學(文)答案 命題人：劉愛蓮 審題人：劉翠碧 一、選擇題： 1、A 2、D 3、B 4、C 5、A 6、D 7、D 8、B 9、D 10、C 11、A12、C 二、填空題： 13．若復(fù)數(shù)（其中i為虛數(shù)單位）的實部與虛部相等，則實數(shù)a=　　1　　　　． 14．函數(shù)f（x）=x3+sinx+2016（x∈R），若f（a）=2015，則f（﹣a）=_2017______． 15．設(shè)變量x，y滿足約束條件，則z=（）2x﹣y的最小值為______． 16．課本中介紹了應(yīng)用祖暅原理推導(dǎo)棱錐體積公式的做法．祖暅原理也可用來求旋轉(zhuǎn)體的體積．現(xiàn)介紹祖暅原理求球體體積公式的做法：可構(gòu)造一個底面半徑和高都與球半徑相等的圓柱，然后在圓柱內(nèi)挖去一個以圓柱下底面圓心為頂點，圓柱上底面為底面的圓錐，用這樣一個幾何體與半球應(yīng)用祖暅原理（圖1），即可求得球的體積公式．請研究和理解球的體積公式求法的基礎(chǔ)上，解答以下問題：已知橢圓的標準方程為，將此橢圓繞y軸旋轉(zhuǎn)一周后，得一橄欖狀的幾何體（圖2），其體積等于______． 解：橢圓的長半軸為5，短半軸為2，現(xiàn)構(gòu)造一個底面半徑為2，高為5的圓柱，然后在圓柱內(nèi)挖去一個以圓柱下底面圓心為頂點，圓柱上底面為底面的圓錐， 根據(jù)祖暅原理得出橢球的體積V=2（V圓柱﹣V圓錐）=2（π225﹣）=． 故答案為：． 三、解答題 17．如圖，在△ABC中，AB=AC=3，BC=2，B的角平分線交過點A且與BC平行的直線于D，AC與BD交于點O． （1）求△OAB與△OBC的面積之比； （2）求sin∠BAD的值． 【考點】余弦定理的應(yīng)用． 【分析】（1）運用三角形的內(nèi)角平分線定理和三角形的面積公式，計算即可得到所求值； （2）由等腰三角形的定義和平行線的性質(zhì)，結(jié)合誘導(dǎo)公式可得sin∠BAD=sinC，運用余弦定理和同角的平方關(guān)系，計算即可得到所求值． 【解答】解：（1）BD為∠ABC的平分線， 由角平分線定理知：， 2 即有； 5 （2）由AD∥BC且AB=AC， 可得∠ABC=∠ACB=∠CAD， 即有sin∠BAD=sin（∠BAC+∠CAD）=sin（∠BAC+∠ABC）=sinC， 在△ABC中，AB=AC=3，BC=2， 7 可得， 9 即有sinC==， 故sin∠BAD的值為． 12 18．某校高三文科500名學生參加了1月份的模擬考試，學校為了了解高三文科學生的數(shù)學、語文情況，利用隨機表法從中抽取100名學生進行統(tǒng)計分析，抽出的100名學生的數(shù)學、語文成績?nèi)绫恚? 語文 優(yōu) 良 及格 數(shù)學 優(yōu) 8 m 9 良 9 n 11 及格 8 9 11 （1）將學生編號為000，001，002，…499，500，若從第五行第五列的數(shù)開始右讀，請你依次寫出最先抽出的5個人的編號（下面是摘自隨機數(shù)表的第4～第7行）； 12 56 85 99 26　 96 96 68 27 31　 05 03 72 93 15　 57 12 10 14 21　 88 26 49 81 76 55 59 56 35 64　 38 54 82 46 22　 31 62 43 09 90　 06 18 44 32 53　 23 83 01 30 30 16 22 77 94 39　 49 54 43 54 82　 17 37 93 23 78　 87 35 20 96 43　　84 26 34 91 64 84 42 17 53 31　 57 24 55 06 88　 77 04 74 47 67　 21 76 33　50 25　 83 92 12 06 76　 （2）若數(shù)學成績優(yōu)秀率為35%，求m，n的值； （3）在語文成績?yōu)榱嫉膶W生中，已知m≥13，n≥11，求數(shù)學成績“優(yōu)”比良的人數(shù)少的概率． 【解答】解：（1）由隨機數(shù)表法得到5個人的編號依次為：385，482，462，231，309．… 3 （2）由=0.35，得m=18， 5 因為8+9+8+18+n+9+9+11+11=100，得n=17． 7… （3）由題意 m+n=35，且m≥13，n≥11， 所以滿足條件的（m，n）有： （13，22）、（14，21）、（15，20）、（16，19）、（17，18）、（18，17）、 （19，16）、（20，15）、（21，14）、（22，13）、（23，12）、（24，11）共12種， 10 且每組出現(xiàn)都是等可能的．… 記：“數(shù)學成績“優(yōu)”比“良”的人數(shù)少”為事件M， 則事件M包含的基本事件有（13，22）、（14，21）、（15，20）、（16，19）、（17，18）共5種，所以P（M）=．… 12 19．如圖已知三棱錐P﹣ABC，PA⊥平面ABC，AB=AC=PA=2，∠BAC=90，D，E分別為AB，PC的中點，BF=2FC． （I）求證：PD∥平面AEF； （Ⅱ）求幾何體P﹣AEF的體積． 【解答】（Ⅰ）證明：如圖， 在線段BC上，取BG=GF，連接PG，DG， 在△ABF中，∵BG=GF，AD=DB，∴GD∥AF， 3 在△PCG中，∵CF=GF，PE=EC，∴EF∥PG， 又PG∩GG，∴平面PGD∥平面AEF， 則PD∥平面AEF； 6 （Ⅱ）解：∵PA⊥平面ABC，AB=AC=PA=2，∠BAC=90， ∴=， 9 又E為PC的中點，∴． 12 20．已知F是拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點，⊙M過坐標原點和F點，且圓心M到拋物線C的準線距離為 （Ⅰ）求拋物線C的方程； （Ⅱ）已知拋物線C上的點N（s，4），過N作拋物線C的兩條互相垂直的弦NA和NB，判斷直線AB是否過定點？并說明理由． 【解答】解：（I）拋物線的焦點為F（，0），準線方程為x=﹣． ∵⊙M過坐標原點和F點，∴M在直線x=上． ∴M到拋物線的準線的距離d=，解得p=2． ∴拋物線方程為y2=4x． 5 （II）把y=4代入拋物線方程得x=4．即N（4，4）． 設(shè)A（，y1），B（，y2）． kNA==，kNB==，kAB==． 7 ∵直線NA和直線NB互相垂直，∴，即y1y2=﹣4（y1+y2）﹣32． ∴直線AB的方程為y﹣y1=（x﹣），即y=+=﹣4，9 即AB方程為y+4=（x﹣8）． ∴直線AB過定點（8，﹣4）． 12 20．已知函數(shù)（a∈R）． （Ⅰ）若函數(shù)f（x）為單調(diào)遞減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍； （Ⅱ）當x1，x2∈（0，+∞）時，不等式恒成立，求a的取值范圍． 【考點】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性． 【分析】（Ⅰ）略4（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為h（x）=xf（x）在（0，+∞）遞減，求出h（x）的導(dǎo)數(shù)，得到a≤﹣，（x＞0），令m（x）=﹣，（x＞0），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可． 【解答】（Ⅱ）當x1，x2∈（0，+∞）時，不等式恒成立， 即[x1f（x1）﹣x2f（x2）]（x1﹣x2）＜0在（0，+∞）恒成立， 8 即h（x）=xf（x）在（0，+∞）遞減， 而h（x）=ax2+2xlnx﹣a，h′（x）=2（ax+1+lnx）， 由h′（x）≤0得：ax+1+lnx≤0， 即a≤﹣，（x＞0）， 10 令m（x）=﹣，（x＞0），m′（x）=， 令m′（x）＞0，解得：x＞1，令m′（x）＜0，解得：0＜x＜1， ∴m（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增， ∴m（x）min=m（1）=﹣1， ∴a≤﹣1． 12 　 [選修4-4：坐標系與參數(shù)方程] 23．已知在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程是（t是參數(shù)，m是常數(shù)），以原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C極坐標方程為ρ=asin（θ+），點M的極坐標為（4，），且點M在曲線C上． （I）求a的值及曲線C直角坐標方程； （II ）若點M關(guān)于直線l的對稱點N在曲線C上，求|MN|的長． 【考點】簡單曲線的極坐標方程；參數(shù)方程化成普通方程． 【分析】（I）將M的極坐標代入曲線C的極坐標方程，可得a，由兩角和的正弦公式，結(jié)合極坐標和直角坐標的關(guān)系：x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得曲線C直角坐標方程； （II ）求得曲線C表示的圓的圓心和半徑，由點M關(guān)于直線l的對稱點N在曲線C上，可得直線l經(jīng)過圓心，求得m，進而得到直線l的普通方程，運用點到直線的距離公式，可得M到直線l的距離，進而得到所求MN的長． 【解答】解：（I）將點M的極坐標（4，）代入曲線C極坐標方程ρ=asin（θ+）， 可得4=asin（+），解得a=4， 2 由ρ=4sin（θ+）即ρ=4（sinθ+cosθ）， 即有ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ，即為x2+y2﹣2x﹣2y=0， 即曲線C：（x﹣）2+（y﹣1）2=4； 5 （II ）曲線C：（x﹣）2+（y﹣1）2=4為圓心C（，1），半徑為2， 則點M關(guān)于直線l的對稱點N在曲線C上，直線l過圓C的圓心， 由，可得m=2，t=﹣， 這時直線l：，消去t，可得x+y﹣2=0， 8 點M的極坐標為（4，），可得M（2，2）， 即有M到直線l的距離為d==， 可得|MN|的長為2． 10 　 [選修4-5：不等式選講] 24．已知函數(shù)f（x）=|x+a|+|x﹣2| （1）當a=﹣3時，求不等式f（x）≥3的解集； （2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范圍． 【考點】絕對值不等式的解法；帶絕對值的函數(shù)． 【分析】（1）不等式等價于，或，或，求出每個不等式組的解集， 再取并集即得所求． （2）原命題等價于﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范圍． 【解答】解：（1）當a=﹣3時，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即①，或②， 或③． 解①可得x≤1，解②可得x∈?，解③可得x≥4． 把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集為 {x|x≤1或x≥4}． 5 （2）原命題即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等價于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立， 等價于|x+a|≤2，等價于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立． 故當 1≤x≤2時，﹣2﹣x的最大值為﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值為0， 故a的取值范圍為[﹣3，0]． 10