高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題 文4 (2)

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北京市西城區(qū)2016 — 2017學(xué)年度第一學(xué)期期末試卷 高三數(shù)學(xué)（文科） 第Ⅰ卷（選擇題 共40分） 一、 選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)． 1．已知集合，，那么 （A） （B） （C） （D） 2．下列函數(shù)中，定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)是 （A） （B） （C） （D） 3．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為 （A） （B） （C） （D） 4．已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)是，則其漸近線的方程為 （A） （B） （C） （D） 5．實(shí)數(shù)，滿足則的取值范圍是 （A） （B） （C） （D） 6．設(shè)是非零向量，且．則“”是“”的 （A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件 （C）充要條件 （D）既不充分也不必要條件 7．某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐的表面積是 （A） （B） （C） （D） 8．8名象棋選手進(jìn)行單循環(huán)賽（即每?jī)擅x手比賽一場(chǎng)）．規(guī)定兩人對(duì)局勝者得2分，平局各得1分，負(fù)者得0分，并按總得分由高到低進(jìn)行排序．比賽結(jié)束后，8名選手的得分各不相同，且第二名的得分與最后四名選手得分之和相等．則第二名選手的得分是 （A） （B） （C） （D） 第Ⅱ卷（非選擇題 共110分） 二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分． 9．復(fù)數(shù)____． 10．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，則△的面積是____． 11．已知圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，則____． 12．函數(shù)的定義域是____；最小值是____． 13．在△中，角的對(duì)邊分別為．若，，，則____． 14．設(shè)函數(shù)其中． ① 若，則____； ② 若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是____． 三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟． 15．（本小題滿分13分） 在等差數(shù)列中，，． （Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）設(shè)，其中，求數(shù)列的前項(xiàng)和． 16．（本小題滿分13分） 已知函數(shù)的最小正周期為． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求在區(qū)間上的最大值和最小值． 17．（本小題滿分13分） 手機(jī)完全充滿電量，在開機(jī)不使用的狀態(tài)下，電池靠自身消耗一直到出現(xiàn)低電量警告之間所能維持的時(shí)間稱為手機(jī)的待機(jī)時(shí)間． 為了解A，B兩個(gè)不同型號(hào)手機(jī)的待機(jī)時(shí)間，現(xiàn)從某賣場(chǎng)庫(kù)存手機(jī)中隨機(jī)抽取A，B兩個(gè)型號(hào)的手機(jī)各5臺(tái)，在相同條件下進(jìn)行測(cè)試，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下： 手機(jī)編號(hào) 1 2 3 4 5 A型待機(jī)時(shí)間（h） 120 125 122 124 124 B型待機(jī)時(shí)間（h） 118 123 127 120 a 已知 A，B兩個(gè)型號(hào)被測(cè)試手機(jī)待機(jī)時(shí)間的平均值相等． （Ⅰ）求a的值； （Ⅱ）判斷A，B兩個(gè)型號(hào)被測(cè)試手機(jī)待機(jī)時(shí)間方差的大?。ńY(jié)論不要求證明）； （Ⅲ）從被測(cè)試的手機(jī)中隨機(jī)抽取A，B型號(hào)手機(jī)各1臺(tái)，求至少有1臺(tái)的待機(jī)時(shí)間超過(guò)122小時(shí)的概率． （注：n個(gè)數(shù)據(jù)的方差，其中為數(shù)據(jù)的平均數(shù)） 18．（本小題滿分14分） 如圖，在四棱錐中，，，，，，． （Ⅰ）求證：； （Ⅱ）若為的中點(diǎn)，求證：平面； （Ⅲ）設(shè)平面平面，點(diǎn)在平面 上．當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)． 19．（本小題滿分14分） 已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)是，，點(diǎn)在橢圓上，且． （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，是橢圓上一點(diǎn)，直線和與軸分別相交于點(diǎn)，，為原點(diǎn)．證明：為定值． 20．（本小題滿分13分） 對(duì)于函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)滿足，則稱為函數(shù)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)． 已知函數(shù)，其中． （Ⅰ）當(dāng)時(shí)， （?。┣蟮臉O值點(diǎn)； （ⅱ）若存在既是的極值點(diǎn)，又是的不動(dòng)點(diǎn)，求的值； （Ⅱ）若有兩個(gè)相異的極值點(diǎn)，，試問(wèn)：是否存在，，使得， 均為的不動(dòng)點(diǎn)？證明你的結(jié)論． 北京市西城區(qū)2016 — 2017學(xué)年度第一學(xué)期期末 高三數(shù)學(xué)（文科）參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 2017.1 一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分. 1．B 2．D 3．C 4．B 5．A6．C 7．A 8．C 二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分. 9．10．11． 12．；13．14．； 注：第12，14題第一空2分，第二空3分. 三、解答題：本大題共6小題，共80分. 其他正確解答過(guò)程，請(qǐng)參照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給分. 15．（本小題滿分13分） 解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則有 [4分] 解得，．[6分] 所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．[7分] （Ⅱ）．[8分] 因?yàn)閿?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，[9分] 所以[11分] ．[13分] 16．（本小題滿分13分） 解：（Ⅰ）因?yàn)? [ 4分] ， [ 6分] 所以的最小正周期, 解得． [ 7分] （Ⅱ）由（Ⅰ）得 ． 因?yàn)?，所以? [ 9分] 所以，當(dāng)，即時(shí)，取得最大值為1； [11分] 當(dāng)，即時(shí)，取得最小值為． [13分] 17．（本小題滿分13分） 解：（Ⅰ），[2分] ，[3分] 由，解得．[4分] （Ⅱ）設(shè)A，B兩個(gè)型號(hào)被測(cè)試手機(jī)的待機(jī)時(shí)間的方差依次為，， 則．[7分] （Ⅲ）設(shè)A型號(hào)手機(jī)為，，，，；B型號(hào)手機(jī)為，，，，，“至少有1臺(tái)的待機(jī)時(shí)間超過(guò)122小時(shí)”為事件C．[8分] 從被測(cè)試的手機(jī)中隨機(jī)抽取A，B型號(hào)手機(jī)各1臺(tái)，不同的抽取方法有25種． [10分] 抽取的兩臺(tái)手機(jī)待機(jī)時(shí)間都不超過(guò)122小時(shí)的選法有： ，，，，共4種． [11分] 因此，所以． 所以至少有1臺(tái)的待機(jī)時(shí)間超過(guò)122小時(shí)的概率是．[13分] 18．（本小題滿分14分） 解：（Ⅰ）因?yàn)椋? 所以，[1分] 又因?yàn)?，[2分] 所以平面，[3分] 所以．[4分] （Ⅱ）取的中點(diǎn)，連接，．[5分] 因?yàn)闉槔庵悬c(diǎn)，所以，， 又因?yàn)?，? 所以，． 所以四邊形是平行四邊形，．[8分] 又平面，平面， 所以平面．[9分] （Ⅲ）在平面上，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)． 因?yàn)椋云矫?；又，所以平面? 所以平面平面．[11分] 在△中，因?yàn)?，? 所以 ．[12分] 因?yàn)椋浴魇堑妊苯侨切?，所以．[13分] 由（Ⅰ）得平面，所以． 在直角△中，．[14分] 19．（本小題滿分14分） 解：（Ⅰ）由橢圓的定義，得，．[2分] 將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得， 解得．[4分] 所以，橢圓的方程是．[5分] （Ⅱ）依題意，得． 設(shè)，則有，，．[6分] 直線的方程為，[7分] 令，得，[8分] 所以． 直線的方程為，[9分] 令，得，[10分] 所以． 所以 [12分] ． 所以為定值．[14分] 20．（本小題滿分13分） 解：（Ⅰ）的定義域?yàn)?，且．[1分] 當(dāng)時(shí)，． （?。?當(dāng)時(shí)，顯然在上單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn)．[2分] ② 當(dāng)時(shí)，令，解得．[3分] 和的變化情況如下表： ↗ ↘ ↗ 所以，是的極大值點(diǎn)；是的極小值點(diǎn)．[5分] （ⅱ）若是的極值點(diǎn)，則有； 若是的不動(dòng)點(diǎn)，則有． 從上述兩式中消去， 整理得．[6分] 設(shè)． 所以，在上單調(diào)遞增． 又，所以函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)， 即方程的根為， 所以 ．[8分] （Ⅱ）因?yàn)橛袃蓚€(gè)相異的極值點(diǎn)，， 所以方程有兩個(gè)不等實(shí)根，， 所以，即．[9分] 假設(shè)存在實(shí)數(shù)，，使得，均為的不動(dòng)點(diǎn)，則，是方程 的兩個(gè)實(shí)根，顯然，． 對(duì)于實(shí)根，有．① 又因?yàn)椋? ①②，得 ． 同理可得． 所以，方程也有兩個(gè)不等實(shí)根，．[11分] 所以． 對(duì)于方程，有 ， 所以， 即， 這與相矛盾！ 所以，不存在，，使得，均為的不動(dòng)點(diǎn)．[13分]