高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題 理4 (2)

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北京市西城區(qū)2016 — 2017學(xué)年度第一學(xué)期期末試卷 高三數(shù)學(xué)（理科） 第Ⅰ卷（選擇題 共40分） 一、 選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項． 1．已知集合，，那么 （A） （B） （C） （D） 2．下列函數(shù)中，定義域為的奇函數(shù)是 （A） （B） （C） （D） 3．已知雙曲線的一個焦點是，則其漸近線的方程為 （A） （B） （C） （D） 4．在極坐標系中，過點且平行于極軸的直線的方程是 （A） （B） （C） （D） 5．某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐的四個 側(cè)面的面積中最大的是 （A） （B） （C） （D） 6．設(shè)是非零向量，且．則“”是“”的 （A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件 （C）充要條件 （D）既不充分也不必要條件 7．實數(shù)滿足若的最大值為，最小值為，則 的取值范圍是 （A） （B） （C） （D） 8．在空間直角坐標系中，正四面體的頂點，分別在軸，軸上移動．若該正四面體的棱長是，則的取值范圍是 （A） （B） （C） （D） 第Ⅱ卷（非選擇題 共110分） 二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分． 9．復(fù)數(shù)____． 10．設(shè)等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，其前項和為．若，，則____；____． 11．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為____． 12．在△中，角的對邊分別為．若，，，則____． 13．設(shè)函數(shù)其中． ① 若，則____； ② 若函數(shù)有兩個零點，則的取值范圍是____． 14．10名象棋選手進行單循環(huán)賽（即每兩名選手比賽一場）．規(guī)定兩人對局勝者得2分，平局各得1分，負者得0分，并按總得分由高到低進行排序．比賽結(jié)束后，10名選手的得分各不相同，且第二名的得分是最后五名選手得分之和的．則第二名選手的得分是____． 三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟． 15．（本小題滿分13分） 已知函數(shù)的最小正周期為． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求在區(qū)間上的最大值和最小值． 16．（本小題滿分14分） 如圖，在四棱錐中，，，，，，． （Ⅰ）求證：平面平面； （Ⅱ）若為的中點，求證：平面； （Ⅲ）若與平面所成的角為，求四棱錐 的體積． 17．（本小題滿分13分） 手機完全充滿電量，在開機不使用的狀態(tài)下，電池靠自身消耗一直到出現(xiàn)低電量警告之間所能維持的時間稱為手機的待機時間． 為了解A，B兩個不同型號手機的待機時間，現(xiàn)從某賣場庫存手機中隨機抽取A，B兩個型號的手機各7臺，在相同條件下進行測試，統(tǒng)計結(jié)果如下： 手機編號 1 2 3 4 5 6 7 A型待機時間（h） 120 125 122 124 124 123 123 B型待機時間（h） 118 123 127 120 124 a b 其中，a，b是正整數(shù)，且． （Ⅰ）該賣場有56臺A型手機，試估計其中待機時間不少于123小時的臺數(shù)； （Ⅱ）從A型號被測試的7臺手機中隨機抽取4臺，記待機時間大于123小時的臺數(shù)為X，求X 的分布列； （Ⅲ）設(shè)A，B兩個型號被測試手機待機時間的平均值相等，當B型號被測試手機待機時間的方差最小時，寫出a，b的值（結(jié)論不要求證明）． 18．（本小題滿分13分） 已知函數(shù)，其中． （Ⅰ）如果曲線在處的切線的斜率是，求的值； （Ⅱ）如果在區(qū)間上為增函數(shù)，求的取值范圍． 19．（本小題滿分14分） 已知直線與橢圓相交于，兩點，是橢圓上一點． （Ⅰ）當時，求△面積的最大值； （Ⅱ）設(shè)直線和與軸分別相交于點，，為原點．證明： 為定值． 20．（本小題滿分13分） 數(shù)字的任意一個排列記作，設(shè)為所有這樣的排列構(gòu)成的集合． 集合任意整數(shù)，都有；集合任意整數(shù)，都有． （Ⅰ）用列舉法表示集合，； （Ⅱ）求集合的元素個數(shù)； （Ⅲ）記集合的元素個數(shù)為．證明：數(shù)列是等比數(shù)列． 北京市西城區(qū)2016 — 2017學(xué)年度第一學(xué)期期末 高三數(shù)學(xué)（理科）參考答案及評分標準 2017.1 一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分. 1．B 2．D 3．B 4．A 5．C 6．C 7．C 8．A 二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分. 9．10．；11． 12．13．；14． 注：第10，13題第一空2分，第二空3分. 三、解答題：本大題共6小題，共80分. 其他正確解答過程，請參照評分標準給分. 15．（本小題滿分13分） 解：（Ⅰ）因為 [4分] ，[6分] 所以的最小正周期, 解得．[7分] （Ⅱ）由（Ⅰ）得 ． 因為，所以．[9分] 所以，當，即時，取得最大值為1；[11分] 當，即時，取得最小值為． [13分] 16．（本小題滿分14分） 解：（Ⅰ）因為，所以，[1分] 又因為， 所以平面．[3分] 所以平面平面．[4分] （Ⅱ）取的中點，連接，．[5分] 因為為的中點，所以，， 又因為，， 所以，． 所以四邊形是平行四邊形，．[7分] 又平面，平面， 所以平面．[8分] （Ⅲ）過作于，連接． 因為，所以為中點，又因為平面平面， 所以平面． 如圖建立空間直角坐標系．[9分] 設(shè)．由題意得，，，，，． 所以，，． 設(shè)平面的法向量為，則 即 令，則．所以．[11分] 因為與平面所成角為， 所以， 解得．[13分] 所以四棱錐的體積．[14分] 17．（本小題滿分13分） 解：（Ⅰ）被檢測的7臺手機中有5臺的待機時間不少于123小時，因此，估計56臺A型手機中有臺手機的待機時間不少于123小時．[3分] （Ⅱ）X可能的取值為．[4分] ；； ；．[8分] 所以，X 的分布列為： X 0 1 2 3 P [10分] （Ⅲ）若A，B兩個型號被測試手機的待機時間的平均值相等，當B型號被測試手機的待機時間的方差最小時，，．[13分] 18．（本小題滿分13分） 解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域是，[1分] 導(dǎo)函數(shù)為．[2分] 因為曲線在處的切線的斜率是， 所以，即，[3分] 所以．[4分] （Ⅱ）因為在區(qū)間上為增函數(shù)， 所以對于任意，都有．[6分] 因為時，， 所以．[8分] 令，所以．[10分] 因為時，， 所以時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增， 所以．[12分] 所以． 即的取值范圍是．[13分] 19．（本小題滿分14分） 解：（Ⅰ）將代入， 解得，所以．[2分] 當為橢圓的頂點時，到直線的距離取得最大值，[4分] 所以△面積的最大值是．[5分] （Ⅱ）設(shè)兩點坐標分別為，，從而．[6分] 設(shè)，則有，，．[7分] 直線的方程為，[8分] 令，得，從而．[9分] 直線的方程為，[10分] 令，得，從而．[11分] 所以 [13分] ． 所以為定值．[14分] 20．（本小題滿分13分） 解：（Ⅰ），．[3分] （Ⅱ）考慮集合中的元素． 由已知，對任意整數(shù)，都有， 所以， 所以． 由的任意性可知，是的單調(diào)遞增排列， 所以．[5分] 又因為當，時，對任意整數(shù)， 都有． 所以，所以．[7分] 所以集合的元素個數(shù)為1．[8分] （Ⅲ）由（Ⅱ）知，． 因為，所以． 當時，考慮中的元素． （1）假設(shè)．由已知，， 所以， 又因為，所以． 依此類推，若，則，，…，． ① 若，則滿足條件的的排列有1個． ② 若，則，，，…，． 所以． 此時滿足條件的的排列有1個． ③ 若， 只要是的滿足條件的一個排列，就可以相應(yīng)得到的一個滿足條件的排列． 此時，滿足條件的的排列有個．[10分] （2）假設(shè)，只需是的滿足條件的排列，此時滿足條件的的排列有個． 綜上，． 因為， 且當時，，[12分] 所以對任意，，都有． 所以成等比數(shù)列．[13分]