高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 專(zhuān)題2 突破點(diǎn)5 數(shù)列的通項(xiàng)與求和 理

突破點(diǎn)5數(shù)列的通項(xiàng)與求和提煉1an和Sn的關(guān)系若an為數(shù)列an的通項(xiàng)，Sn為其前n項(xiàng)和，則有an在使用這個(gè)關(guān)系式時(shí)，一定要注意區(qū)分n1，n2兩種情況，求出結(jié)果后，判斷這兩種情況能否整合在一起.提煉2求數(shù)列通項(xiàng)常用的方法(1)定義法：形如an1anc(c為常數(shù))，直接利用定義判斷其為等差數(shù)列形如an1kan(k為非零常數(shù))且首項(xiàng)不為零，直接利用定義判斷其為等比數(shù)列(2)疊加法：形如an1anf(n)，利用ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)，求其通項(xiàng)公式(3)疊乘法：形如f(n)0，利用ana1，求其通項(xiàng)公式(4)待定系數(shù)法：形如an1panq(其中p，q均為常數(shù)，pq(p1)0)，先用待定系數(shù)法把原遞推公式轉(zhuǎn)化為an1tp(ant)，其中t，再轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解(5)構(gòu)造法：形如an1panqn(其中p，q均為常數(shù)，pq(p1)0)，先在原遞推公式兩邊同除以qn1，得，構(gòu)造新數(shù)列bn，得bn1bn，接下來(lái)用待定系數(shù)法求解(6)取對(duì)數(shù)法：形如an1pa(p>0，an>0)，先在原遞推公式兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，再利用待定系數(shù)法求解.提煉3數(shù)列求和數(shù)列求和的關(guān)鍵是分析其通項(xiàng)，數(shù)列的基本求和方法有公式法、裂(拆)項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、分組法、倒序相加法和并項(xiàng)法等，而裂項(xiàng)相消法，錯(cuò)位相減法是常用的兩種方法回訪1an與Sn的關(guān)系1(2015全國(guó)卷)設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且a11，an1SnSn1，則Sn_.an1Sn1Sn，an1SnSn1，Sn1SnSnSn1.又Sn0，1，即1.又1，是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，1(n1)(1)n，即Sn.2(2013全國(guó)卷)若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snan，則an的通項(xiàng)公式是an_.(2)n1當(dāng)n1時(shí)，S1a1，a11.當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1an(anan1)，an2an1，即2，an是以1為首項(xiàng)的等比數(shù)列，其公比為2，an1(2)n1，即an(2)n1.回訪2數(shù)列求和3(2015全國(guó)卷改編)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和已知an0，a2an4Sn3，則(1)an的通項(xiàng)公式為_(kāi)；(2)設(shè)bn，則數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為_(kāi)(1)an2n1(2)(1)由a2an4Sn3，可知a2an14Sn13.，得aa2(an1an)4an1，即2(an1an)aa(an1an)(an1an)由an>0，得an1an2.又a2a14a13，解得a11(舍去)或a13.所以an是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為an2n1.(2)由an2n1可知bn.設(shè)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為T(mén)n，則Tnb1b2bn.4(2012全國(guó)卷)數(shù)列an滿足an1(1)nan2n1，則an的前60項(xiàng)和為_(kāi)1 830an1(1)nan2n1，a21a1，a32a1，a47a1，a5a1，a69a1，a72a1，a815a1，a9a1，a1017a1，a112a1，a1223a1，a57a1，a58113a1，a592a1，a60119a1，a1a2a60(a1a2a3a4)(a5a6a7a8)(a57a58a59a60)1026422341 830.熱點(diǎn)題型1數(shù)列中的an與Sn的關(guān)系數(shù)列中的an與Sn的關(guān)系題型分析：以數(shù)列中an與Sn間的遞推關(guān)系為載體，考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，以及推理論證的能力.數(shù)列an中，a11，Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且滿足1(n2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：85952024】解由已知，當(dāng)n2時(shí)，1，所以1，2分即1，所以.4分又S1a11，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，6分所以1(n1)，即Sn.8分所以當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1.10分因此an12分給出Sn與an的遞推關(guān)系，求an，常用思路：一是利用SnSn1an(n2)轉(zhuǎn)化為an的遞推關(guān)系，再求其通項(xiàng)公式；二是轉(zhuǎn)化為Sn的遞推關(guān)系，先求出Sn與n之間的關(guān)系，再求an.提醒：在利用anSnSn1(n2)求通項(xiàng)公式時(shí)，務(wù)必驗(yàn)證n1時(shí)的情形變式訓(xùn)練1(1)(2016合肥三模)已知數(shù)列an前n項(xiàng)和為Sn，若Sn2an2n ，則Sn_.(2)已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn，且2Sn23an(nN*)，則an_.(1)n2n(nN*)(2)23n1(nN*)(1)由Sn2an2n得當(dāng)n1時(shí)，S1a12；當(dāng)n2時(shí)，Sn2(SnSn1)2n，即1，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，則n，Snn2n(n2)，當(dāng)n1時(shí)，也符合上式，所以Snn2n(nN*)(2)因?yàn)?Sn23an，所以2Sn123an1，由，得2Sn12Sn3an13an，所以2an13an13an，即3.當(dāng)n1時(shí)，22S13a1，所以a12，所以數(shù)列an是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列，所以an23n1(nN*)熱點(diǎn)題型2裂項(xiàng)相消法求和題型分析：裂項(xiàng)相消法是指把數(shù)列與式中的各項(xiàng)分別裂開(kāi)后，某些項(xiàng)可以相互抵消從而求和的方法，主要適用于或(其中an為等差數(shù)列)等形式的數(shù)列求和.已知等差數(shù)列an的公差d0，它的前n項(xiàng)和為Sn，若S570，且a2，a7，a22成等比數(shù)列，(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列的前n項(xiàng)和為T(mén)n，求證：Tn<.解(1)由已知及等差數(shù)列的性質(zhì)得S55a3，a314，1分又a2，a7，a22成等比數(shù)列，即aa2a22.2分由(a16d)2(a1d)(a121d)且d0，解得a1d，a16，d4.4分故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an4n2，nN*.6分(2)證明：由(1)得Sn2n24n，8分Tn1.10分又TnT1，所以Tn<.12分裂項(xiàng)相消法的基本思想就是把通項(xiàng)an分拆成anbnkbn(k1，kN*)的形式，常見(jiàn)的裂項(xiàng)方式有：(1)；(2)；(3)()提醒：在裂項(xiàng)變形時(shí)，務(wù)必注意裂項(xiàng)前的系數(shù)變式訓(xùn)練2(名師押題)已知數(shù)列an是遞增的等比數(shù)列，且a1a49，a2a38.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.解(1)由題設(shè)知a1a4a2a38，2分又a1a49，可得或(舍去)4分由a4a1q3得公比q2，故ana1qn12n1.6分(2)Sn2n1.8分又bn，10分所以Tnb1b2bn1.12分熱點(diǎn)題型3錯(cuò)位相減法求和題型分析：限于數(shù)列解答題的位置較為靠前，加上錯(cuò)位相減法的運(yùn)算量相對(duì)較大，故在近5年中僅有1年對(duì)該命題點(diǎn)作了考查，但其仍是命題的熱點(diǎn)之一，務(wù)必加強(qiáng)訓(xùn)練.已知數(shù)列an和bn滿足a12，b11，an12an(nN*)，b1b2b3bnbn11(nN*)(1)求an與bn；(2)記數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和為T(mén)n，求Tn.解(1)由a12，an12an，得an2n(nN*).2分由題意知：當(dāng)n1時(shí)，b1b21，故b22.3分當(dāng)n2時(shí)，bnbn1bn.4分整理得，所以bnn(nN*).6分(2)由(1)知anbnn2n，因此Tn2222323n2n，2Tn22223324n2n1，8分所以Tn2Tn222232nn2n1.9分故Tn(n1)2n12(nN*).12分運(yùn)用錯(cuò)位相減法求和應(yīng)注意：一是判斷模型，即判斷數(shù)列an，bn中一個(gè)為等差數(shù)列，一個(gè)為等比數(shù)列；二是錯(cuò)開(kāi)位置，一般先乘以公比，再把前n項(xiàng)和退后一個(gè)位置來(lái)書(shū)寫(xiě)，這樣避免兩式相減時(shí)看錯(cuò)列；三是相減，相減時(shí)一定要注意式中最后一項(xiàng)的符號(hào)，考生常在此步出錯(cuò)，一定要細(xì)心提醒：為保證結(jié)果正確，可對(duì)得到的和取n1,2進(jìn)行驗(yàn)證變式訓(xùn)練3已知在公比大于1的等比數(shù)列an中，a2，a4是函數(shù)f(x)(x2)(x8)的兩個(gè)零點(diǎn)(1)求數(shù)列an 的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列2nan的前n項(xiàng)和Sn.解(1)因?yàn)閍2，a4是函數(shù)f(x)(x2)(x8)的兩個(gè)零點(diǎn)，且等比數(shù)列an的公比q大于1，所以a22，a48，2分所以q2，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n1(nN*).6分(2)由(1)知2nann2n ，所以Sn12222n2n，7分2Sn122223(n1)2nn2n1，8分由，得Sn222232nn2n1n2n1，11分所以Sn2(n1)2n1(nN*).12分