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高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 專題4 突破點(diǎn)11 空間中的平行與垂直關(guān)系 理

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高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 專題4 突破點(diǎn)11 空間中的平行與垂直關(guān)系 理

突破點(diǎn)11空間中的平行與垂直關(guān)系提煉1異面直線的性質(zhì)(1)異面直線不具有傳遞性注意不能把異面直線誤解為分別在兩個(gè)不同平面內(nèi)的兩條直線或平面內(nèi)的一條直線與平面外的一條直線(2)異面直線所成角的范圍是,所以空間中兩條直線垂直可能為異面垂直或相交垂直(3)求異面直線所成角的一般步驟為:找出(或作出)適合題設(shè)的角用平移法;求轉(zhuǎn)化為在三角形中求解;結(jié)論由所求得的角或其補(bǔ)角即為所求.提煉2平面與平面平行的常用性質(zhì)(1)夾在兩個(gè)平行平面之間的平行線段長度相等(2)經(jīng)過平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行(3)如果兩個(gè)平面分別平行于第三個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面互相平行(4)兩個(gè)平面平行,則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個(gè)平面.提煉3證明線面位置關(guān)系的方法(1)證明線線平行的方法:三角形的中位線等平面幾何中的性質(zhì);線面平行的性質(zhì)定理;面面平行的性質(zhì)定理;線面垂直的性質(zhì)定理(2)證明線面平行的方法:尋找線線平行,利用線面平行的判定定理;尋找面面平行,利用面面平行的性質(zhì)(3)證明線面垂直的方法:線面垂直的定義,需要說明直線與平面內(nèi)的所有直線都垂直;線面垂直的判定定理;面面垂直的性質(zhì)定理(4)證明面面垂直的方法:定義法,即證明兩個(gè)平面所成的二面角為直二面角;面面垂直的判定定理,即證明一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線回訪1異面直線的性質(zhì)1(2016全國乙卷)平面過正方體ABCDA1B1C1D1的頂點(diǎn)A,平面CB1D1,平面ABCDm,平面ABB1A1n,則m,n所成角的正弦值為()A.B.C. D.A設(shè)平面CB1D1平面ABCDm1.平面平面CB1D1,m1m. 又平面ABCD平面A1B1C1D1,且平面CB1D1平面A1B1C1D1B1D1,B1D1m1.B1D1m.平面ABB1A1平面DCC1D1,且平面CB1D1平面DCC1D1CD1,同理可證CD1n.因此直線m與n所成的角即直線B1D1與CD1所成的角在正方體ABCDA1B1C1D1中,CB1D1是正三角形,故直線B1D1與CD1所成角為60,其正弦值為.2(2015廣東高考)若直線l1和l2是異面直線,l1在平面內(nèi),l2在平面內(nèi),l是平面與平面的交線,則下列命題正確的是()Al與l1,l2都不相交Bl與l1,l2都相交Cl至多與l1,l2中的一條相交Dl至少與l1,l2中的一條相交D由直線l1和l2是異面直線可知l1與l2不平行,故l1,l2中至少有一條與l相交回訪2面面平行的性質(zhì)與線面位置關(guān)系的判斷3(2013全國卷)已知m,n為異面直線,m平面,n平面.直線l滿足lm,ln,l,l,則()A且lB且lC與相交,且交線垂直于lD與相交,且交線平行于lD根據(jù)所給的已知條件作圖,如圖所示由圖可知與相交,且交線平行于l,故選D.4(2016全國甲卷),是兩個(gè)平面,m,n是兩條直線,有下列四個(gè)命題:如果mn,m,n,那么.如果m,n,那么mn.如果,m,那么m.如果mn,那么m與所成的角和n與所成的角相等其中正確的命題有_(填寫所有正確命題的編號(hào))對(duì)于,可以平行,也可以相交但不垂直,故錯(cuò)誤對(duì)于,由線面平行的性質(zhì)定理知存在直線l,nl,又m,所以ml,所以mn,故正確對(duì)于,因?yàn)椋?,沒有公共點(diǎn)又m,所以m,沒有公共點(diǎn),由線面平行的定義可知m,故正確對(duì)于,因?yàn)閙n,所以m與所成的角和n與所成的角相等因?yàn)椋詎與所成的角和n與所成的角相等,所以m與所成的角和n與所成的角相等,故正確熱點(diǎn)題型1空間位置關(guān)系的判斷與證明題型分析:空間中平行與垂直關(guān)系的判斷與證明是高考常規(guī)的命題形式,此類題目綜合體現(xiàn)了相關(guān)判定定理和性質(zhì)定理的考查,同時(shí)也考查了學(xué)生的空間想象能力及轉(zhuǎn)化與化歸的思想.(1)(2016蘭州三模),是兩平面,AB,CD是兩條線段,已知EF,AB于點(diǎn)B,CD于點(diǎn)D,若增加一個(gè)條件,就能得出BDEF.現(xiàn)有下列條件:AC;AC與,所成的角相等;AC與CD在內(nèi)的射影在同一條直線上;ACEF.其中能成為增加條件的序號(hào)是_ 【導(dǎo)學(xué)號(hào):85952040】若AC,且EF,則ACEF,又AB,且EF,則ABEF,AB和AC是平面ACDB上的兩條相交直線,則EF平面ACDB,則EFBD,可以成為增加的條件;AC與,所成的角相等,AC和EF不一定垂直,可以相交、平行,所以EF與平面ACDB不一定垂直,所以推不出EF與BD垂直,不能成為增加的條件;由CD,EF,得EFCD,所以EF與CD在內(nèi)的射影垂直,又AC與CD在內(nèi)的射影在同一直線上,所以EFAC,CD和AC是平面ACDB上的兩條相交直線,則EF平面ACDB,則EFBD,可以成為增加的條件;若ACEF,則AC,則BDAC,所以BDEF,不能成為增加的條件,故能成為增加條件的序號(hào)是.圖111(2)(2016全國乙卷)如圖111,已知正三棱錐PABC的側(cè)面是直角三角形,PA6,頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的正投影為點(diǎn)D,D在平面PAB內(nèi)的正投影為點(diǎn)E,連接PE并延長交AB于點(diǎn)G.證明:G是AB的中點(diǎn);在圖中作出點(diǎn)E在平面PAC內(nèi)的正投影F(說明作法及理由),并求四面體PDEF的體積解題指導(dǎo)(2)解證明:因?yàn)镻在平面ABC內(nèi)的正投影為D,所以ABPD.因?yàn)镈在平面PAB內(nèi)的正投影為E,所以ABDE.1分因?yàn)镻DDED,所以AB平面PED,故ABPG.2分又由已知可得,PAPB,所以G是AB的中點(diǎn).3分在平面PAB內(nèi),過點(diǎn)E作PB的平行線交PA于點(diǎn)F,F(xiàn)即為E在平面PAC內(nèi)的正投影.4分理由如下:由已知可得PBPA,PBPC,又EFPB,所以EFPA,EFPC.又PAPCP,因此EF平面PAC,即點(diǎn)F為E在平面PAC內(nèi)的正投影連接CG,因?yàn)镻在平面ABC內(nèi)的正投影為D,所以D是正三角形ABC的中心由知,G是AB的中點(diǎn),所以D在CG上,故CDCG.8分由題設(shè)可得PC平面PAB,DE平面PAB,所以DEPC,因此PEPG,DEPC.10分由已知,正三棱錐的側(cè)面是直角三角形且PA6,可得DE2,PE2.在等腰直角三角形EFP中,可得EFPF2,11分所以四面體PDEF的體積V222.12分在解答空間中線線、線面和面面的位置關(guān)系問題時(shí),我們可以從線、面的概念、定理出發(fā),學(xué)會(huì)找特例、反例和構(gòu)建幾何模型判斷兩直線是異面直線是難點(diǎn),我們可以依據(jù)定義來判定,也可以依據(jù)定理(過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線,和平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線)判定而反證法是證明兩直線異面的有效方法提醒:判斷直線和平面的位置關(guān)系中往往易忽視直線在平面內(nèi),而面面位置關(guān)系中易忽視兩個(gè)平面平行此類問題可以結(jié)合長方體中的線面關(guān)系找出假命題中的反例變式訓(xùn)練1(1)(2016石家莊二模)設(shè)m,n是兩條不同的直線,是三個(gè)不同的平面,給出下列四個(gè)命題:若m,n,則mn;若,m,則m;若n,mn,則m,m;若,則.其中真命題的個(gè)數(shù)為()A0B1C2D3B若m,n,則m,n可能平行或異面,錯(cuò)誤;若,則,又m,則m,正確;若n,mn,則m或m或m或m,錯(cuò)誤;若,則,可能平行或相交,錯(cuò)誤,則真命題個(gè)數(shù)為1,故選B.(2)(2016全國丙卷)如圖112,四棱錐PABCD中,PA底面ABCD,ADBC,ABADAC3,PABC4,M為線段AD上一點(diǎn),AM2MD,N為PC的中點(diǎn)圖112證明MN平面PAB;求四面體NBCM的體積解證明:由已知得AMAD2.如圖,取BP的中點(diǎn)T,連接AT,TN,由N為PC中點(diǎn)知TNBC,TNBC2.又ADBC,故TN綊AM,2分所以四邊形AMNT為平行四邊形,于是MNAT.因?yàn)锳T平面PAB,MN平面PAB,所以MN平面PAB.4分因?yàn)镻A平面ABCD,N為PC的中點(diǎn),所以N到平面ABCD的距離為PA.如圖,取BC的中點(diǎn)E,連接AE.由ABAC3得AEBC,AE.6分由AMBC得M到BC的距離為,故SBCM42.8分所以四面體NBCM的體積VNBCMSBCM.12分熱點(diǎn)題型2平面圖形的翻折問題題型分析:(1)解決翻折問題的關(guān)鍵是搞清翻折前后圖形中線面位置關(guān)系和度量關(guān)系的變化情況.(2)找出其中變化的量和沒有變化的量,一般地翻折后還在同一個(gè)平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化,不在同一個(gè)平面上的性質(zhì)發(fā)生變化. (2016全國甲卷)如圖113,菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在AD,CD上,AECF,EF交BD于點(diǎn)H.將DEF沿EF折到DEF的位置圖113(1)證明:ACHD;(2)若AB5,AC6,AE,OD2,求五棱錐DABCFE的體積解(1)證明:由已知得ACBD,ADCD.1分又由AECF得,故ACEF.2分由此得EFHD,故EFHD,所以ACHD.3分(2)由EFAC得.4分由AB5,AC6得DOBO4.所以O(shè)H1,DHDH3.5分于是OD2OH2(2)2129DH2,故ODOH.6分由(1)知ACHD,又ACBD,BDHDH,所以AC平面BHD,于是ACOD.8分又由ODOH,ACOHO,所以O(shè)D平面ABC.又由得EF.10分五邊形ABCFE的面積S683.11分所以五棱錐DABCFE的體積V2.12分翻折問題的注意事項(xiàng)1畫好兩圖:翻折之前的平面圖形與翻折之后形成的幾何體的直觀圖2把握關(guān)系:即比較翻折前后的圖形,準(zhǔn)確把握平面圖形翻折前后的線線關(guān)系,哪些平行與垂直的關(guān)系不變,哪些平行與垂直的關(guān)系發(fā)生變化,這是準(zhǔn)確把握幾何體結(jié)構(gòu)特征,進(jìn)行空間線面關(guān)系邏輯推理的基礎(chǔ)3準(zhǔn)確定量:即根據(jù)平面圖形翻折的要求,把平面圖形中的相關(guān)數(shù)量轉(zhuǎn)化為空間幾何體的數(shù)字特征,這是準(zhǔn)確進(jìn)行計(jì)算的基礎(chǔ)變式訓(xùn)練2(2016海淀二模)已知長方形ABCD中,AD,AB2,E為AB的中點(diǎn)將ADE沿DE折起到PDE,得到四棱錐PBCDE,如圖114所示圖114(1)若點(diǎn)M為PC的中點(diǎn),求證:BM平面PDE;(2)當(dāng)平面PDE平面BCDE時(shí),求四棱錐PBCDE的體積;(3)求證:DEPC.解(1)證明:取DP中點(diǎn)F,連接EF,F(xiàn)M.因?yàn)樵赑DC中,點(diǎn)F,M分別是所在邊的中點(diǎn),所以FM綊DC.1分又EB綊DC,所以FM綊EB,2分所以四邊形FEBM是平行四邊形,所以BMEF.3分又EF平面PDE,BM平面PDE.所以BM平面PDE.4分(2)因?yàn)槠矫鍼DE平面BCDE,在PDE中,作PODE于點(diǎn)O,因?yàn)槠矫鍼DE平面BCDEDE,所以PO平面BCDE.6分在PDE中,計(jì)算可得PO,7分所以V四棱錐PBCDESh(12).8分(3)證明:在矩形ABCD中,連接AC交DE于點(diǎn)I,因?yàn)閠anDEA,tanCAB,所以DEACAB,所以DEAC,9分所以在四棱錐PBCDE中,PIDE,CIDE,10分又PICII,所以DE平面PIC.11分因?yàn)镻C平面PIC,所以DEPC.12分

注意事項(xiàng)

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