高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題 文（重點(diǎn)班）

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陜西省黃陵中學(xué)2017屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題（重點(diǎn)班） 文 第Ⅰ卷（共60分） 一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1.設(shè)集合，，若，則（ ） A. B. C. D. 　 2．若奇函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，則有（?。? 　　A．f（x）＞f（-x）　　　　　　　　C．f（x）≤f（-x） 　　C．f（x）f（-x）≤0　　　　　D．f（x）f（-x）＞0 3．若a,b是異面直線，且a∥平面a ，那么b與平面a 的位置關(guān)系是（　） 　　A．b∥a　　　　　　　　　　　　B．b與a 相交 C．ba　　　　　　　　　　　　D．以上三種情況都有可能 4．“”是“直線與直線平行”的（ ）條件。 A．充分但不必要 B．必要但不充分 C．充分 D．既不充分也不必要 5.設(shè)直線與平面相交但不垂直，則下列命題錯(cuò)誤的是 （ ） A．在平面內(nèi)存在直線與直線平行 B．在平面內(nèi)存在直線與直線垂直 C．在平面內(nèi)存在直線與直線相交 D． 在平面內(nèi)存在直線與直線異面 6. 《九章算術(shù)》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱之為“塹堵”，已知某“塹堵”的三視圖如圖所示，則該“塹堵”的表面積為 （ ） A． B． C. D． 7. 已知是等比數(shù)列，且 ，則 （ ） A． B． C. D． 8. 已知對(duì)數(shù)函數(shù) ，且在區(qū)間上的最大值與最小值之積為，則 （ ） A． B．或 C. D． 9. 執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的 （ ） A． B． C. D． 10. 已知函數(shù) ，若在區(qū)間內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，則 的概率為 （ ） A． B． C. D． 11. 現(xiàn)有一半球形原料，若通過(guò)切削將該原料加工成一正方體工件，則所得工件體積與原料體積之比的最大值為 （ ） A． B． C. D． 12. 已知是函數(shù) 在 內(nèi)的兩個(gè)零點(diǎn)，則（ ） A． B． C. D． 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上） 13. 設(shè)向量與滿足,則 ． 14. 設(shè)實(shí)數(shù)滿足約束條件，則 的最大值等于 ． 15. 拋物線 與橢圓 有相同的焦點(diǎn)， 拋物線與 橢圓交于，若共線，則橢圓的離心率等于 ． 16. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則數(shù)列 的前項(xiàng)和等于 ． 三、解答題 （本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.） 17. （本小題滿分12分）在中,角、、所對(duì)的邊分別為、、.已知. （1）求； （2）若的面積為，周長(zhǎng)為 ，求. 18. （本小題滿分12分）在某校舉行的航天知識(shí)競(jìng)賽中，參與競(jìng)賽的文科生與理科生人數(shù)之比為，且成績(jī)分布在，分?jǐn)?shù)在以上（含）的同學(xué)獲獎(jiǎng). 按文理科用分層抽樣的方法抽取人的成績(jī)作為樣本，得到成績(jī)的頻率分布直方圖（見(jiàn)下圖）. （1）求的值，并計(jì)算所抽取樣本的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）； （2）填寫(xiě)下面的列聯(lián)表，能否有超過(guò)的把握認(rèn)為“獲獎(jiǎng)與學(xué)生的文理科有關(guān)”？ 文科生 理科生 合計(jì) 獲獎(jiǎng) 不獲獎(jiǎng) 合計(jì) 附表及公式： ，其中 19. （本小題滿分12分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，且經(jīng)過(guò)點(diǎn) （I）求橢圓的方程： （II）直線（）與橢圓相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，且，請(qǐng)問(wèn)△的面積是否存在最小值？若存在，求出此時(shí)直線的方程：若不存在，說(shuō)明理由． 20. （本小題滿分12分）已知為實(shí)數(shù)，. （1）若，求在上的最大值和最小值； （2）若在和上都遞減，求的取值范圍. 21. （本小題滿分12分）已知圓，圓，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的兩直線滿足，且交圓于不同兩點(diǎn)交圓于不同兩點(diǎn)，記的斜率為. （1）求的取值范圍； （2）若四邊形為梯形，求的值． 請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分. 22. （本小題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在直角坐標(biāo)系中，曲線，曲線為參數(shù)）， 以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建 立極坐標(biāo)系． （1）求曲線的極坐標(biāo)方程； （2）若射線分別交于兩點(diǎn)， 求的最大值． 23. （本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講 已知函數(shù). （1）當(dāng)時(shí)，解不等式； （2）若，求的取值范圍． 文科數(shù)學(xué)參考答案 一、 選擇題： 1-5CCDA A 6-12 BABCD AC 二、填空題： （13）5 （14）－2 （15）－1 （16）－ 三、解答題： （17）解： （Ⅰ）由正弦定理可得 sinA＝2sinAcosAcosB－2sinBsin2A ＝2sinA(cosAcosB－sinBsinA)＝2sinAcos(A＋B)＝－2sinAcosC． 所以cosC＝－，故C＝． （Ⅱ）由△ABC的面積為得ab＝15， 由余弦定理得a2＋b2＋ab＝c2，又c＝15－(a＋b)， 解得c＝7． …12分 （18）解： （Ⅰ）a＝[1－(0.01＋0.015＋0.03＋0.015＋0.005)10]10＝0.025， ＝450.1＋550.15＋650.25＋750.3＋850.15＋950.05＝69． …4分 （Ⅱ） 文科生 理科生 合計(jì) 獲獎(jiǎng) 5 35 40 不獲獎(jiǎng) 45 115 160 合計(jì) 50 150 200 …8分 k＝＝≈4.167＞3.841， 所以有超過(guò)95%的把握認(rèn)為“獲獎(jiǎng)與學(xué)生的文理科有關(guān)”． （19）解： （Ⅰ）過(guò)N作NE∥BC，交PB于點(diǎn)E，連AE， ∵CN＝3NP， ∴EN∥BC且EN＝BC， 又∵AD∥BC，BC＝2AD＝4，M為AD的中點(diǎn)， ∴AM∥BC且AM＝BC， ∴EN∥AM且EN＝AM， ∴四邊形AMNE是平行四邊形， ∴MN∥AE， 又∵M(jìn)N平面PAB，AE平面PAB， ∴MN∥平面PAB． （Ⅱ）連接AC，在梯形ABCD中， 由BC＝2AD＝4，AB＝CD，∠ABC＝60 得AB＝2， ∴AC＝2，AC⊥AB． ∵PA⊥平面ABCD， ∴PA⊥AC． 又∵PA∩AB＝A，∴AC⊥平面PAB． 又∵CN＝3NP， ∴N點(diǎn)到平面PAB的距離d＝AC＝． （20）（I）由題意，，∴a=2，b=1， ∴橢圓C的方程： （II）D在AB的垂直平分線上，∴OD： ． 由，可得（1+4k2）x2=4，|AB|=2|OA|=2=4， 同理可得|OC|=2， 則S△ABC=2S△OAC=|OA||OC|=． 由于， 所以S△ABC=2S△OAC≥，當(dāng)且僅當(dāng)1+4k2=k2+4（k＞0）， 即k=1時(shí)取等號(hào)．△ABD的面積取最小值．直線AB的方程為y=x． （21）解： （Ⅰ）顯然k≠0，所以l1：y＝kx，l2：y＝－x． 依題意得M到直線l1的距離d1＝＜， 整理得k2－4k＋1＜0，解得2－＜k＜2＋； 同理N到直線l2的距離d2＝＜，解得－＜k＜， 所以2－＜k＜． … （Ⅱ）設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)， 將l1代入圓M可得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋6＝0， 所以x1＋x2＝，x1x2＝； 將l2代入圓N可得：(1＋k2)x2＋16kx＋24k2＝0， 所以x3＋x4＝－，x3x4＝． 由四邊形ABCD為梯形可得，所以＝， 所以(1＋k)2＝4，解得k＝1或k＝－3（舍）． （22）解：（Ⅰ）C1：ρ(cosθ＋sinθ)＝4， C2的普通方程為(x－1)2＋y2＝1，所以ρ＝2cosθ． （Ⅱ）設(shè)A(ρ1，α)，B(ρ2，α)，－＜α＜， 則ρ1＝，ρ2＝2cosα， ＝＝2cosα(cosα＋sinα) ＝(cos2α＋sin2α＋1)＝[cos(2α－)＋1]， 當(dāng)α＝時(shí)，取得最大值(＋1)． （23）解： （Ⅱ） ①若a＞1，f(x)＝(a－1)|x－1|＋|x－1|＋|x－a|≥a－1， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)，取等號(hào)，故只需a－1≥1，得a≥2． ②若a＝1，f(x)＝2|x－1|，f(1)＝0＜1，不合題意． ③若0＜a＜1，f(x)＝a|x－1|＋a|x－a|＋(1－a)|x－a|≥a(1－a)， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝a時(shí)，取等號(hào)，故只需a(1－a)≥1，這與0＜a＜1矛盾． 綜上所述，a的取值范圍是[2，＋∞)． 解法2 f(x)≥1f(1)＝|1－a|≥1且a＞0，解得a≥2. 當(dāng)a≥2時(shí)，f(x)＝a|x－1|＋|x－a|＝ 所以，f(x)在（－∞,1]上遞減，在[1，＋∞）上遞增，則f(x)≥f(1)． f(x)≥1f(1)＝a－1≥1，解得a≥2． 綜上所述，a的取值范圍是[2，＋∞)．