高考大題分層練 6 解析幾何、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)(B組) 理 新人教版

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高考大題分層練 6.解析幾何、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)(B組) 大題集訓(xùn)練，練就慧眼和規(guī)范，占領(lǐng)高考制勝點(diǎn)！ 1.以橢圓C：+=1(a>b>0)的中心O為圓心，為半徑的圓稱(chēng)為該橢圓的“準(zhǔn)圓”.設(shè)橢圓C的左頂點(diǎn)為P，左焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為Q，且滿(mǎn)足=2，S△OPQ=S△OFQ. (1)求橢圓C及其“準(zhǔn)圓”的方程. (2)若橢圓C的“準(zhǔn)圓”的一條弦ED(不與坐標(biāo)軸垂直)與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，試證明：當(dāng)=0時(shí)，弦ED的長(zhǎng)是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由. 【解析】(1)設(shè)橢圓C的左焦點(diǎn)F(-c，0)，c>0，由S△OPQ=S△OFQ得a=c，又=2，即a2+b2=4且b2+c2=a2，所以a2=3，b2=1， 則橢圓C的方程為+y2=1；橢圓C的“準(zhǔn)圓”方程為x2+y2=4. (2)設(shè)直線(xiàn)ED的方程為y=kx+m(k，m∈R)，且與橢圓C的交點(diǎn)M(x1，y1)，N(x2，y2)， 聯(lián)列方程組代入消元得： (1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0， 由x1+x2=；x1x2=， 可得y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=，由=0， 得x1x1+y1y2=0，即+ ==0， 所以m2=(k2+1)， 此時(shí)Δ=36k2m2-4(1+3k2)(3m2-3)=27k2+3>0成立， 則原點(diǎn)O到弦ED的距離d====， 所以原點(diǎn)O到弦ED的距離為， 則=2=， 故弦ED的長(zhǎng)為定值，定值為. 2.已知函數(shù)f(x)=lnx-kx+1(k為常數(shù))，函數(shù)g(x)=xex-ln，(a為常數(shù)，且a>0). (1)若函數(shù)f(x)有且只有1個(gè)零點(diǎn)，求k的取值的集合. (2)當(dāng)(1)中的k取最大值時(shí)，求證：ag(x)-2f(x)>2(lna-ln2). 【解析】(1)f′(x)=， ①當(dāng)k≤0時(shí)，f′(x)>0，則f(x)在(0，+∞)單調(diào)遞增. 而f(ek-2)=k-2-kek-2+1=k(1-ek-2)-1≤-1<0，f(1)=1-k>0， 故f(x)在(ek-2，1)上存在唯一零點(diǎn)，滿(mǎn)足題意； ②當(dāng)k>0時(shí)，令f′(x)>0得0，則f(x)在上單調(diào)遞減； 若f=0，得k=1，顯然滿(mǎn)足題意； 若f>0，則00，得x<1，故h(x)在(0，1)上單調(diào)遞增； 令h′(x)<0，得x>1，故h(x)在(1，+∞)上單調(diào)遞減； 故h(x)≤h(1)=0，則h=ln-+1<0， 即ln-<-1， 則f=2ln-+1=2+1<-1<0. 故f(x)在上有唯一零點(diǎn)，在上有唯一零點(diǎn)，不符題意. 綜上，k的取值的集合為{k|k≤0或k=1}. (2)由(1)知，lnx≤x-1，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取“=”， 而x+1>1，故ln axex-ax-2lnx+2x-2=axex-2lnx-2x-2， 記F(x)=axex-2lnx-2x-2， 則F′(x)=(x+1)=(axex-2)， 令G(x)=axex-2，則G′(x)=a(x+1)ex>0，故G(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增. 而G(0)=-2<0，G=2(-1)>0，故存在x0∈， 使得G(x0)=0，即ax0-2=0. 則x∈(0，x0)時(shí)，G′(x)<0，故F′(x)<0；x∈(x0，+∞)時(shí)，G′(x)>0， 故F′(x)>0. 則F(x)在(0，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，+∞)上單調(diào)遞增， 故F(x)≥F(x0)=ax0-2x0-2lnx0-2=-2(x0+lnx0)=-2ln(x0) =-2ln=2lna-2ln2. 故ag(x)-2f(x)>2(lna-ln2).