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高考數(shù)學(xué)大二輪專題復(fù)習(xí) 第三編 考前沖刺攻略 第三步 應(yīng)試技能專訓(xùn) 三 壓軸題專練 理

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高考數(shù)學(xué)大二輪專題復(fù)習(xí) 第三編 考前沖刺攻略 第三步 應(yīng)試技能專訓(xùn) 三 壓軸題專練 理

三、壓軸題專練(一)1.如圖,F(xiàn)是橢圓1(ab0)的左焦點(diǎn),A,B是橢圓的兩個頂點(diǎn),橢圓的離心率為,點(diǎn)C在x軸上,BCBF,B,C,F(xiàn)三點(diǎn)確定的圓M恰好與直線xy30相切(1)求橢圓的方程;(2)過F作一條與兩坐標(biāo)軸都不垂直的直線l交橢圓于P,Q兩點(diǎn),在x軸上是否存在點(diǎn)N,使得NF恰好為PNQ的內(nèi)角平分線,若存在,求出點(diǎn)N的坐標(biāo),若不存在,請說明理由解(1)由題意可知F(c,0),e,bc,即B(0,c),kBF,又BCBF,kBC,C(3c,0),圓M的圓心坐標(biāo)為(c,0),半徑為2c,由直線xy30與圓M相切可得2c,c1.橢圓的方程為1.(2)假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)N(x0,0)由題意可設(shè)直線l的方程為yk(x1)(k0),設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),NF為PNQ的內(nèi)角平分線,kNPkNQ,即,(x11)(x2x0)(x21)(x1x0)x0.又3x24k2(x1)212.(34k2)x28k2x4k2120.x1x2,x1x2.x04,存在滿足條件的點(diǎn)N,點(diǎn)N的坐標(biāo)為(4,0)2.設(shè)函數(shù)f(x)x2mln x,g(x)x2(m1)x.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)當(dāng)m0時,討論函數(shù)f(x)與g(x)圖象的交點(diǎn)個數(shù)解(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,),f(x),當(dāng)m0時,f(x)>0,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,),無單調(diào)遞減區(qū)間當(dāng)m>0時,f(x),當(dāng)0<x<時,f(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x>時,f(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增綜上:當(dāng)m0時,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,),無單調(diào)遞減區(qū)間;當(dāng)m>0時,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(,),單調(diào)遞減區(qū)間是(0,)(2)令F(x)f(x)g(x)x2(m1)xmln x,x>0,問題等價于求函數(shù)F(x)的零點(diǎn)個數(shù),當(dāng)m0時,F(xiàn)(x)x2x,x>0,有唯一零點(diǎn);當(dāng)m0時,F(xiàn)(x),當(dāng)m1時,F(xiàn)(x)0,函數(shù)F(x)為減函數(shù),注意到F(1)>0,F(xiàn)(4)ln 4<0,所以F(x)有唯一零點(diǎn)當(dāng)m>1時,0<x<1或x>m時,F(xiàn)(x)<0;1<x<m時,F(xiàn)(x)>0,所以函數(shù)F(x)在(0,1)和(m,)上單調(diào)遞減,在(1,m)上單調(diào)遞增,注意到F(1)m>0,F(xiàn)(2m2)mln (2m2)<0,所以F(x)有唯一零點(diǎn)當(dāng)0<m<1時,0<x<m或x>1時,F(xiàn)(x)<0;m<x<1時,F(xiàn)(x)>0,所以函數(shù)F(x)在(0,m)和(1,)上單調(diào)遞減,在(m,1)上單調(diào)遞增,易得ln m<0,所以F(m)(m22ln m)>0,而F(2m2)mln (2m2)<0,所以F(x)有唯一零點(diǎn)綜上,函數(shù)F(x)有唯一零點(diǎn),即兩函數(shù)圖象有一個交點(diǎn)3選做題(1)選修44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))在以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C的極坐標(biāo)方程為.直接寫出直線l的普通方程、曲線C的直角坐標(biāo)方程;設(shè)曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離為d,求d的取值范圍(2)選修45:不等式選講設(shè)函數(shù)f(x)|2xa|2a.若不等式f(x)6的解集為x|6x4,求實(shí)數(shù)a的值在的條件下,若不等式f(x)(k21)x5的解集非空,求實(shí)數(shù)k的取值范圍解(1)直線l的普通方程為xy30.曲線C的直角坐標(biāo)方程為3x2y23.曲線C的直角坐標(biāo)方程為3x2y23,即x21,曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)可表示為(cos,sin)2sin31>0,d.d的最小值為,d的最大值為.d,即d的取值范圍為.(2)|2xa|2a6,|2xa|62a,2a62xa62a,a3x3,不等式f(x)6的解集為x|6x4,解得a2.由得f(x)|2x2|4.|2x2|4(k21)x5,化簡整理得|2x2|1(k21)x,令g(x)|2x2|1yg(x)的圖象如圖所示,要使不等式f(x)(k21)x5的解集非空,需k21>2或k211,k的取值范圍是k|k>或k<或k0(二)1.2016西安質(zhì)檢 如圖所示,已知橢圓C的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,離心率等于,它的一個頂點(diǎn)恰好在拋物線x28y的準(zhǔn)線上(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)點(diǎn)P(2,),Q(2,)在橢圓上,A,B是橢圓上位于直線PQ兩側(cè)的動點(diǎn),當(dāng)A,B運(yùn)動時,滿足APQBPQ,試問直線AB的斜率是否為定值,請說明理由解(1)設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>b>0)橢圓的一個頂點(diǎn)恰好在拋物線x28y的準(zhǔn)線y2上,b2,解得b2.又,a2b2c2,a4,c2.可得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),APQBPQ,則PA,PB的斜率互為相反數(shù),可設(shè)直線PA的斜率為k,則PB的斜率為k,直線PA的方程為:yk(x2),聯(lián)立化為(14k2)x28k(2k)x4(2k)2160,x12.同理可得:x22,x1x2,x1x2,kAB.直線AB的斜率為定值.22016河南六市一聯(lián)已知函數(shù)f(x)aln xx,g(x)x2(1a)x(2a)ln x,其中aR.(1)若g(x)在其定義域內(nèi)為增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)若函數(shù)F(x)f(x)g(x)的圖象交x軸于A,B兩點(diǎn),AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0,問:函數(shù)F(x)的圖象在點(diǎn)(x0,F(xiàn)(x0)處的切線能否平行于x軸?解(1)g(x)2x(1a),g(x)的定義域?yàn)閤|x>0,且g(x)在其定義域內(nèi)為增函數(shù),g(x)0在x>0時恒成立,則2x2(1a)x(2a)0在x>0時恒成立,a5在x>0時恒成立而當(dāng)x>0時,2(x1)>3,a2,)(2)設(shè)F(x)的圖象在(x0,F(xiàn)(x0)處的切線平行于x軸,F(xiàn)(x)2ln xx2ax,F(xiàn)(x)2xa,不妨設(shè)A(m,0),B(n,0),0<m<n,則 得2ln (mn)(mn)a(mn),a2x0,由得a2x0,ln,設(shè)t(0,1),式可變?yōu)閘n t0(t(0,1)設(shè)h(t)ln t,h(t)>0(t(0,1),函數(shù)h(t)ln t在(0,1)上單調(diào)遞增,因此h(t)<h(1)0,也就是ln <,此式與矛盾F(x)的圖象在點(diǎn)(x0,F(xiàn)(x0)處的切線不能平行于x軸3選做題(1)選修44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以O(shè)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為(4cos3sin)m0(其中m為常數(shù))若直線l與曲線C恰好有一個公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的值;若m4,求直線l被曲線C截得的弦長(2)選修45:不等式選講已知定義在R上的連續(xù)函數(shù)f(x)滿足f(0)f(1)若f(x)ax2x,解不等式|f(x)|<ax;若任意x1,x20,1,且x1x2時,有|f(x1)f(x2)|<|x1x2|,求證:|f(x1)f(x2)|<.解(1)直線l的極坐標(biāo)方程可化為直角坐標(biāo)方程:4x3ym0,曲線C的參數(shù)方程可化為普通方程:y24x,由可得y23ym0,因?yàn)橹本€l和曲線C恰好有一個公共點(diǎn),所以94m0,所以m.當(dāng)m4時,直線l:4x3y40恰好過拋物線的焦點(diǎn)F(1,0),由可得4x217x40,設(shè)直線l與拋物線C的兩個交點(diǎn)分別為A(x1,y1),B(x2,y2),則x1x2,故直線l被拋物線C所截得的弦長為|AB|x1x222.(2)f(0)f(1),即a10,即a1,所以不等式化為|x2x|<x.a當(dāng)x<0時,不等式化為x2x<x,所以<x<0;b當(dāng)0x1時,不等式化為x2x<x,所以0x<;c當(dāng)x>1時,不等式化為x2x<x,所以x.綜上所述,不等式的解集為.證明:由已知任意x1,x20,1且x1x2,則不妨設(shè)x2>x1,則當(dāng)x2x1時,|f(x1)f(x2)|<|x1x2|,當(dāng)x2x1>時,則x1<,且1x2<,那么|f(x1)f(x2)|f(x1)f(0)f(1)f(x2)|f(x1)f(0)|f(1)f(x2)|<x101x21(x2x1)<.(三)1.2016鄭州質(zhì)檢已知點(diǎn)M(1,0),N(1,0),曲線E上任意一點(diǎn)到點(diǎn)M的距離均是到點(diǎn)N距離的倍(1)求曲線E的方程;(2)已知m0,設(shè)直線l1:xmy10交曲線E于A,C兩點(diǎn),直線l2:mxym0交曲線E于B,D兩點(diǎn),C,D兩點(diǎn)均在x軸下方當(dāng)CD的斜率為1時,求線段AB的長解(1)設(shè)曲線E上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),由題意可得, ,整理得x2y24x10,即(x2)2y23.(2)由題知l1l2,且兩條直線均恒過點(diǎn)N(1,0),設(shè)曲線E的圓心為E,則E(2,0),線段CD的中點(diǎn)為P,則直線EP:yx2,設(shè)直線CD:yxt,由解得點(diǎn)P,由圓的幾何性質(zhì),知|NP|CD|,而|NP|222,|ED|23,|EP|22,解之得t0或t3,又C,D兩點(diǎn)均在x軸下方,所以直線CD:yx.由解得或不失一般性,可設(shè)C,D,AC:yu(x1),由消y得:(u21)x22(u22)xu210,方程的兩根之積為1,所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)xA2,又點(diǎn)C在直線l1:xmy10上,解得m1,直線l1:y(1)(x1),所以A(2,1),同理可得B(2,1),所以線段AB的長為2.22016唐山統(tǒng)考已知函數(shù)f(x)(a>0)(1)若a1,證明:yf(x)在R上單調(diào)遞減;(2)當(dāng)a>1時,討論f(x)零點(diǎn)的個數(shù)解(1)證明:當(dāng)x1時,f(x)10,f(x)在1,)上單調(diào)遞減,f(x)f(1)0;當(dāng)x<1時,f(x)ex11<0,f(x)在(,1)上單調(diào)遞減,且此時f(x)>0.所以yf(x)在R上單調(diào)遞減(2)若xa,則f(x)aa<0(a>1),所以此時f(x)單調(diào)遞減,令g(a)f(a)ln aa21,則g(a)2a<0,所以f(a)g(a)<g(1)0,(另解:f(a)ln aa21<ln aa1<0,事實(shí)上,令h(a)ln aa1,h(a)1<0,h(a)<h(1)0)即f(x)f(a)<0,故f(x)在a,)上無零點(diǎn)當(dāng)x<a時,f(x)ex1a2,當(dāng)a>2時,f(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,又f(0)e1>0,f<0,所以此時f(x)在上有一個零點(diǎn)當(dāng)a2時,f(x)ex1,此時f(x)在(,2)上沒有零點(diǎn)當(dāng)1<a<2時,令f(x0)0,解得x0ln (2a)1<1<a,所以f(x)在(,x0)上單調(diào)遞減,在(x0,a)上單調(diào)遞增f(x0)e x01(a2)x0e x01 (1x0)>0,所以此時f(x)沒有零點(diǎn)綜上,當(dāng)1<a2時,f(x)沒有零點(diǎn);當(dāng)a>2時,f(x)有一個零點(diǎn)3選做題(1)選修44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),曲線C的極坐標(biāo)方程為2sin,直線l與曲線C交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)P.求曲線C的直角坐標(biāo)方程;求的值(2)選修45:不等式選講已知實(shí)數(shù)m,n滿足:關(guān)于x的不等式|x2mxn|3x26x9|的解集為R.求m,n的值;若a,b,cR,且abcmn,求證:.解(1)利用極坐標(biāo)公式,把曲線C的極坐標(biāo)方程2sin化為22sin2cos,普通方程是x2y22y2x,即(x1)2(y1)22.直線l與曲線C交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)P,把直線l的參數(shù)方程代入曲線C的普通方程 (x1)2(y1)22中,得t2t10,.(2)由于解集為R,那么x3,x1都滿足不等式,即有即解得m2,n3,經(jīng)驗(yàn)證當(dāng)m2,n3時,不等式的解集是R.證明:abc1,ab2,bc2,ca2,()2abc2223(abc)3,故(當(dāng)且僅當(dāng)abc時取等號)(四)1.2016石家莊模擬已知拋物線C:y22px(p>0)過點(diǎn)M(m,2),其焦點(diǎn)為F,且|MF|2.(1)求拋物線C的方程;(2)設(shè)E為y軸上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn),過點(diǎn)E作不經(jīng)過原點(diǎn)的兩條直線分別與拋物線C和圓F:(x1)2y21相切,切點(diǎn)分別為A,B,求證:直線AB過定點(diǎn)解(1)拋物線C的準(zhǔn)線方程為x,|MF|m2,又42pm,即42p,p24p40,p2,拋物線C的方程為y24x.(2)證明:設(shè)點(diǎn)E(0,t)(t0),由已知切線不為y軸,設(shè)EA:ykxt,聯(lián)立消去y,可得k2x2(2kt4)xt20,直線EA與拋物線C相切,(2kt4)24k2t20,即kt1,代入 可得x22xt20,xt2,即A(t2,2t)設(shè)切點(diǎn)B(x0,y0),則由幾何性質(zhì)可以判斷點(diǎn)O,B關(guān)于直線EF:ytxt對稱,則解得即B.解法一:直線AB的斜率為kAB(t1),直線AB的方程為y(xt2)2t,整理得y(x1),直線AB恒過定點(diǎn)F(1,0),當(dāng)t1時,A(1,2),B(1,1),此時直線AB為x1,過點(diǎn)F(1,0)綜上,直線AB恒過定點(diǎn)F(1,0)解法二:直線AF的斜率為kAF(t1),直線BF的斜率為kBF(t1),kAFkBF,即A,B,F(xiàn)三點(diǎn)共線當(dāng)t1時,A(1,2),B(1,1),此時A,B,F(xiàn)三點(diǎn)共線直線AB過定點(diǎn)F(1,0)22016貴州測試設(shè)nN*,函數(shù)f(x),函數(shù)g(x)(x>0)(1)當(dāng)n1時,求函數(shù)yf(x)的零點(diǎn)個數(shù);(2)若函數(shù)yf(x)與函數(shù)yg(x)的圖象分別位于直線y1的兩側(cè),求n的取值集合A;(3)對于nA,x1,x2(0,),求|f(x1)g(x2)|的最小值解(1)當(dāng)n1時,f(x),f(x)(x>0)由f(x)>0得0<x<e;由f(x)<0得x>e.所以函數(shù)f(x)在(0,e)上單調(diào)遞增,在(e,)上單調(diào)遞減,因?yàn)閒(e)>0,fe<0,所以函數(shù)f(x)在(0,e)上存在一個零點(diǎn);當(dāng)x(e,)時,f(x)>0恒成立,所以函數(shù)f(x)在(e,)上不存在零點(diǎn)綜上得函數(shù)f(x)在(0,)上存在唯一一個零點(diǎn)(2)對函數(shù)f(x)求導(dǎo),得f(x)(x>0),由f(x)>0,得0<x<e;由f(x)<0,得x>e;.所以函數(shù)f(x)在(0,e;)上單調(diào)遞增,在(e;,)上單調(diào)遞減,則當(dāng)xe;時,函數(shù)f(x)有最大值f(x)maxf(e;).對函數(shù)g(x)(x>0)求導(dǎo),得g(x)(x>0),由g(x)>0,得x>n;由g(x)<0,得0<x<n.所以函數(shù)g(x)在(0,n)上單調(diào)遞減,在(n,)上單調(diào)遞增,則當(dāng)xn時,函數(shù)g(x)有最小值g(x)ming(n)n.因?yàn)閚N*,函數(shù)f(x)的最大值f(e)<1,即函數(shù)f(x)在直線y1的下方,故函數(shù)g(x)(x>0)在直線y1的上方,所以g(x)ming(n)n>1,解得n<e.所以n的取值集合A1,2(3)對x1,x2(0,),|f(x1)g(x2)|的最小值等價于g(x)minf(x)maxn.當(dāng)n1時,g(x)minf(x)maxe;當(dāng)n2時,g(x)minf(x)max;因?yàn)?gt;0,所以|f(x1)g(x2)|的最小值為.3選做題(1)選修44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以O(shè)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為24sin3.求曲線C1的普通方程與曲線C2的直角坐標(biāo)方程;求曲線C1上的點(diǎn)與曲線C2上的點(diǎn)的距離的最小值(2)選修45:不等式選講已知函數(shù)f(x)|xa|x2a|.當(dāng)a1時,求不等式f(x)>2的解集;若對任意xR,不等式f(x)a23a3恒成立,求a的取值范圍解(1)x22(sincos)2sin21y,所以C1的普通方程為yx2.將2x2y2,siny代入C2的方程得x2y24y3,所以C2的直角坐標(biāo)方程為x2y24y30.將x2y24y30變形為x2(y2)21,它的圓心為C(0,2)設(shè)P(x0,y0)為C1上任意一點(diǎn),則y0x,從而|PC|2(x00)2(y02)2x(x2)2x3x42,所以當(dāng)x時,|PC|min,故曲線C1上的點(diǎn)與曲線C2上的點(diǎn)的距離的最小值為1.(2)當(dāng)a1時,f(x)|x1|x2|.當(dāng)x1時,f(x)1x2x32x,此時由f(x)>2得x<;當(dāng)1<x2時,f(x)x12x1,此時f(x)>2無解;當(dāng)x>2時,f(x)x1x22x3,此時由f(x)>2得x>.綜上可得不等式f(x)>2的解集為.因?yàn)閒(x)|xa|x2a|(xa)(x2a)|a|,故f(x)取得最小值|a|,因此原不等式等價于|a|a23a3.當(dāng)a0時,有aa23a3,即a24a30,解得2a2,此時有0a2.當(dāng)a<0時,有aa23a3,即a22a30,解得1a3,此時有1a<0.綜上可知a的取值范圍是1,2

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