高考數(shù)學大二輪復習 第二編 專題整合突破 專題五 立體幾何 第二講 點、直線、平面之間的位置關系適考素能特訓 文

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專題五 立體幾何 第二講 點、直線、平面之間的位置關系適考素能特訓 文 一、選擇題 1．[2016銀川一中一模]已知直線m、n和平面α，則m∥n的必要非充分條件是(　　) A．m、n與α成等角 B．m⊥α且n⊥α C．m∥α且n?α D．m∥α且n∥α 答案　A 解析　m∥n?m、n與α成等角，若m、n與α成等角，m、n不一定平行，故選A. 2．[2016“江南十?！备呷?lián)考]下列結論正確的是(　　) A．若直線l∥平面α，直線l∥平面β，則α∥β B．若直線l⊥平面α，直線l⊥平面β，則α∥β C．若兩直線l1、l2與平面α所成的角相等，則l1∥l2 D．若直線l上兩個不同的點A、B到平面α的距離相等，則l∥α 答案　B 解析　A選項，α與β可能相交；C選項，l1，l2可能相交或異面；D選項，l可能與α相交，A、B在平面α兩側；B正確，故選B. 3．[2015廣東高考]若空間中n個不同的點兩兩距離都相等，則正整數(shù)n的取值(　　) A．至多等于3 B．至多等于4 C．等于5 D．大于5 答案　B 解析　首先我們知道正三角形的三個頂點滿足兩兩距離相等，于是可以排除C、D.又注意到正四面體的四個頂點也滿足兩兩距離相等，于是排除A，故選B. 4．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是BC1，CD1的中點，則下列說法錯誤的是(　　) A．MN與CC1垂直 B．MN與AC垂直 C．MN與BD平行 D．MN與A1B1平行 答案　D 解析　如圖，連接C1D，BD，AC，在△C1DB中，易知MN∥BD，故C正確；∵CC1⊥平面ABCD， ∴CC1⊥BD， ∴MN與CC1垂直，故A正確；∵AC⊥BD，MN∥BD， ∴MN與AC垂直，故B正確； ∵A1B1與BD異面，MN∥BD，∴MN與A1B1不可能平行，故D錯誤，選D. 5．如圖，已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為4，點H在棱AA1上，且HA1＝1.點E，F(xiàn)分別為棱B1C1，C1C的中點，P是側面BCC1B1內一動點，且滿足PE⊥PF.則當點P運動時，HP2的最小值是(　　) A．7－ B．27－6 C．51－14 D．14－2 答案　B 解析　如圖所示，以EF為直徑，在平面BCC1B1內作圓，易知點P在該圓上，該圓的半徑為EF＝，再過點H引BB1的垂線，垂足為G，連接GP，∴HP2＝HG2＋GP2，其中HG為4，因此當GP最小時，HP取得最小值，此時GP＝3－，∴HP2＝(3－)2＋42＝9－6＋2＋16＝27－6，∴HP2的最小值為27－6.故選B. 6.如圖，在Rt△AOB中，∠OAB＝，斜邊AB＝4.Rt△AOC可以通過Rt△AOB以直線AO為軸旋轉得到，且二面角B－AO－C是.點D為斜邊AB的中點，則異面直線AO與CD所成角的大小為(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　如圖，∵AO⊥OB，AO⊥OC，∴∠BOC＝，∵AB＝4，∠OAB＝，∴OB＝OC＝2，過點D作DE⊥OB，垂足為E，連接CE，則DE∥AO，∴∠CDE為異面直線AO與CD所成的角，∵OE＝1，OC＝2，∠BOC＝，∴CE＝，∵點D為AB的中點，∴DE＝，∴Rt△DEC是等腰直角三角形，∴∠CDE＝，即異面直線AO與CD所成角的大小為. 二、填空題 7．給定下列四個命題： ①若一個平面內的兩條直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面相互平行； ②若一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，那么這兩個平面相互垂直； ③垂直于同一直線的兩條直線相互平行； ④若兩個平面垂直，那么一個平面內與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直． 其中，為真命題的是________．(寫出所有真命題的序號) 答案?、冖? 解析　對于①，若一個平面內的兩條直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面平行或相交，所以①不正確．對于②，若一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，那么這兩個平面相互垂直，這是判定定理，②正確．對于③，垂直于同一直線的兩條直線可能相互平行，也可能是異面直線，③不正確．對于④，若兩個平面垂直，那么一個平面內與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直，④正確． 8．[2016江南十校聯(lián)考]已知△ABC的三邊長分別為AB＝5，BC＝4，AC＝3，M是AB邊上的點，P是平面ABC外一點．給出下列四個命題： ①若PA⊥平面ABC，則三棱錐P－ABC的四個面都是直角三角形； ②若PM⊥平面ABC，且M是AB邊的中點，則有PA＝PB＝PC； ③若PC＝5，PC⊥平面ABC，則△PCM面積的最小值為； ④若PC＝5，P在平面ABC上的射影是△ABC內切圓的圓心，則點P到平面ABC的距離為. 其中正確命題的序號是________．(把你認為正確命題的序號都填上) 答案?、佗冖? 解析　由題意知AC⊥BC，對于①，若PA⊥平面ABC，則PA⊥BC，又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC，因此該三棱錐P－ABC的四個面均為直角三角形，①正確；對于②，由已知得M為△ABC的外心，所以MA＝MB＝MC.∵PM⊥平面ABC，則PM⊥MA，PM⊥MB，PM⊥MC，由三角形全等可知PA＝PB＝PC，故②正確；對于③，要使△PCM的面積最小，只需CM最短，在Rt△ABC中，(CM)min＝，∴(S△PCM)min＝5＝6，故③錯誤；對于④，設P點在平面ABC內的射影為O，且O為△ABC的內心，由平面幾何知識得△ABC的內切圓半徑r＝1，且OC＝，在Rt△POC中，PO＝＝， ∴點P到平面ABC的距離為，故④正確． 9. [2015大連高三雙基測試]如圖，∠ACB＝90，DA⊥平面ABC，AE⊥DB交DB于E，AF⊥DC交DC于F，且AD＝AB＝2，則三棱錐D－AEF體積的最大值為________． 答案　 解析　因為DA⊥平面ABC，所以DA⊥BC，又BC⊥AC，所以BC⊥平面ADC，BC⊥AF，又AF⊥CD，所以AF⊥平面DCB，AF⊥DB，又DB⊥AE，所以DB⊥平面AEF，所以DE為三棱錐D－AEF的高，且AF⊥EF.AE為等腰三角形ABD斜邊上的高，所以AE＝，設AF＝a，F(xiàn)E＝b，則底面△AEF的面積S＝ab≤＝＝，所以三棱錐D－AEF的體積V≤＝(當且僅當a＝b＝1時等號成立)． 三、解答題 10．[2016湖南六校聯(lián)考]如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD＝CD＝1.現(xiàn)以AD為一邊向梯形外作矩形ADEF，然后沿邊AD將矩形ADEF翻折，使平面ADEF與平面ABCD垂直． (1)求證：BC⊥平面BDE； (2)若點D到平面BEC的距離為，求三棱錐F－BDE的體積． 解　(1)證明：在矩形ADEF中，ED⊥AD， 因為平面ADEF⊥平面ABCD， 所以ED⊥平面ABCD，所以ED⊥BC. 又在直角梯形ABCD中，AB＝AD＝1，CD＝2，∠BDC＝45，所以BC＝， 在△BCD中，BD＝BC＝，CD＝2，所以BD2＋BC2＝CD2， 所以BC⊥BD，所以BC⊥平面BDE. (2)由(1)得，平面DBE⊥平面BCE，作DH⊥BE于點H，則DH⊥平面BCE， 所以DH＝.在△BDE中，BDDE＝BEDH，即DE＝()，解得DE＝1. 所以VF－BDE＝VB－EFD＝111＝. 11．[2016廣州五校聯(lián)考]如圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是菱形，PA＝PD，∠BAD＝60，E是AD的中點，點Q在側棱PC上． (1)求證：AD⊥平面PBE； (2)若Q是PC的中點，求證：PA∥平面BDQ； (3)若VP－BCDE＝2VQ－ABCD，試求的值． 解　(1)證明：由E是AD的中點，PA＝PD可得AD⊥PE. 又底面ABCD是菱形，∠BAD＝60， 所以AB＝BD，又因為E是AD的中點，所以AD⊥BE， 又PE∩BE＝E，所以AD⊥平面PBE. (2)證明：連接AC，交BD于點O，連接OQ. 因為O是AC的中點， Q是PC的中點， 所以OQ∥PA， 又PA?平面BDQ，OQ?平面BDQ， 所以PA∥平面BDQ. (3)設四棱錐P－BCDE，Q－ABCD的高分別為h1，h2. 所以VP－BCDE＝S四邊形BCDEh1， VQ－ABCD＝S四邊形ABCDh2. 又因為VP－BCDE＝2VQ－ABCD， 且S四邊形BCDE＝S四邊形ABCD， 所以＝＝. 12．[2016鄭州質檢]如圖，已知三棱柱ABC－A′B′C′的側棱垂直于底面，AB＝AC，∠BAC＝90，點M，N分別為A′B和B′C′的中點． (1)證明：MN∥平面AA′C′C； (2)設AB＝λAA′，當λ為何值時，CN⊥平面A′MN，試證明你的結論． 解　(1)證明：取A′B′的中點E，連接ME，NE. 因為M，N分別為A′B和B′C′的中點， 所以NE∥A′C′，ME∥AA′. 又因為A′C′?平面AA′C′C，A′A?平面AA′C′C，NE?平面AA′C′C，ME?平面AA′C′C， 所以ME∥平面AA′C′C，NE∥平面AA′C′C， 所以平面MNE∥平面AA′C′C， 因為MN?平面MNE， 所以MN∥平面AA′C′C. (2)連接BN，設AA′＝a，則AB＝λAA′＝λa， 由題意知BC＝λa，NC＝BN＝， 因為三棱柱ABC－A′B′C′的側棱垂直于底面， 所以平面A′B′C′⊥平面BB′C′C， 因為AB＝AC，點N是B′C′的中點， 所以A′N⊥平面BB′C′C，所以CN⊥A′N，要使CN⊥平面A′MN，只需CN⊥BN即可， 所以CN2＋BN2＝BC2，即2＝2λ2a2， 解得λ＝， 故當λ＝時，CN⊥平面A′MN. 典題例證 如圖，在四棱錐P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC. (1)求證：DC⊥平面PAC； (2)求證：平面PAB⊥平面PAC； (3)設點E為AB的中點．在棱PB上是否存在點F，使得PA∥平面CEF？說明理由． 審題過程 　利用線面垂直進行轉化． 　對于存在性問題，可以選通過特殊位置確定，再進行證明. 　(1)證明：因為PC⊥平面ABCD， 所以PC⊥DC. 又因為DC⊥AC，且AC與PC相交于點C， 所以DC⊥平面PAC. (2)證明：因為AB∥DC，DC⊥AC， 所以AB⊥AC. 因為PC⊥平面ABCD， 所以PC⊥AB. 所以AB⊥平面PAC. 所以平面PAB⊥平面PAC. (3)棱PB上存在點F，使得PA∥平面CEF.證明如下： 如圖，取PB中點F，連接EF，CE，CF. 又因為E為AB的中點，所以EF∥PA. 又因為PA?平面CEF， 所以PA∥平面CEF. 模型歸納 空間中平行與垂直的證明的模型示意圖如下：