高考數(shù)學(xué) 考前3個月知識方法專題訓(xùn)練 第一部分 知識方法篇 專題5 數(shù)列、推理與證明 第22練 ?？嫉倪f推公式問題的破解方略 文

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第22練　常考的遞推公式問題的破解方略 [題型分析高考展望]　利用遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式是高考中?？碱}型，掌握常見的一些變形技巧是解決此類問題的關(guān)鍵．一般這類題目難度較大，但只要將已知條件轉(zhuǎn)化為幾類“模型”，然后采用相應(yīng)的計算方法即可解決． 體驗(yàn)高考 1．(2015湖南)設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1＝1，且3S1,2S2，S3成等差數(shù)列，則an＝________. 答案　3n－1 解析　由3S1,2S2，S3成等差數(shù)列知，4S2＝3S1＋S3，可得a3＝3a2，∴公比q＝3，故等比數(shù)列通項(xiàng)an＝a1qn－1＝3n－1. 2．(2015課標(biāo)全國Ⅱ)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，則Sn＝____________. 答案?。? 解析　由題意，得S1＝a1＝－1，又由an＋1＝SnSn＋1，得Sn＋1－Sn＝SnSn＋1，因?yàn)镾n≠0，所以＝1，即－＝－1，故數(shù)列是以＝－1為首項(xiàng)，－1為公差的等差數(shù)列，得＝－1－(n－1)＝－n，所以Sn＝－. 3．(2015江蘇)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，則數(shù)列前10項(xiàng)的和為________． 答案　 解析　∵a1＝1，an＋1－an＝n＋1，∴a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n，將以上n－1個式子相加得an－a1＝2＋3＋…＋n＝，即an＝. 令bn＝， 故bn＝＝2，故S10＝b1＋b2＋…＋b10 ＝2＝. 4．(2016課標(biāo)全國丙)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝1＋λan，其中λ≠0. (1)證明{an}是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式； (2)若S5＝，求λ. (1)證明　由題意，得a1＝S1＝1＋λa1， 故λ≠1，a1＝，a1≠0. 由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1，得an＋1＝λan＋1－λan，即an＋1(λ－1)＝λan，由a1≠0，λ≠0得an≠0， 所以＝. 因此{(lán)an}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列， 于是an＝n－1. (2)解　由(1)得Sn＝1－n.由S5＝， 得1－5＝，即5＝.解得λ＝－1. 高考必會題型 題型一　利用累加法解決遞推問題 例1　(1)在數(shù)列{an}中，a1＝1，an－an－1＝，則an等于(　　) A．2－ B．1－ C. D．2－ 答案　A 解析　∵an－an－1＝， ∴a2－a1＝， a3－a2＝，a4－a3＝，…， an－an－1＝(n>1)， 以上各式左右兩邊分別相加得an－a1＝＋＋＋…＋ ＝1－＋－＋…＋－＝1－， ∴an＝a1＋1－＝2－， 又a1＝1適合上式，∴an＝2－，故選A. (2)在數(shù)列{an}中，已知a1＝2，an＋1＝an＋cn(n∈N*，常數(shù)c≠0)，且a1，a2，a3成等比數(shù)列． ①求c的值； ②求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． 解?、儆深}意知，a1＝2，a2＝2＋c，a3＝2＋3c， ∵a1，a2，a3成等比數(shù)列，∴(2＋c)2＝2(2＋3c)， 解得c＝0或c＝2， 又c≠0，故c＝2. ②當(dāng)n≥2時，由an＋1＝an＋cn，得a2－a1＝c，a3－a2＝2c，…，an－an－1＝(n－1)c， 以上各式相加，得an－a1＝[1＋2＋…＋(n－1)]c＝c. 又a1＝2，c＝2，故an＝n2－n＋2(n≥2)， 當(dāng)n＝1時，上式也成立， ∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n2－n＋2(n∈N*)． 點(diǎn)評　由已知遞推關(guān)系式，若能轉(zhuǎn)化為an＋1＝an＋f(n)，或－＝f(n)且f(n)的和可求，則可采用累加法． 變式訓(xùn)練1　在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1－an＝ln(1＋)，則an等于(　　) A．1＋n＋ln n B．1＋nln n C．1＋(n－1)ln n D．1＋ln n 答案　D 解析　∵a1＝1，an＋1－an＝ln(1＋)， ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝ln(1＋)＋ln(1＋)＋…＋ln(1＋1)＋1 ＝ln(…2)＋1 ＝1＋ln n. 題型二　利用累乘法解決遞推問題 例2　(1)已知a1＝1，＝，則an＝________. (2)已知數(shù)列{an}中，a1＝1，＝n(n∈N*)，則a2 016＝________. 答案　(1)　(2)2 016 解析　(1)∵＝， ∴… ＝…＝. 即＝， 又∵a1＝1，∴an＝， 而a1＝1也適合上式， ∴{an}的通項(xiàng)公式為an＝. (2)由＝n(n∈N*)，得＝， ＝，＝， ＝，…， ＝，各式相乘得＝n， ∴an＝n(n＝1適合)，∴a2 016＝2 016. 點(diǎn)評　若由已知遞推關(guān)系能轉(zhuǎn)化成＝f(n)的形式，且f(n)的前n項(xiàng)積能求，則可采用累乘法．注意驗(yàn)證首項(xiàng)是否符合通項(xiàng)公式． 變式訓(xùn)練2　數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝an (n≥2)，且a1＝1，a2＝2，則{an}的通項(xiàng)公式an＝______________. 答案　 解析　∵Sn－1＝an－1 (n≥3)， ∴Sn－Sn－1＝an－an－1， ∴an＝an－an－1，∴＝. ∴當(dāng)n≥3時，…＝2…， ∴＝n－1，∴an＝(n－1)a2＝2(n－1)(n≥3)． ∵a2＝2滿足an＝2(n－1)， ∴an＝ 題型三　構(gòu)造法求通項(xiàng)公式 例3　(1)已知數(shù)列{an}，a1＝2，an＝(n≥2)，則an＝________. (2)已知a1＝1，an＋1＝，則an＝________. 答案　(1)　(2) 解析　(1)由an＝兩邊取倒數(shù)得－＝1， ∴數(shù)列是首項(xiàng)為＝，公差為1的等差數(shù)列， ∴＝＋(n－1)＝n－＝. ∴an＝. (2)由an＋1＝，得－＝1(常數(shù))， 又＝1，∴{}為以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列， ∴＝n，從而an＝，即所求通項(xiàng)公式為an＝. 點(diǎn)評　構(gòu)造法就是利用數(shù)列的遞推關(guān)系靈活變形，構(gòu)造出等差、等比的新數(shù)列，然后利用公式求出通項(xiàng)．此類問題關(guān)鍵在于條件變形：在“an＝can－1＋b”的條件下，可構(gòu)造“an＋x＝c(an－1＋x)”在“an＝”的條件下，可構(gòu)造“＝＋”． 變式訓(xùn)練3　已知數(shù)列{an}中，a1＝2，當(dāng)n≥2時，an＝，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． 解　因?yàn)楫?dāng)n≥2時，an－1＝， 兩邊取倒數(shù)，得＝＋. 即－＝， 故數(shù)列是首項(xiàng)為＝1， 公差為的等差數(shù)列． 所以＝＋(n－1)＝. 所以an＝. 又當(dāng)n＝1時，上式也成立， 故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝(n∈N*)． 高考題型精練 1．?dāng)?shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝，且＋＝(n≥2)，則an等于(　　) A. B．()n－1 C．()n D. 答案　D 解析　由題意知{}是等差數(shù)列， 又＝1，＝， ∴公差為d＝－＝， ∴＝＋(n－1)＝， ∴an＝，故選D. 2．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，且＝＋3(n∈N*)，則a10等于(　　) A．28 B．33 C. D. 答案　D 解析　由已知－＝3(n∈N*)， 所以數(shù)列{}是以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列， 即＝1＋(n－1)3＝3n－2，解得an＝，a10＝， 故選D. 3．已知數(shù)列{an}中，a1＝，an＋1＝an＋(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)為(　　) A．a(chǎn)n＝ B．a(chǎn)n＝ C．a(chǎn)n＝＋ D．a(chǎn)n＝ 答案　B 解析　由an＋1＝an＋可得， an＋1－an＝ ＝＝－， 所以a2－a1＝－，a3－a2＝－， a4－a3＝－，…，an－an－1＝－， 累加可得an－a1＝－， 又a1＝，所以an＝，故選B. 4．已知f(x)＝log2＋1，an＝f()＋f()＋…＋f()，n為正整數(shù)，則a2 016等于(　　) A．2 015 B．2 009 C．1 005 D．1 006 答案　A 解析　因?yàn)閒(x)＝log2＋1， 所以f(x)＋f(1－x)＝log2＋1＋log2＋1＝2. 所以f()＋f()＝2，f()＋f()＝2，…， f()＋f()＝2，由倒序相加，得2an＝2(n－1)，an＝n－1，所以a2 016＝2 016－1＝2 015，故選A. 5．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝an＋n＋2n(n∈N*)，則an為(　　) A.＋2n－1－1 B.＋2n－1 C.＋2n＋1－1 D.＋2n＋1－1 答案　B 解析　∵an＋1＝an＋n＋2n， ∴an＋1－an＝n＋2n. ∴an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1) ＝1＋(1＋2)＋(2＋22)＋…＋[(n－1)＋2n－1] ＝1＋[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋(2＋22＋…＋2n－1) ＝1＋＋ ＝＋2n－1. 6．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＝an－1＋2n(n≥2)，則a7等于(　　) A．53 B．54 C．55 D．109 答案　C 解析　∵an－an－1＝2n(n≥2)， ∴a2－a1＝4， a3－a2＝6， a4－a3＝8， … a7－a6＝14， 以上各式兩邊分別相加得 a7－a1＝4＋6＋…＋14， a7＝1＋＝55. 7．?dāng)?shù)列{an}中，a1＝1，an＝23n－1＋an－1(n≥2)，則an＝________. 答案　3n－2 解析　因?yàn)閍n＝23n－1＋an－1(n≥2)， 所以an－an－1＝23n－1(n≥2)， 由疊加原理知an－a1＝2(3＋32＋33＋…＋3n－1)(n≥2)， 所以an＝a1＋2＝1＋3n－3 ＝3n－2(n≥2)， 因?yàn)閍1＝1也符合上式， 故an＝3n－2. 8．若數(shù)列{an}滿足an＝3an－1＋2(n≥2，n∈N*)，a1＝1，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________________. 答案　23n－1－1 解析　設(shè)an＋λ＝3(an－1＋λ)，化簡得an＝3an－1＋2λ， ∵an＝3an－1＋2，∴λ＝1， ∴an＋1＝3(an－1＋1)． ∵a1＝1，∴a1＋1＝2， ∴數(shù)列{an＋1}是以2為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列， ∴an＋1＝23n－1，∴an＝23n－1－1. 9．若數(shù)列{an}滿足a1＝1，且an＋1＝4an＋2n，則通項(xiàng)an＝________________. 答案　22n－1－2n－1 解析　∵an＋1＝4an＋2n，∴＝＋， 設(shè)bn＝，則bn＋1＝2bn＋， ∴bn＋1＋＝2(bn＋)， 即＝2， 又b1＋＝1，∴{bn＋}是等比數(shù)列， 其中首項(xiàng)為1，公比為2， ∴bn＋＝2n－1，即bn＝2n－1－， 即＝2n－1－， ∴an＝2n(2n－1－)＝22n－1－2n－1. 10．?dāng)?shù)列{an}滿足an＋1＝，a8＝2，則a1＝________. 答案　 解析　∵an＋1＝， ∴an＋1＝＝＝ ＝＝1－ ＝1－＝1－(1－an－2)＝an－2， ∴周期T＝(n＋1)－(n－2)＝3. ∴a8＝a32＋2＝a2＝2. 而a2＝，∴a1＝. 11．?dāng)?shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝2，an＋2＝2an＋1－an＋2. (1)設(shè)bn＝an＋1－an，證明{bn}是等差數(shù)列； (2)求{an}的通項(xiàng)公式． (1)證明　由an＋2＝2an＋1－an＋2， 得bn＋1－bn＝an＋2－2an＋1＋an ＝2an＋1－an＋2－2an＋1＋an ＝2， 又b1＝a2－a1＝1， ∴{bn}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列． (2)解　由(1)得bn＝2n－1，于是an＋1－an＝2n－1， an＝[(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)]＋a1 ＝[1＋3＋…＋(2n－3)]＋1 ＝(n－1)2＋1， 而a1＝1也符合， ∴{an}的通項(xiàng)公式an＝(n－1)2＋1. 12．已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝1，前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＋1＝2Sn＋n＋1(n∈N*)． (1)證明數(shù)列{an＋1}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)求數(shù)列{nan＋n}的前n項(xiàng)和Tn. 解　(1)由已知，Sn＋1＝2Sn＋n＋1(n∈N*), 當(dāng)n≥2時，Sn＝2Sn－1＋n， 兩式相減得，an＋1＝2an＋1， 于是an＋1＋1＝2(an＋1)(n≥2)． 當(dāng)n＝1時，S2＝2S1＋1＋1， 即a1＋a2＝2a1＋1＋1， 所以a2＝3，此時a2＋1＝2(a1＋1)， 且a1＋1＝2≠0， 所以數(shù)列{an＋1}是首項(xiàng)為a1＋1＝2，公比為2的等比數(shù)列． 所以an＋1＝22n－1， 即an＝2n－1(n∈N*)． (2)令cn＝nan＋n，則cn＝n2n， 于是Tn＝121＋222＋…＋n2n， 2Tn＝122＋…＋(n－1)2n＋n2n＋1， 兩式相減得， －Tn＝2＋22＋…＋2n－n2n＋1 ＝－n2n＋1 ＝(1－n)2n＋1－2， 所以Tn＝(n－1)2n＋1＋2.