高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 第二編 專題整合突破 專題七 概率與統(tǒng)計(jì) 第一講 概率適考素能特訓(xùn) 文

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專題七 概率與統(tǒng)計(jì) 第一講 概率適考素能特訓(xùn) 文 一、選擇題 1．[2016山西四校聯(lián)考]甲、乙兩人有三個不同的學(xué)習(xí)小組A，B，C可以參加，若每人必須參加并且僅能參加一個學(xué)習(xí)小組，則兩人參加同一個小組的概率為(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　本題考查概率的求解．兩人參加3個不同的學(xué)習(xí)小組，共有9種等可能的結(jié)果，其中兩人參加同一組的概率為＝，故選A. 2．[2016湖北二聯(lián)]在棱長為2的正方體內(nèi)部隨機(jī)取一個點(diǎn)，則該點(diǎn)到正方體8個頂點(diǎn)的距離都不小于1的概率為(　　) A. B. C. D．1－ 答案　D 解析　本題考查幾何概型．正方體內(nèi)一點(diǎn)到正方體的某個頂點(diǎn)的距離小于1的概率為＝，則所求概率為1－，故選D. 3．[2016蘭州診斷]從數(shù)字1、2、3中任取兩個不同的數(shù)字構(gòu)成一個兩位數(shù)，則這個兩位數(shù)大于30的概率為(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　用數(shù)字1、2、3中兩個不同數(shù)字構(gòu)成的兩位數(shù)有12、13、21、23、31、32，共6個，其中大于30的有2個，故所求概率為＝，故選B. 4．[2016河北唐山統(tǒng)考]拋鄭兩枚質(zhì)地均勻的骰子，向上的點(diǎn)數(shù)之差的絕對值為3的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，向上的點(diǎn)數(shù)之差的絕對值為3的情況有：1,4；4,1；2,5；5,2；3,6；6,3,6種，而拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子的情況有36種，所以所求概率P＝＝，故選B. 5．[2016河南商丘二模]已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋b2x＋1，若a是從1,2,3三個數(shù)中任取的一個數(shù)，b是從0,1,2三個數(shù)中任取的一個數(shù)，則該函數(shù)有兩個極值點(diǎn)的概率為(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　f′(x)＝x2＋2ax＋b2，要使函數(shù)f(x)有兩個極值點(diǎn)，則有Δ＝(2a)2－4b2>0，即a2>b2.由題意知所有的基本事件有9個，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一個數(shù)表示a的取值，第二個數(shù)表示b的取值． 滿足a2>b2的有6個基本事件，即(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，所以所求事件的概率為＝. 6．一個三位自然數(shù)百位，十位，個位上的數(shù)字依次為a，b，c，當(dāng)且僅當(dāng)a>b，b，整理得>2，即b>2a.如圖： 點(diǎn)(a，b)在矩形ABCD的內(nèi)部(含邊界)，滿足b>2a的點(diǎn)在△ABM的內(nèi)部(不含線段AM)，則所求的概率為＝＝. 三、解答題 10．[2016廣西質(zhì)檢]為了解某校學(xué)生的視力情況，現(xiàn)采用隨機(jī)抽樣的方式從該校的A，B兩班中各抽5名學(xué)生進(jìn)行視力檢測．檢測的數(shù)據(jù)如下： A班5名學(xué)生的視力檢測結(jié)果：4.3,5.1,4.6,4.1,4.9. B班5名學(xué)生的視力檢測結(jié)果：5.1,4.9,4.0,4.0,4.5. (1)分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，從計(jì)算結(jié)果看，哪個班的學(xué)生視力較好？并計(jì)算A班的5名學(xué)生視力的方差； (2)現(xiàn)從B班的上述5名學(xué)生中隨機(jī)選取2名，求這2名學(xué)生中至少有1名學(xué)生的視力低于4.5的概率． 解　(1)A班5名學(xué)生的視力平均數(shù)為 A＝＝4.6， B班5名學(xué)生的視力平均數(shù)為 B＝＝4.5. 從數(shù)據(jù)結(jié)果來看，A班學(xué)生的視力較好． s＝[(4.3－4.6)2＋(5.1－4.6)2＋0＋(4.1－4.6)2＋(4.9－4.6)2]＝0.136. (2)從B班的上述5名學(xué)生中隨機(jī)選取2名，則這2名學(xué)生視力檢測結(jié)果有： (5.1,4.9)，(5.1,4.0)，(5.1,4.0)，(5.1,4.5)，(4.9,4.0)，(4.9,4.0)，(4.9,4.5)，(4.0,4.0)，(4.0,4.5)，(4.0,4.5)，共10個基本事件． 其中這2名學(xué)生中至少有1名學(xué)生的視力低于4.5的基本事件有7個，則所求概率P＝. 11．[2016昆明七校調(diào)研]某校高三共有900名學(xué)生，高三模擬考之后，為了了解學(xué)生學(xué)習(xí)情況，用分層抽樣方法從中抽出若干學(xué)生此次數(shù)學(xué)成績，按成績分組，制成如下的頻率分布表： 組號 第一組 第二組 第三組 第四組 第五組 第六組 第七組 第八組 合 計(jì) 分組 [70,80) [80,90) [90,100) [100,110) [(110,120) [120,130) [130,140) [140,150) 頻數(shù) 6 4 22 20 18 a 10 5 c 頻率 0.06 0.04 0.22 0.20 b 0.15 0.10 0.05 1 (1)確定表中a，b，c的值； (2)為了了解數(shù)學(xué)成績在120分以上的學(xué)生的心理狀態(tài)，現(xiàn)決定在第六、七、八組中用分層抽樣方法抽取6名學(xué)生，在這6名學(xué)生中又再隨機(jī)抽取2名與心理老師面談，求第七組中至少有一名學(xué)生被抽到與心理老師面談的概率； (3)估計(jì)該校本次考試的數(shù)學(xué)平均分． 解　(1)因?yàn)轭l率和為1，所以b＝0.18， 因?yàn)轭l率＝頻數(shù)/樣本容量，所以c＝100，a＝15. (2)第六、七、八組共有30個樣本，用分層抽樣方法抽取6名學(xué)生，每個被抽取的概率均為，第七組被抽取的樣本數(shù)為10＝2，將第六組、第八組抽取的樣本分別用A，B，C，D表示，第七組抽出的樣本用E，F(xiàn)表示． 抽取2個的方法有AB、AC、AD、AE、AF、BC、BD、BE、BF、CD、CE、CF、DE、DF、EF，共15種． 其中至少含E或F的取法有9種，則所求概率為. (3)估計(jì)平均分為750.06＋850.04＋950.22＋1050.2＋1150.18 ＋1250.15＋1350.1＋1450.05＝110. 12．[2016唐山統(tǒng)考]汽車發(fā)動機(jī)排量可以分為兩大類，高于1.6 L的稱為大排量，否則稱為小排量．加油時，有92號與95號兩種汽油可供選擇．某汽車網(wǎng)站的注冊會員中，有300名會員參與了網(wǎng)絡(luò)調(diào)查，結(jié)果如下： 汽車排量 加油類型 小排量 大排量 92號 160 96 95號 20 24 附：K2＝，n＝a＋b＋c＋d (1)根據(jù)此次調(diào)查，是否有95%的把握認(rèn)為該網(wǎng)站會員給汽車加油時進(jìn)行的型號選擇與汽車排量有關(guān)？ (2)從調(diào)查的大排量汽車中按“加油類型”用分層抽樣的方法抽取一個容量為5的樣本，將該樣本看成一個整體，從中任意抽取3輛汽車，求這3輛汽車都是“加92號汽油”的概率． 解　(1)∵K2＝≈4.545>3.841， ∴有95%的把握認(rèn)為該網(wǎng)站會員給汽車加油時進(jìn)行的型號選擇與汽車排量有關(guān)． (2)由題意可知，抽出的5輛汽車中加92號汽油的有4輛，分別記為A1，A2，A3，A4；加95號汽油的有1輛，記為B. 從已經(jīng)抽出的5輛汽車中抽取3輛，有： {B，A1，A2}，{B，A1，A3}，{B，A1，A4}，{B，A2，A3}，{B，A2，A4}，{B，A3，A4}，{A1，A2，A3}，{A1，A2，A4}，{A1，A3，A4}，{A2，A3，A4}，共計(jì)10種結(jié)果， 滿足條件的有：{A1，A2，A3}，{A1，A2，A4}，{A1，A3，A4}，{A2，A3，A4}，共計(jì)4種結(jié)果． 由古典概型的概率計(jì)算公式可得所求概率為P＝＝.