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三、壓軸題專練
(一)
1．如圖，F(xiàn)是橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左焦點，A，B是橢圓的兩個頂點，橢圓的離心率為，點C在x軸上，BC⊥BF，B，C，F(xiàn)三點確定的圓M恰好與直線x＋y＋3＝0相切．
(1)求橢圓的方程；
(2)過F作一條與兩坐標軸都不垂直的直線l交橢圓于P，Q兩點，在x軸上是否存在點N，使得NF恰好為△PNQ的內(nèi)角平分線，若存在，求出點N的坐標，若不存在，請說明理由．
解 (1)由題意可知F(－c,0)，
∵e＝，∴b＝c，即B(0，c)，
∵kBF＝＝，又∵BC⊥BF，
∴kBC＝－，∴C(3c,0)，
圓M的圓心坐標為(c,0)，半徑為2c，
由直線x＋y＋3＝0與圓M相切可得＝2c，∴c＝1.∴橢圓的方程為＋＝1.
(2)假設存在滿足條件的點N(x0,0)
由題意可設直線l的方程為y＝k(x＋1)(k≠0)，
設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
∵NF為△PNQ的內(nèi)角平分線，
∴kNP＝－kNQ，即＝－，
∴＝?(x1＋1)(x2－x0)＝－(x2＋1)(x1－x0)．∴x0＝.
又∴3x2＋4k2(x＋1)2＝12.
∴(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0.
∴x1＋x2＝－，x1x2＝.
∴x0＝＝－4，
∴存在滿足條件的點N，點N的坐標為(－4,0)．
2．設函數(shù)f(x)＝x2－mln x，g(x)＝x2－(m＋1)x.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)當m≥0時，討論函數(shù)f(x)與g(x)圖象的交點個數(shù)．
解 (1)函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝，
當m≤0時，f′(x)>0，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0，＋∞)，無單調(diào)遞減區(qū)間．
當m>0時，f′(x)＝，
當0
時，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增．
綜上：當m≤0時，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0，＋∞)，無單調(diào)遞減區(qū)間；當m>0時，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是(0，)．
(2)令F(x)＝f(x)－g(x)＝－x2＋(m＋1)x－mln x，x>0，問題等價于求函數(shù)F(x)的零點個數(shù)，
當m＝0時，F(xiàn)(x)＝－x2＋x，x>0，有唯一零點；
當m≠0時，F(xiàn)′(x)＝－，
當m＝1時，F(xiàn)′(x)≤0，函數(shù)F(x)為減函數(shù)，注意到F(1)＝>0，F(xiàn)(4)＝－ln 4<0，所以F(x)有唯一零點．
當m>1時，0m時，F(xiàn)′(x)<0；10，所以函數(shù)F(x)在(0,1)和(m，＋∞)上單調(diào)遞減，在(1，m)上單調(diào)遞增，注意到F(1)＝m＋>0，
F(2m＋2)＝－mln (2m＋2)<0，所以F(x)有唯一零點．
當01時，F(xiàn)′(x)<0；m0，
所以函數(shù)F(x)在(0，m)和(1，＋∞)上單調(diào)遞減，在(m,1)上單調(diào)遞增，易得ln m<0，
所以F(m)＝(m＋2－2ln m)>0，而F(2m＋2)＝－mln (2m＋2)<0，所以F(x)有唯一零點．
綜上，函數(shù)F(x)有唯一零點，即兩函數(shù)圖象有一個交點．
3．選做題
(1)選修4－4：坐標系與參數(shù)方程
在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．在以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C的極坐標方程為ρ＝ .
①直接寫出直線l的普通方程、曲線C的直角坐標方程；
②設曲線C上的點到直線l的距離為d，求d的取值范圍．
(2)選修4－5：不等式選講
設函數(shù)f(x)＝|2x－a|＋2a.
①若不等式f(x)≤6的解集為{x|－6≤x≤4}，求實數(shù)a的值．
②在①的條件下，若不等式f(x)≤(k2－1)x－5的解集非空，求實數(shù)k的取值范圍．
解 (1)①直線l的普通方程為x－y＋3＝0.
曲線C的直角坐標方程為3x2＋y2＝3.
②∵曲線C的直角坐標方程為3x2＋y2＝3，
即x2＋＝1，
∴曲線C上的點的坐標可表示為(cosα，sinα)．
∵2sin＋3≥1>0，
∴d＝＝
＝.
∴d的最小值為＝，d的最大值為＝.
∴≤d≤，即d的取值范圍為.
(2)①∵|2x－a|＋2a≤6，∴|2x－a|≤6－2a，
∴2a－6≤2x－a≤6－2a，
∴a－3≤x≤3－，
∵不等式f(x)≤6的解集為{x|－6≤x≤4}，
∴解得a＝－2.
②由①得f(x)＝|2x＋2|－4.
∴|2x＋2|－4≤(k2－1)x－5，
化簡整理得|2x＋2|＋1≤(k2－1)x，
令g(x)＝|2x＋2|＋1＝
y＝g(x)的圖象如圖所示，
要使不等式f(x)≤(k2－1)x－5的解集非空，需k2－1>2或k2－1≤－1，
∴k的取值范圍是{k|k>或k<－或k＝0}．
(二)
1．[2016西安質(zhì)檢] 如圖所示，已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，離心率等于，它的一個頂點恰好在拋物線x2＝8y的準線上．
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)點P(2，)，Q(2，－)在橢圓上，A，B是橢圓上位于直線PQ兩側(cè)的動點，當A，B運動時，滿足∠APQ＝∠BPQ，試問直線AB的斜率是否為定值，請說明理由．
解 (1)設橢圓C的標準方程為＋＝1(a>b>0)．
∵橢圓的一個頂點恰好在拋物線x2＝8y的準線y＝－2上，
∴－b＝－2，解得b＝2.
又＝，a2＝b2＋c2，
∴a＝4，c＝2.
可得橢圓C的標準方程為＋＝1.
(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵∠APQ＝∠BPQ，則PA，PB的斜率互為相反數(shù)，
可設直線PA的斜率為k，則PB的斜率為－k，
直線PA的方程為：y－＝k(x－2)，
聯(lián)立
化為(1＋4k2)x2＋8k(－2k)x＋4(－2k)2－16＝0，
∴x1＋2＝.
同理可得：x2＋2＝＝，
∴x1＋x2＝，x1－x2＝，
kAB＝＝＝.
∴直線AB的斜率為定值.
2．[2016河南六市一聯(lián)]已知函數(shù)f(x)＝aln x－x，g(x)＝x2－(1－a)x－(2－a)ln x，其中a∈R.
(1)若g(x)在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
(2)若函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)的圖象交x軸于A，B兩點，AB中點的橫坐標為x0，問：函數(shù)F(x)的圖象在點(x0，F(xiàn)(x0))處的切線能否平行于x軸？
解 (1)g′(x)＝2x－(1－a)－
＝，
∵g(x)的定義域為{x|x>0}，且g(x)在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，
∴g′(x)≥0在x>0時恒成立，
則2x2－(1－a)x－(2－a)≥0在x>0時恒成立，
∴a≥5－在x>0時恒成立．
而當x>0時，2(x＋1)＋>3，
∴a∈[2，＋∞)．
(2)設F(x)的圖象在(x0，F(xiàn)(x0))處的切線平行于x軸，F(xiàn)(x)＝2ln x－x2－ax，F(xiàn)′(x)＝－2x－a，不妨設A(m,0)，B(n,0)，00(t∈(0,1))，
∴函數(shù)h(t)＝ln t－在(0,1)上單調(diào)遞增，因此h(t)1時，不等式化為x2－x<－x＋，所以x∈?.
綜上所述，不等式的解集為.
②證明：由已知任意x1，x2∈[0,1]且x1≠x2，則不妨設x2>x1，
則當x2－x1≤時，|f(x1)－f(x2)|<|x1－x2|≤，
當x2－x1>時，則x1<，且1－x2<，
那么|f(x1)－f(x2)|＝|f(x1)－f(0)＋f(1)－f(x2)|≤|f(x1)－f(0)|＋|f(1)－f(x2)|0)．
(1)若a＝1，證明：y＝f(x)在R上單調(diào)遞減；
(2)當a>1時，討論f(x)零點的個數(shù)．
解 (1)證明：當x≥1時，f′(x)＝－1≤0，f(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞減，f(x)≤f(1)＝0；
當x<1時，f′(x)＝ex－1－1<0，f(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞減，且此時f(x)>0.
所以y＝f(x)在R上單調(diào)遞減．
(2)若x≥a，則f′(x)＝－a≤－a<0(a>1)，
所以此時f(x)單調(diào)遞減，令g(a)＝f(a)＝ln a－a2＋1，
則g′(a)＝－2a<0，所以f(a)＝g(a)2時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，
又f(0)＝e－1>0，f<0，所以此時f(x)在上有一個零點．
②當a＝2時，f(x)＝ex－1，此時f(x)在(－∞，2)上沒有零點．
③當10，
所以此時f(x)沒有零點．
綜上，當12時，f(x)有一個零點．
3．選做題
(1)選修4－4：坐標系與參數(shù)方程
已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，曲線C的極坐標方程為ρ＝2sin，直線l與曲線C交于A，B兩點，與y軸交于點P.
①求曲線C的直角坐標方程；
②求＋的值．
(2)選修4－5：不等式選講
已知實數(shù)m，n滿足：關(guān)于x的不等式|x2＋mx＋n|≤|3x2－6x－9|的解集為R.
①求m，n的值；
②若a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝m－n，求證：＋＋≤.
解 (1)①利用極坐標公式，把曲線C的極坐標方程
ρ＝2sin化為ρ2＝2ρsinθ＋2ρcosθ，
∴普通方程是x2＋y2＝2y＋2x，
即(x－1)2＋(y－1)2＝2.
②∵直線l與曲線C交于A，B兩點，與y軸交于點P，
把直線l的參數(shù)方程代入曲線C的普通方程 (x－1)2＋(y－1)2＝2中，得t2－t－1＝0，
∴
∴＋＝＋
＝＝
＝＝.
(2)①由于解集為R，那么x＝3，x＝－1都滿足不等式，即有
即解得m＝－2，n＝－3，
經(jīng)驗證當m＝－2，n＝－3時，不等式的解集是R.
②證明：a＋b＋c＝1，a＋b≥2，b＋c≥2，c＋a≥2，
∴(＋＋)2＝a＋b＋c＋2＋2＋2≤3(a＋b＋c)＝3，
故＋＋≤(當且僅當a＝b＝c＝時取等號)．
(四)
1．[2016石家莊模擬]已知拋物線C：y2＝2px(p>0)過點M(m,2)，其焦點為F，且|MF|＝2.
(1)求拋物線C的方程；
(2)設E為y軸上異于原點的任意一點，過點E作不經(jīng)過原點的兩條直線分別與拋物線C和圓F：(x－1)2＋y2＝1相切，切點分別為A，B，求證：直線AB過定點．
解 (1)拋物線C的準線方程為x＝－，
∴|MF|＝m＋＝2，又4＝2pm，即4＝2p，
∴p2－4p＋4＝0，∴p＝2，
∴拋物線C的方程為y2＝4x.
(2)證明：設點E(0，t)(t≠0)，由已知切線不為y軸，設EA：y＝kx＋t，聯(lián)立消去y，可得k2x2＋(2kt－4)x＋t2＝0，①
∵直線EA與拋物線C相切，∴Δ＝(2kt－4)2－4k2t2＝0，即kt＝1，代入 ①可得x2－2x＋t2＝0，∴x＝t2，即A(t2,2t)．
設切點B(x0，y0)，則由幾何性質(zhì)可以判斷點O，B關(guān)于直線EF：y＝－tx＋t對稱，則
解得
即B.
解法一：直線AB的斜率為kAB＝(t≠1)，
直線AB的方程為y＝(x－t2)＋2t，
整理得y＝(x－1)，
∴直線AB恒過定點F(1,0)，
當t＝1時，A(1，2)，B(1，1)，此時直線AB為x＝1，過點F(1,0)．
綜上，直線AB恒過定點F(1,0)．
解法二：直線AF的斜率為kAF＝(t≠1)，
直線BF的斜率為kBF＝＝(t≠1)，
∴kAF＝kBF，即A，B，F(xiàn)三點共線．
當t＝1時，A(1，2)，B(1，1)，此時A，B，F(xiàn)三點共線．
∴直線AB過定點F(1,0)．
2．[2016貴州測試]設n∈N*，函數(shù)f(x)＝，函數(shù)g(x)＝(x>0)．
(1)當n＝1時，求函數(shù)y＝f(x)的零點個數(shù)；
(2)若函數(shù)y＝f(x)與函數(shù)y＝g(x)的圖象分別位于直線y＝1的兩側(cè)，求n的取值集合A；
(3)對于?n∈A，?x1，x2∈(0，＋∞)，求|f(x1)－g(x2)|的最小值．
解 (1)當n＝1時，f(x)＝，f′(x)＝(x>0)．
由f′(x)>0得0e.
所以函數(shù)f(x)在(0，e)上單調(diào)遞增，在(e，＋∞)上單調(diào)遞減，
因為f(e)＝>0，f＝－e<0，所以函數(shù)f(x)在(0，e)上存在一個零點；
當x∈(e，＋∞)時，f(x)＝>0恒成立，
所以函數(shù)f(x)在(e，＋∞)上不存在零點．
綜上得函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上存在唯一一個零點．
(2)對函數(shù)f(x)＝求導，得f′(x)＝(x>0)，
由f′(x)>0，得0e.
所以函數(shù)f(x)在(0，e)上單調(diào)遞增，在(e，＋∞)上單調(diào)遞減，
則當x＝e時，函數(shù)f(x)有最大值f(x)max＝f(e)＝.
對函數(shù)g(x)＝(x>0)求導，得g′(x)＝(x>0)，
由g′(x)>0，得x>n；由g′(x)<0，得00)在直線y＝1的上方，
所以g(x)min＝g(n)＝n>1，解得n0，
所以|f(x1)－g(x2)|的最小值為－＝.
3．選做題
(1)選修4－4：坐標系與參數(shù)方程
在平面直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為
(α為參數(shù))，以O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ2＝4ρsinθ－3.
①求曲線C1的普通方程與曲線C2的直角坐標方程；
②求曲線C1上的點與曲線C2上的點的距離的最小值．
(2)選修4－5：不等式選講
已知函數(shù)f(x)＝|x－a|＋|x－2a|.
①當a＝1時，求不等式f(x)>2的解集；
②若對任意x∈R，不等式f(x)≥a2－3a－3恒成立，求a的取值范圍．
解 (1)①x2＝2＝(sinα＋cosα)2＝sin2α＋1＝y(tǒng)，
所以C1的普通方程為y＝x2.
將ρ2＝x2＋y2，ρsinθ＝y(tǒng)代入C2的方程得x2＋y2＝4y－3，
所以C2的直角坐標方程為x2＋y2－4y＋3＝0.
②將x2＋y2－4y＋3＝0變形為x2＋(y－2)2＝1，它的圓心為C(0,2)．
設P(x0，y0)為C1上任意一點，則y0＝x，從而|PC|2＝(x0－0)2＋(y0－2)2＝x＋(x－2)2＝x－3x＋4＝2＋，
所以當x＝時，|PC|min＝，
故曲線C1上的點與曲線C2上的點的距離的最小值為－1.
(2)①當a＝1時，f(x)＝|x－1|＋|x－2|.
當x≤1時，f(x)＝1－x＋2－x＝3－2x，此時由f(x)>2得x<；
當12無解；
當x>2時，f(x)＝x－1＋x－2＝2x－3，此時由f(x)>2得x>.
綜上可得不等式f(x)>2的解集為
∪.
②因為f(x)＝|x－a|＋|x－2a|≥|(x－a)－(x－2a)|＝|a|，故f(x)取得最小值|a|，因此原不等式等價于|a|≥a2－3a－3.
當a≥0時，有a≥a2－3a－3，即a2－4a－3≤0，
解得2－≤a≤2＋，此時有0≤a≤2＋.
當a<0時，有－a≥a2－3a－3，即a2－2a－3≤0，
解得－1≤a≤3，此時有－1≤a<0.
綜上可知a的取值范圍是[－1,2＋]．
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