高考數(shù)學(xué)(精講+精練+精析)專題4_1 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)試題 理(含解析)
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專題4.1 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 【三年高考】 1. 【2016高考新課標1卷】已知函數(shù) 為的零點,為圖像的對稱軸,且在單調(diào),則的最大值為( ) (A)11(B)9(C)7(D)5 【答案】B 2.【2016高考新課標2理數(shù)】若將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度,則平移后圖象的對稱軸為( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】B 【解析】由題意,將函數(shù)的圖像向左平移個單位得,則平移后函數(shù)的對稱軸為,即,故選B. 3.【2016年高考北京理數(shù)】將函數(shù)圖象上的點向左平移() 個單位長度得到點,若位于函數(shù)的圖象上,則( ) A.,的最小值為 B. ,的最小值為 C.,的最小值為 D.,的最小值為 【答案】A 4.【2016高考江蘇卷】定義在區(qū)間上的函數(shù)的圖象與的圖象的交點個數(shù)是 . 【答案】7 【解析】由,因為,所以共7個 5.【2016高考天津理數(shù)】已知函數(shù)f(x)=4tanxsin()cos()-. (Ⅰ)求f(x)的定義域與最小正周期; (Ⅱ)討論f(x)在區(qū)間[]上的單調(diào)性. 【解析】 解:的定義域為. .所以, 的最小正周期 解:令函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是由,得 設(shè),易知.所以, 當時, 在區(qū)間上單調(diào)遞增, 在區(qū)間上單調(diào)遞減. 6. 【2015高考陜西,理3】如圖,某港口一天6時到18時的水深變化曲線近似滿足函數(shù),據(jù)此函數(shù)可知,這段時間水深(單位:m)的最大值為( ) A.5 B.6 C.8 D.10 【答案】C 7.【2015高考安徽,理10】已知函數(shù)(,,均為正的常數(shù))的最小正周期為,當時,函數(shù)取得最小值,則下列結(jié)論正確的是( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】A 【解析】由題意,,,所以,則,而當時,,解得,所以,則當,即時,取得最大值.要比較的大小,只需判斷與最近的最高點處對稱軸的距離大小,距離越大,值越小,易知與比較近,與比較近,所以,當時,,此時,,當時,,此時,所以,故選A. 8.【2015高考湖南,理9】將函數(shù)的圖像向右平移個單位后得到函數(shù)的圖像,若對滿足的,,有,則( ) A. B. C. D. 【答案】D. 9.【2015高考福建,理19】已知函數(shù)的圖像是由函數(shù)的圖像經(jīng)如下變換得到:先將圖像上所有點的縱坐標伸長到原來的2倍(橫坐標不變),再將所得到的圖像向右平移個單位長度. (Ⅰ)求函數(shù)的解析式,并求其圖像的對稱軸方程; (Ⅱ)已知關(guān)于的方程在內(nèi)有兩個不同的解. (1)求實數(shù)m的取值范圍; (2)證明: 【答案】(Ⅰ) ,;(Ⅱ)(1);(2)詳見解析. 【解析】解法一:(1)將的圖像上所有點的縱坐標伸長到原來的2倍(橫坐標不變)得到的圖像,再將的圖像向右平移個單位長度后得到的圖像,故,從而函數(shù)圖像的對稱軸方程為 (2)1) (其中),依題意,在區(qū)間內(nèi)有兩個不同的解當且僅當,故m的取值范圍是. 2)因為是方程在區(qū)間內(nèi)有兩個不同的解,所以,.當時,當時, 所以 10. 【2014高考湖南卷第9題】已知函數(shù)且則函數(shù)的圖象的一條對稱軸是( ) A. B. C. D. 【答案】A 11.【2014全國1高考理第6題】如圖,圖O的半徑為1,A是圓上的定點,P是圓上的動點,角x的始邊為射線OA,終邊為射線OP,過點P作直線OA的垂線,垂足為M,將點M到直線OP的距離表示成x的函數(shù),則的圖像大致為( ) A B C D 【答案】C 【解析】如圖所示,當時,在中,.在中, ;當時,在中,,在中,,所以當時,的圖象大致為C. 12.【2014高考天津第15題】已知函數(shù),. (Ⅰ)求的最小正周期; (Ⅱ)求在閉區(qū)間上的最大值和最小值. 【三年高考命題回顧】 縱觀前三年各地高考試題, 三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性、最值,三角函數(shù)圖像變換等是高考的熱點,每年文理均涉及到一道三角函數(shù)性質(zhì)與圖像的題目,題型既有選擇題、填空題,又有解答題,難度屬于中、低檔;常與三角恒等變換交匯命題,在考查三角函數(shù)性質(zhì)的同時,又考查三角恒等變換的方法與技巧,注重考查函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法. 【2017年高考復(fù)習(xí)建議與高考命題預(yù)測】 由前三年的高考命題形式可以看出 , 高考降低了對三角變換的考查要求,而加強了對三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的考查,因為函數(shù)的性質(zhì)是研究函數(shù)的一個重要內(nèi)容,是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)和應(yīng)用技術(shù)學(xué)科的基礎(chǔ),又是解決生產(chǎn)實際問題的工具,因此三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是本章復(fù)習(xí)的重點. 從高考試題來看,三角函數(shù)的周期性,單調(diào)性,對稱性,最值,圖像變換等是高考的熱點,常與三角恒等變換交匯命題,在考查三角函數(shù)性質(zhì)的同時,又考查三角恒等變換的方法與技巧,注重考查函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法.其特點如下:(1)考小題,重基礎(chǔ):小題其考查重點在于基礎(chǔ)知識:解析式;圖象與圖象變換;兩域(定義域、值域);四性(單調(diào)性、奇偶性、對稱性、周期性).(2)考大題,難度明顯降低:有關(guān)三角函數(shù)的大題即解答題,通過公式變形轉(zhuǎn)換來考查思維能力的題目已經(jīng)很少,而著重考查基礎(chǔ)知識和基本技能與方法的題目卻在增加.在復(fù)習(xí)時要充分運用數(shù)形結(jié)合的思想,把圖象與性質(zhì)結(jié)合起來,即利用圖象的直觀性得出函數(shù)的性質(zhì),或由單位圓上線段表示的三角函數(shù)值來獲得函數(shù)的性質(zhì),同時也要能利用函數(shù)的性質(zhì)來描繪函數(shù)的圖象,這樣既有利于掌握函數(shù)的圖象與性質(zhì),又能熟練地運用數(shù)形結(jié)合的思想方法. 從2016年高考試題來看,特別是新課標1卷第17題考察了解三角形,故預(yù)測2017年高考可能以三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性、最值、奇偶性為主要考點,可能出一個大題.也有可能仍將以三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性、最值、奇偶性中選一個出一道選擇題或填空題,難度不大. 【2017年高考考點定位】 本節(jié)內(nèi)容高考的重點就是利用三角函數(shù)性質(zhì),如奇偶性、單調(diào)性、周期性、對稱性、有界性及“五點作圖法”等,求解三角函數(shù)的值、求參數(shù)、求最值、求值域、求單調(diào)區(qū)間等問題,三角函數(shù)的圖象主要考查其變換,題型既有選擇題也有填空題,也有解答題,難度中等偏下,而小題目綜合化是這部分內(nèi)容的考查一種趨勢. 【考點1】三角函數(shù)的圖象與簡單性質(zhì) 【備考知識梳理】 1.三角函數(shù)線 三角函數(shù)線是通過有向線段直觀地表示出角的各種三角函數(shù)值的一種圖示方法.利用三角函數(shù)線在解決比較三角函數(shù)值大小、解三角方程及三角不等式等問題時,十分方便. 以坐標原點為圓心,以單位長度1為半徑畫一個圓,這個圓就叫做單位圓(注意:這個單位長度不一定就是1厘米或1米).當角為第一象限角時,則其終邊與單位圓必有一個交點,過點作軸交軸于點,根據(jù)三角函數(shù)的定義:;. O x y a角的終邊 P T M A 我們知道,指標坐標系內(nèi)點的坐標與坐標軸的方向有關(guān).當角的終邊不在坐標軸時,以為始點、為終點,規(guī)定:當線段與軸同向時,的方向為正向,且有正值;當線段與軸反向時,的方向為負向,且有正值;其中為點的橫坐標.這樣,無論那種情況都有: 同理,當角的終邊不在軸上時,以為始點、為終點, 規(guī)定:當線段與軸同向時,的方向為正向,且有正值;當線段與軸反向時,的方向為負向,且有正值;其中為點的橫坐標. 這樣,無論那種情況都有.像這種被看作帶有方向的線段,叫做有向線段. 如上圖,過點作單位圓的切線,這條切線必然平行于軸,設(shè)它與的終邊交于點,請根據(jù)正切函數(shù)的定義與相似三角形的知識,借助有向線段,我們有: 我們把這三條與單位圓有關(guān)的有向線段,分別叫做角的正弦線、余弦線、正切線,統(tǒng)稱為三角函數(shù)線. 性質(zhì) 圖象 定義域 值域 最值 當時,;當時,. 當時,;當時,. 既無最大值,也無最小值 周期性 奇偶性 ,奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù) 單調(diào)性 在上是增函數(shù);在上是減函數(shù). 在上是增函數(shù);在上是減函數(shù). 在上是增函數(shù). 對稱性 對稱中心 對稱軸,既是中心對稱又是軸對稱圖形. 對稱中心 對稱軸,既是中心對稱又是軸對稱圖形. 對稱中心 無對稱軸,是中心對稱但不是軸對稱圖形. 2.正弦函數(shù),余弦函數(shù),正切函數(shù)的圖象與性質(zhì) 3.(五點法),先列表,令,求出對應(yīng)的五個的值和五個值,再根據(jù)求出的對應(yīng)的五個點的坐標描出五個點,再把五個點利用平滑的曲線連接起來,即得到在一個周期的圖像,最后把這個周期的圖像以周期為單位,向左右兩邊平移,則得到函數(shù)的圖像. 【規(guī)律方法技巧】 用“五點法”作圖應(yīng)抓住四條:①將原函數(shù)化為或的形式;②求出周期;③求出振幅;④列出一個周期內(nèi)的五個特殊點,當畫出某指定區(qū)間上的圖象時,應(yīng)列出該區(qū)間內(nèi)的特殊點. 【考點針對訓(xùn)練】 1. 【河北省衡水中學(xué)2016屆高三四調(diào)】函數(shù)()的大致圖象是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由于當時,,, 故選C. 2.函數(shù)是( ). A.最小正周期為的奇函數(shù) B.最小正周期為的奇函數(shù) C.最小正周期為的偶函數(shù) D.最小正周期為的偶函數(shù) 【答案】C 【考點2】三角函數(shù)圖象的變換 【備考知識梳理】 1.函數(shù)圖像的變換(平移變換和上下變換) 平移變換:左加右減,上加下減 把函數(shù)向左平移個單位,得到函數(shù)的圖像; 把函數(shù)向右平移個單位,得到函數(shù)的圖像; 把函數(shù)向上平移個單位,得到函數(shù)的圖像; 把函數(shù)向下平移個單位,得到函數(shù)的圖像. 伸縮變換: 把函數(shù)圖像的縱坐標不變,橫坐標伸長到原來的,得到函數(shù)的圖像; 把函數(shù)圖像的縱坐標不變,橫坐標縮短到原來的,得到函數(shù)的圖像; 把函數(shù)圖像的橫坐標不變,縱坐標伸長到原來的,得到函數(shù)的圖像; 把函數(shù)圖像的橫坐標不變,縱坐標縮短到原來的,得到函數(shù)的圖像. 2.由的圖象變換出的圖象一般有兩個途徑,只有區(qū)別開這兩個途徑,才能靈活進行圖象變換.利用圖象的變換作圖象時,提倡先平移后伸縮,但先伸縮后平移也經(jīng)常出現(xiàn)無論哪種變形,請切記每一個變換總是對字母x而言,即圖象變換要看“變量”起多大變化,而不是“角變化”多少. 途徑一:先平移變換再周期變換(伸縮變換)先將的圖象向左或向右平移個單位,再將圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?),便得的圖象 途徑二:先周期變換(伸縮變換)再平移變換:先將的圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?),再沿軸向左()或向右()平移個單位,便得的圖象. 注意:函數(shù)的圖象,可以看作把曲線上所有點向左(當時)或向右(當時)平行移動個單位長度而得到. 【規(guī)律方法技巧】 1. 在解決函數(shù)圖像的變換問題時,要遵循“只能對函數(shù)關(guān)系式中的變換”的原則,寫出每一次的變換所得圖象對應(yīng)的解析式,這樣才能避免出錯. 2. 圖像變換法.若函數(shù)圖像可由某個基本函數(shù)的圖像經(jīng)過平移、翻折、對稱得到,可利用圖像變換作出,但要注意變換順序.對不能直接找到熟悉的基本函數(shù)的要先變形,并應(yīng)注意平移變換與伸縮變換的順序?qū)ψ儞Q單位及解析式的影響. 3.解決圖象變換問題時,要分清變換的對象及平移(伸縮)的大小,避免出現(xiàn)錯誤. 4.特別提醒:進行三角函數(shù)的圖象變換時,要注意無論進行什么樣的變換都是變換變量本身. 【考點針對訓(xùn)練】 1. 【2016年江西師大附中高三上學(xué)期期末】已知函數(shù)向右平移個單位后 所得的圖像與原函數(shù)圖像關(guān)于軸對稱,則的最小正值為( ) A. B. C. D. 【答案】D 2. 【2016年江西師大附中高三二?!恳阎瘮?shù)向右平移個單位后,所得的圖像與原函數(shù)圖像關(guān)于軸對稱,則的最小正值為( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】原函數(shù)向右平移個單位后所得函數(shù)為其與原函數(shù)關(guān)于軸對稱,則必有,由三角函數(shù)誘導(dǎo)公式可知的最小正值為,故本題的正確選項為D. 【考點3】求三角函數(shù)解析式 【備考知識梳理】 1. 由的圖象求其函數(shù)式: 已知函數(shù)的圖象求解析式時,常采用待定系數(shù)法,由圖中的最高點、最低點或特殊點求A;由函數(shù)的周期確定;確定常根據(jù)“五點法”中的五個點求解,其中一般把第一個零點作為突破口,可以從圖象的升降找準第一個零點的位置. 2.利用圖象變換求解析式: 由的圖象向左或向右平移個單位,,得到函數(shù),將圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?),便得,將圖象上各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼谋?),便得. 【規(guī)律方法技巧】 1.根據(jù)的圖象求其解析式的問題,主要從以下四個方面來考慮: (1)A的確定:根據(jù)圖象的最高點和最低點,即A=; (2)k的確定:根據(jù)圖象的最高點和最低點,即k=; (3) 的確定:結(jié)合圖象,先求出周期T,然后由T=(ω>0)來確定ω; (4)φ的確定:由函數(shù)最開始與x軸的交點的橫坐標為 (即令,)確定.將點的坐標代入解析式時,要注意選擇的點屬于“五點法”中的哪一個點.“第一點”(即圖象上升時與x軸的交點)為,其他依次類推即可. 2.在圖象變換過程中務(wù)必分清是先相位變換,還是先周期變換.變換只是相對于其中的自變量x而言的,如果x的系數(shù)不是1,就要把這個系數(shù)提取后再確定變換的單位長度和方向. 【考點針對訓(xùn)練】 1. 【2016屆邯鄲市第一中學(xué)高三十研】已知的部分圖像如圖所示,則的表達式為( ) A. B. C. D. 【答案】B 2. 【2016屆山東省東營市勝利一中高三最后一卷】定義矩陣.若,則的圖象向右平移個單位得到的函數(shù)解析式為( ) A. B. C. D. 【答案】D 【考點4】三角函數(shù)的單調(diào)性 【備考知識梳理】 1.三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間: 的遞增區(qū)間是,遞減區(qū)間是; 的遞增區(qū)間是,遞減區(qū)間是, 的遞增區(qū)間是, 2.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性 設(shè),都是單調(diào)函數(shù),則在上也是單調(diào)函數(shù),其單調(diào)性由“同增異減”來確定,即“里外”函數(shù)增減性相同,復(fù)合函數(shù)為增函數(shù),“里外”函數(shù)增減性相反,復(fù)合函數(shù)為減函數(shù),如下表 增 增 增 增 減 減 減 增 減 減 減 增 【規(guī)律方法技巧】 1. 求形如或 (其中A≠0,)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,可以通過解不等式的方法去解答,列不等式的原則是:①把“ ()”視為一個“整體”;②A>0(A<0)時,所列不等式的方向與 (), ()的單調(diào)區(qū)間對應(yīng)的不等式方向相同(反). 2. 如何確定函數(shù)當時函數(shù)的單調(diào)性 對于函數(shù)求其單調(diào)區(qū)間,要特別注意的正負,若為負值,需要利用誘導(dǎo)公式把負號提出來,轉(zhuǎn)化為的形式,然后求其單調(diào)遞增區(qū)間,應(yīng)把放在正弦函數(shù)的遞減區(qū)間之內(nèi);若求其遞減區(qū)間,應(yīng)把放在正弦函數(shù)的遞增區(qū)間之內(nèi). 3.求函數(shù) (或,或)的單調(diào)區(qū)間的步驟: (1)將化為正. (2)將看成一個整體,由三角函數(shù)的單調(diào)性求解. 5.特別提醒:解答三角函數(shù)的問題時,不要漏了“”. 【考點針對訓(xùn)練】 1. 【2016年安慶市高三二?!恳阎瘮?shù)(,,)的部分圖象如圖所示,則的遞增區(qū)間為( ) A., B., C., D., 【答案】B 【解析】由圖象可知,,所以,故.由,得(). ∵ ∴,所以. 由(),得().或:,所以,, ,所以的單增區(qū)間是,.故選B. 2. 【2016年河南八市高三聯(lián)考】已知函數(shù),將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍,縱坐標不變,再將所得函數(shù)圖象向右平移個單位,得到函數(shù)的圖象,則函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間為( ) A. B. C. D. 【答案】B 【考點5】三角函數(shù)的奇偶性 【備考知識梳理】 1.函數(shù)的奇偶性的定義; 對定義域內(nèi)任意,如果有=,則函數(shù)是偶函數(shù),如果有=-,則函數(shù)是奇函數(shù),否則是非奇非偶函數(shù) 2.奇偶函數(shù)的性質(zhì): (1)定義域關(guān)于原點對稱;(2)偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱,奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱; 3.為偶函數(shù). 4.若奇函數(shù)的定義域包含,則. 5. 為奇函數(shù),為偶函數(shù),為奇函數(shù). 【規(guī)律方法技巧】 1. 一般根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義解答,首先必須考慮函數(shù)的定義域,如果函數(shù)的定義域不關(guān)于原點對稱,則函數(shù)一定是非奇非偶函數(shù);如果函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱,則繼續(xù)求;最后比較和的關(guān)系,如果有=,則函數(shù)是偶函數(shù),如果有=-,則函數(shù)是奇函數(shù),否則是非奇非偶函數(shù). 2. 如何判斷函數(shù)的奇偶性:根據(jù)三角函數(shù)的奇偶性,利用誘導(dǎo)公式可推得函數(shù)的奇偶性,常見的結(jié)論如下: (1)若為偶函數(shù),則有;若為奇函數(shù)則有; (2)若為偶函數(shù),則有;若為奇函數(shù)則有; (3)若為奇函數(shù)則有. 【考點針對訓(xùn)練】 1. 【2016屆湖北省沙市中學(xué)高三考前最后一卷】已知函數(shù)是偶函數(shù),則下列結(jié)論可能成立的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 2. 【2016年淮南高三二?!恳阎瘮?shù)滿足對恒成立,則函數(shù)( ) A.一定為奇函數(shù) B.一定為偶函數(shù) C. 一定為奇函數(shù) D.一定為偶函數(shù) 【答案】D 【解析】由題意得,時,則,,所以,此時函數(shù)為偶函數(shù),故選D. 【考點6】三角函數(shù)的周期性 【備考知識梳理】 1. 周期函數(shù)的定義 一般地,對于函數(shù),如果存在一個非零常數(shù),使得定義域內(nèi)的每一個值,都有 ,那么函數(shù)就叫做周期函數(shù),非零常數(shù) 叫做這個函數(shù)的周期. 2.最小正周期 對于一個周期函數(shù),如果它所有的周期中存在一個最小的正數(shù) ,那么這個最小的正數(shù) 就叫做的最小正周期. 2. ,周期為,周期為. 【規(guī)律方法技巧】 1.求三角函數(shù)的周期的方法 (1)定義法:使得當x取定義域內(nèi)的每一個值時,都有f (x+T)=f (x).利用定義我們可采用取值進行驗證的思路,非常適合選擇題; (2)公式法:和的最小正周期都是,的周期為.要特別注意兩個公式不要弄混; (3)圖象法:可以畫出函數(shù)的圖象,利用圖象的重復(fù)的特征進行確定,一般適應(yīng)于不易直接判斷,但是能夠容易畫出函數(shù)草圖的函數(shù); (4)絕對值或平方對三角函數(shù)周期性的影響:一般說來,某一周期函數(shù)解析式加絕對值或平方,其周期性是:弦減半、切不變.既為周期函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)自變量加絕對值,其周期性不變,其它不定. 如的周期都是, 但的周期為,而,的周期不變. 2.使用周期公式,必須先將解析式化為或的形式;正弦余弦函數(shù)的最小正周期是,正切函數(shù)的最小正周期公式是;注意一定要注意加絕對值. 【考點針對訓(xùn)練】 1. 【2016屆遼寧大連八中、二十四中高三模擬】函數(shù)的最小正周期是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 ,所以最小正周期為,故選B. 2. 【湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)2016屆高三月考(三)】已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱,其中為常數(shù),且. (1)求函數(shù)的最小正周期; (2)若存在,使,求的取值范圍. 【考點7】三角函數(shù)的最值 【備考知識 ,的值域為,的值域為. 【規(guī)律方法技巧】 掌握三種類型,順利求解三角最值:三角函數(shù)的最值既是高考中的一個重點,也是一個難點,其類型豐富,解決的方法比較多.但是歸納起來常見的有下面三種類型: (1)可化為型函數(shù)值域: 利用三角公式對原函數(shù)進行化簡、整理,最終得到的形式,然后借助題目中給定的的范圍,確定的范圍,最后利用的圖象確定函數(shù)的值域. 如: ①,設(shè)化為一次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求之; ②,引入輔助角,化為求解方法同類型①; (2)可化為型求函數(shù)的值域: 首先借助三角公式,把函數(shù)化成型,然后采用換元法,即令,構(gòu)造關(guān)于的函數(shù),然后根據(jù)具體的結(jié)構(gòu),采取相應(yīng)的方法求解.如:,化為二次函數(shù)在上的最值求之;,設(shè)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求之;,可轉(zhuǎn)化為對號函數(shù)求值域. (3)利用數(shù)性結(jié)合思想求函數(shù)的值域: 此類題目需分析函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征,看能否轉(zhuǎn)化為有幾何含義的式子結(jié)構(gòu),有時也可以把函數(shù)圖象畫出來,直接觀察確定函數(shù)的值域.如,設(shè)化為用法求值;當時,還可用平均值定理求最值;根據(jù)正弦函數(shù)的有界性,即可分析法求最值,還可“不等式”法或“數(shù)形結(jié)合”,轉(zhuǎn)化為直線的斜率的幾何含義求解. [易錯提示] (1)在求三角函數(shù)的最值時,要注意自變量x的范圍對最值的影響,往往結(jié)合圖象求解.(2)求函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的單調(diào)區(qū)間時,只有當ω>0時,才可整體代入并求其解,當ω<0時,需把ω的符號化為正值后求解. 【考點針對訓(xùn)練】 1. 【2016屆浙江省杭州市高三第二次質(zhì)檢】函數(shù)()的最大值等于( ) A.5 B. C. D.2 【答案】B 【解析】 ,,.故選B. 2. 【河北省衡水中學(xué)2016屆高三七調(diào)】已知函數(shù)的最小正周期為,則在區(qū)間上的值域為( ) A. B. C. D. 【答案】A 【考點8】求函數(shù)的對稱性(對稱軸和對稱中心) 【備考知識梳理】 1.對稱軸與對稱中心: 的對稱軸為,對稱中心為; 的對稱軸為,對稱中心為; 對稱中心為. 2.對于和來說,對稱中心與零點相聯(lián)系,對稱軸與最值點聯(lián)系. 的圖象有無窮多條對稱軸,可由方程解出;它還有無窮多個對稱中心,它們是圖象與軸的交點,可由,解得,即其對稱中心為. 3.相鄰兩對稱軸間的距離為,相鄰兩對稱中心間的距離也為,函數(shù)的對稱軸一定經(jīng)過圖象的最高點或最低點. 【規(guī)律方法技巧】 先化成的形式再求解.其圖象的對稱軸是直線,凡是該圖象與直線的交點都是該圖象的對稱中心, 關(guān)鍵是記住三角函數(shù)的圖象,根據(jù)圖象并結(jié)合整體代入的基本思想即可求三角函數(shù)的對稱軸與對稱中心. 【考點針對訓(xùn)練】 1. 【湖北省八校2016高三第二次聯(lián)考】若的圖像關(guān)于直線對稱,且當取最小值時,,使得,則的取值范圍是( ) A. B. C. D. 【答案】D 2. 【2016年江西高三三校聯(lián)考】函數(shù)的圖像的一個對稱中心為( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】,令,所以函數(shù)的圖像的一個對稱中心為,選C. 【應(yīng)試技巧點撥】 1.如何判斷函數(shù)的奇偶性 根據(jù)三角函數(shù)的奇偶性,利用誘導(dǎo)公式可推得函數(shù)的奇偶性,常見的結(jié)論如下: (1)若為偶函數(shù),則有;若為奇函數(shù)則有; (2)若為偶函數(shù),則有;若為奇函數(shù)則有; (3)若為奇函數(shù)則有. 2.如何確定函數(shù)當時函數(shù)的單調(diào)性 對于函數(shù)求其單調(diào)區(qū)間,要特別注意的正負,若為負值,需要利用誘導(dǎo)公式把負號提出來,轉(zhuǎn)化為的形式,然后求其單調(diào)遞增區(qū)間,應(yīng)把放在正弦函數(shù)的遞減區(qū)間之內(nèi);若求其遞減區(qū)間,應(yīng)把放在正弦函數(shù)的遞增區(qū)間之內(nèi). 3.求三角函數(shù)的周期的方法 (1)定義法:使得當x取定義域內(nèi)的每一個值時,都有f (x+T)=f (x).利用定義我們可采用取值進行驗證的思路,非常適合選擇題; (2)公式法:和的最小正周期都是,的周期為.要特別注意兩個公式不要弄混; (3)圖象法:可以畫出函數(shù)的圖象,利用圖象的重復(fù)的特征進行確定,一般適應(yīng)于不易直接判斷,但是能夠容易畫出函數(shù)草圖的函數(shù); (4)絕對值或平方對三角函數(shù)周期性的影響:一般說來,某一周期函數(shù)解析式加絕對值或平方,其周期性是:弦減半、切不變.既為周期函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)自變量加絕對值,其周期性不變,其它不定. 如的周期都是, 但的周期為,而,的周期不變. 4.掌握三種類型,順利求解三角最值 三角函數(shù)的最值既是高考中的一個重點,也是一個難點,其類型豐富,解決的方法比較多.但是歸納起來常見的有下面三種類型: (1)可化為型函數(shù)值域: 利用三角公式對原函數(shù)進行化簡、整理,最終得到的形式,然后借助題目中給定的的范圍,確定的范圍,最后利用的圖象確定函數(shù)的值域. 如:、 等. (2)可化為型求函數(shù)的值域: 首先借助三角公式,把函數(shù)化成型,然后采用換元法,即令,構(gòu)造關(guān)于的函數(shù),然后根據(jù)具體的結(jié)構(gòu),采取相應(yīng)的方法求解.如:、可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域;,可轉(zhuǎn)化為對號函數(shù)求值域. (3)利用數(shù)性結(jié)合思想求函數(shù)的值域: 此類題目需分析函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征,看能否轉(zhuǎn)化為有幾何含義的式子結(jié)構(gòu),有時也可以把函數(shù)圖象畫出來,直接觀察確定函數(shù)的值域.如,常轉(zhuǎn)化為直線的斜率的幾何含義求解. 二年模擬 1. 【河南省商丘市2016年高三第三次模擬】 函數(shù)的部分圖象如圖所示,則的解析式可以為( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由圖可知周期,故;由于,即,故選D. 2. 【2016屆云南省昆明一中高三第七次高考仿真模擬】將函數(shù)的圖象向右平移個單位,再將圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的倍(縱坐標不變),所得圖象的解析式為,則的值分別為( ) A. B. C. D. 【答案】A 3. 【2016屆湖北省級示范高中聯(lián)盟高三模擬】已知函數(shù)在上有兩個零點,則的取值范圍為( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因,故,由于函數(shù)在上單調(diào)遞增;在上單調(diào)遞減,且,故當時,函數(shù)的圖象與直線有兩個交點,應(yīng)選B. 4. 【2016屆福建省泉州市高三5月質(zhì)檢】已知函數(shù),若,則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為( ) A. B. C. D. 【答案】D 5. 【2016屆安徽省江南十校高三二?!咳绻瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,那么的取值范圍為( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因為時,在上單調(diào)遞增,所以可以排除C、D;時,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,因此可排除選項A,故選B. 6. 【2016屆陜西師大附中高三第十次模擬】函數(shù),給出下列四個命題: ①在區(qū)間上是減函數(shù);②直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸;③函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向左平移個單位得到;④若,則的值域是. 其中,正確的命題的序號是( ) A.①② B. ②③ C.①④ D. ③④ 【答案】A 【解析】,當時,,則函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù),即①正確,因為,所以直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸,即②正確,因為,所以函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向左平移個單位得到,即③錯誤,當時,,則函數(shù),即④錯誤;故選A. 7. 【2016屆寧夏石嘴山三中高三四模】已知函數(shù)的最小正周期為,且對,有成立,則的一個對稱中心坐標是( ) A. B. C. D. 【答案】A 8. 【2016年山西臨汾一中高三測試】已知函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標構(gòu)成一個公差為的等差數(shù)列,把函數(shù)的圖象沿軸向左平移個單位,得到函數(shù)的圖象.若在區(qū)間上隨機取一個數(shù),則事件“”發(fā)生的概率為( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因為,由題意知,所以,所以,把函數(shù)的圖象沿軸向左平移個單位,得,因為,所以,即,解得,所以事件“”發(fā)生的概率為,故選C. 9.【2016屆福建廈門雙十中學(xué)高三下熱身考】已知直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸,則直線的傾斜角為 . 【答案】 【解析】由條件,故傾斜角為. 10. 【湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)2016屆高三上學(xué)期月考(三)文科數(shù)學(xué)試題】(本小題10分)已知函數(shù). (1)求函數(shù)的最小正周期; (2)將函數(shù)的圖象向下平移個單位,再將圖象上各點的縱坐標伸長到原來的2倍(橫坐標不變),得到函數(shù)的圖象,求使成立的的取值集合. 11.【2015屆新高考單科綜合調(diào)研卷(浙江卷)(二)】已知,函數(shù)在上單調(diào)遞減,則的取值范圍是 ( ) A. B. C. D. 【答案】A. 【解析】結(jié)合特殊值,求解三角函數(shù)的遞減區(qū)間,并驗證結(jié)果.取,,其減區(qū)間為,顯然,排除;取,,其減區(qū)間為,顯然,排除.選. 12.【2015屆新高考單科綜合調(diào)研卷(浙江卷)(一)】已知函數(shù),,若方程有三個不同的實數(shù)根,且三個根從小到大依次成等比數(shù)列,則實數(shù)的值可能是 ( ) A. B. C. D. 【答案】A. 13.【朝陽區(qū)2014-2015學(xué)年度高三年級第一學(xué)期期中】如圖,某地一天中6時至14時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)(其中 ,), 第7題圖 則估計中午12時的溫度近似為( ) 30 20 10 O t/h T/℃ 6 8 10 12 14 A. 30 ℃ B. 27 ℃ C.25 ℃ D.24 ℃ 【答案】B 【解析】由圖象可得,又周期,可得,可得,在將點(6,10)代入,可得,即,又,求得,∴.令x=12,可得,故選:B. 14.【惠安一中、養(yǎng)正中學(xué)、安溪一中2015屆高三聯(lián)合考試】對于函數(shù),有下列4個命題:①任取,,都有恒成立;②,對于一切恒成立;③對任意,不等式恒成立,則實數(shù)的取值范圍是.④函數(shù)有個零點;則其中所有真命題的序號是 . 【答案】①④. 15.【河南省信陽市2015屆高中畢業(yè)班第二次調(diào)研】已知向量,記函數(shù).求: (Ⅰ)函數(shù)的最小值及取得最小值時的集合; (Ⅱ)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間. 拓展試題以及解析 1. 將函數(shù)的圖象向左平移個單位,再向上平移3個單位,得到函數(shù)的圖象,則的解析式為( ) A. B. C. D. 【答案】B 【入選理由】本題主要考查三角函數(shù)圖像變換及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,意在考查運用數(shù)形結(jié)合思想的能力和運算能力, 本題重點考查三角函數(shù)的圖象及其平移變換理論,突出了對函數(shù)圖象變換思想的理解,難度適中,故押此題. 2.已知,,點在直線上,則函數(shù)的最小正周期為_________. 【答案】. 【解析】,,依題意,則,所以,則函數(shù)的周期為. 【入選理由】本題主要考查平面向量的線性運算,三角函數(shù)的周期性等基礎(chǔ)知識,意在考查學(xué)生的運算求解能力,運用數(shù)形結(jié)合思想的能力, 三角函數(shù)的性質(zhì)與向量巧妙結(jié)合, 立意比較新,難度適中,故押此題. 3. 已知函數(shù)=的部分圖象如圖所示,則的單調(diào)增區(qū)間為 ( ) A., B., C. , D., 【答案】A 【解析】由五點作圖法知,,解得,,,所以,令,,解得,,所以的單調(diào)增區(qū)間為,,故選A. 【入選理由】本題主要考查由三角函數(shù)的圖象求解析式,三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),意在考查運用數(shù)形結(jié)合思想的能力和運算能力, 本題是一個常規(guī)題型,但出題方式有新意,難度適中,故押此題. 4.已知函數(shù) ,滿足其最小正周期為,,,則 函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值之和為( ) A. B. C. D. 【答案】B 【入選理由】本題主要考查求三角函數(shù)解析式,三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),求三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識,意在考查運用數(shù)形結(jié)合思想的能力和運算能力, 本題綜合性強,但出題方式有創(chuàng)意,難度適中,故押此題. 5. 已知是偶函數(shù),則實數(shù)的值為 【答案】 【解析】因為函數(shù)是偶函數(shù),且定義域為,所以即當時,為偶函數(shù). 【入選理由】本題考查三角函數(shù)的奇偶性,特殊角三角函數(shù)值等基礎(chǔ)知識,意在考查學(xué)生分析問題能力及基本運算能力,本題這種出法有創(chuàng)意,難度適中,故押此題. 6. 已知函數(shù)的一條對稱軸方程為,則函數(shù)的最大值為___________. 【答案】1 【入選理由】本題主要考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)、倍角公式、和角公式、三角恒等變換以及三角函數(shù)最值等基礎(chǔ)知識,考查了基本的運算能力和轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)方法等.本題考查內(nèi)容重點突出,綜合性較強,難度不大,故選此題. 7.已知函數(shù),則下列結(jié)論錯誤的是( ) A.函數(shù)的最小正周期為 B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱 C.函數(shù)的圖象可由的圖象向右平移個單位得到 D. 函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù) 【答案】B 【解析】由題知,函數(shù),所以的最小正周期為,選項A正確;將代入的解析式得,而不是函數(shù)的最值,所以選項B不正確;因為,所以它可由的圖象向右平移個單位得到,選項C正確;當時,,此范圍內(nèi)當?shù)闹翟黾訒r,的值增加,的值也增加,所以函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),選項D正確. 【入選理由】本題綜合考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),三角函數(shù)圖像變換等基礎(chǔ)知識,意在考查學(xué)生分析問題能力及解決問題的能力,本題綜合性強,難度適中,故押此題. 8.已知中,邊的對角分別為,且,,. (Ⅰ)求及的面積; (Ⅱ)已知函數(shù),把函數(shù)的圖象向左平移個單位得函數(shù) 的圖象,求函數(shù)()上的單調(diào)遞增區(qū)間. 【入選理由】本題主要考查正弦定理解三角形、三角函數(shù)的恒等變換、三角函數(shù)的平移變換以及三角函數(shù)的單調(diào)性等,考查基本的運算能力以及函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想,綜合分析問題解決問題的能力.本題綜合性較強,難度不大,故選此題.- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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