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2017年高考全真模擬試題(二)
本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，考試時(shí)間120分鐘，滿分150分．
第Ⅰ卷
一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1．已知全集U＝R，集合A＝{x|x<2}，B＝{x|lg(x－1)>0}，則A∩(?UB)＝( )
A．{x|1
2}，∴?UB＝{x|x≤2}，∴A∩(?UB)＝{x|x<2}，故選C.
2．定義運(yùn)算＝ad－bc，則符合條件＝0的復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 B
解析 由題意得，2zi－[－i(1＋i)]＝0，則z＝＝－－，∴＝－＋，其在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，故選B.
3．下列說(shuō)法中，不正確的是( )
A．已知a，b，m∈R，命題：“若am20”的否定是：“?x∈R，x2－x≤0”
C．命題“p或q”為真命題，則命題p和命題q均為真命題
D．“x>3”是“x>2”的充分不必要條件
答案 C
解析 本題考查命題真假的判斷．命題“p或q”為真命題，則命題p和命題q中至少有一個(gè)為真命題，C錯(cuò)誤，故選C.
4．函數(shù)y＝(x3－x)2|x|的圖象大致是( )
答案 B
解析 易判斷函數(shù)為奇函數(shù)，由y＝0得x＝1或x＝0.且當(dāng)01時(shí)，y>0，故選B.
5．sin2α＝，0<α<，則cos的值為( )
A．－ B.
C．－ D.
答案 D
解析 cos＝＝sinα＋cosα，又∵(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝1＋sin2α＝，0<α<，∴sinα＋cosα＝，故選D.
6. 執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入t的值為5，則輸出的s的值為( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 依題意，當(dāng)輸入t的值是5時(shí)，執(zhí)行題中的程序框圖，s＝1，k＝2<5，s＝1＋，k＝3<5，s＝1＋－，k＝4<5，s＝1＋－＋，k＝5≥5，此時(shí)結(jié)束循環(huán)，輸出的s＝1＋－＋＝，選D.
7．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是( )
A．2π－ B．2π－
C. D．2π－2
答案 A
解析 本題考查幾何體的三視圖和體積．由三視圖得該幾何體為底面半徑為1，高為2的圓柱體挖去一個(gè)底面邊長(zhǎng)為的正方形，高為1的正四棱錐后剩余的部分，則其體積為2π12－()21＝2π－，故選A.
8．將函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)的圖象向右平移個(gè)單位后的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)f(x)在上的最小值為( )
A．0 B．－1
C．－ D．－
答案 D
解析 f(x)＝sin(2x＋φ)的圖象向右平移個(gè)單位后得到g(x)＝sin＝sin的圖象，又g(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，
∴g(0)＝sin＝1，
∴－＋φ＝＋kπ(k∈Z)，
∴φ＝＋kπ(k∈Z)，又|φ|<，
∴φ＝－，∴f(x)＝sin，又x∈，
∴2x－∈，∴f(x)min＝－.
9．設(shè)不等式組，所表示的區(qū)域?yàn)镸，函數(shù)y＝的圖象與x軸所圍成的區(qū)域?yàn)镹，向M內(nèi)隨機(jī)投一個(gè)點(diǎn)，則該點(diǎn)落在N內(nèi)的概率為( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 本題考查不等式組表示的平面區(qū)域、幾何概型．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出題中的不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)橐?，0)，(－，0)，(0，)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域，函數(shù)y＝的圖象與x軸圍成的區(qū)域如圖中的陰影部分所示，則所求概率為＝，故選B.
10．如圖，在正六邊形ABCDEF中，點(diǎn)P是△CDE內(nèi)(包括邊界)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)＝λ＋μ(λ，μ∈R)，則λ＋μ的取值范圍是( )
A.
B．[3,4]
C.
D.
答案 B
解析 本題考查平面向量的運(yùn)算、線性規(guī)劃的應(yīng)用．以A為原點(diǎn)，分別以AB，AE所在的直線為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為1，則A(0,0)，B(1,0)，C，D(1，)，E(0，)，F(xiàn)，設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則＝(x，y)，＝，＝(1,0)，則由＝λ＋μ得解得則λ＋μ＝x＋y，又因?yàn)辄c(diǎn)P在△CDE內(nèi)，所以當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，λ＋μ取得最大值1＋＝4，當(dāng)點(diǎn)P在線段CE上時(shí)，λ＋μ取得最小值3，所以λ＋μ的取值范圍為[3,4]，故選B.
11．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P為橢圓C：＋＝1(a>b>0)的下頂點(diǎn)，M，N在橢圓上，若四邊形OPMN為平行四邊形，α為直線ON的傾斜角，α∈，則橢圓C的離心率的取值范圍為( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 因?yàn)镺P在y軸上，在平行四邊形OPMN中，MN∥OP，因此M，N的橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，即M，N關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，|MN|＝|OP|＝a，可設(shè)M(x，－y0)，N(x，y0)．由kON＝kPM得y0＝.把點(diǎn)N的坐標(biāo)代入橢圓方程得|x|＝b，點(diǎn)N.因?yàn)棣潦侵本€ON的傾斜角，因此tanα＝b＝.又α∈，因此0時(shí)，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減．又f(x)是偶函數(shù)，則g(－x)＝x2f(－x)－x2＝x2f(x)－x2＝g(x)，即g(x)是偶函數(shù)．不等式x2f(x)－f(1)1，解得x<－1或x>1，選項(xiàng)B正確．
第Ⅱ卷
本卷包括必考題和選考題兩部分．第13題～第21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答，第22題～第23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分)
13．某單位有員工90人，其中女員工有36人，為做某項(xiàng)調(diào)查，擬采用分層抽樣法抽取容量為15的樣本，則男員工應(yīng)選取的人數(shù)是________．
答案 9
解析 男員工應(yīng)抽取的人數(shù)為15＝9.
14．已知三棱錐P－ABC的頂點(diǎn)P、A、B、C在球O的球面上，△ABC是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，如果球O的表面積為36π，那么P到平面ABC距離的最大值為_(kāi)_______．
答案 3＋2
解析 依題意，邊長(zhǎng)是的等邊△ABC的外接圓半徑r＝＝1，∵球O的表面積為36π＝4πR2，∴球O的半徑R＝3，∴球心O到平面ABC的距離d＝＝2，∴球面上的點(diǎn)P到平面ABC距離的最大值為R＋d＝3＋2.
15．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，如果△ABC的面積等于8，a＝5，tanB＝－，那么＝________.
答案
解析 △ABC中，∵tanB＝－，∴sinB＝，cosB＝－，又S△ABC＝acsinB＝2c＝8，∴c＝4，∴b＝＝，∴＝＝.
16．過(guò)直線l：x＋y＝2上任意一點(diǎn)P向圓C：x2＋y2＝1作兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，線段AB的中點(diǎn)為Q，則點(diǎn)Q到直線l的距離的取值范圍為_(kāi)_______．
答案
解析 依題意，設(shè)點(diǎn)P(x0,2－x0)，則直線AB的方程為x0x＋(2－x0)y＝1(注：由圓x2＋y2＝r2外一點(diǎn)E(x0，y0)向該圓引兩條切線，切點(diǎn)分別為F，G，則直線FG的方程是x0x＋y0y＝r2)，直線OP的方程是(2－x0)x－x0y＝0，其中點(diǎn)Q是直線AB與OP的交點(diǎn)，因此點(diǎn)Q(x，y)的坐標(biāo)是方程組的解．
由得
即點(diǎn)Q，點(diǎn)Q到直線l的距離d＝＝.
注意到0<＝≤1，－2<－2≤－1,1≤<2，所以≤<，即點(diǎn)Q到直線l的距離的取值范圍是.
三、解答題(解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)
17．(本小題滿分12分)已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足：S3＝39，且2a2是3a1與a3的等差中項(xiàng)．
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an；
(2)若數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，bn＝，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，問(wèn)是否存在正整數(shù)n使得Tn>成立？若存在，求出n的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
解 (1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q.
由S3＝39得a1(1＋q＋q2)＝39. ①
因?yàn)?a2是3a1與a3的等差中項(xiàng)，則3a1＋a3＝4a2.
即q2－4q＋3＝0，解得q＝1或q＝3.
代入①式得：當(dāng)q＝1時(shí)，a1＝13，{an}的通項(xiàng)公式為an＝13；
當(dāng)q＝3時(shí)，a1＝3，{an}的通項(xiàng)公式為an＝33n－1＝3n.
(2)因?yàn)閿?shù)列{an}為遞增數(shù)列，所以an＝3n，bn＝＝＝.
Tn＝
＝.
由Tn>得n2－n－4>0，即n>.
又n∈N*，所以存在最小正整數(shù)n＝3，使得Tn>成立．
18．(本小題滿分12分)2016年1月19日，習(xí)近平主席開(kāi)啟對(duì)沙特、埃及、伊朗為期5天的國(guó)事訪問(wèn)．某校高二文科一班主任為了解同學(xué)們對(duì)此事的關(guān)注情況，在該班進(jìn)行了一次調(diào)查，發(fā)現(xiàn)在全班50名同學(xué)中，對(duì)此事關(guān)注的同學(xué)有30名．該班在本學(xué)期期末考試中政治成績(jī)(滿分100分)的莖葉圖如下：
(1)求“對(duì)此事不關(guān)注者”的政治期末考試成績(jī)的中位數(shù)與平均數(shù)；
(2)若成績(jī)不低于60分記為“及格”，從“對(duì)此事不關(guān)注者”中隨機(jī)抽取1人，該同學(xué)及格的概率為P1，從“對(duì)此事關(guān)注者”中隨機(jī)抽取1人，該同學(xué)及格的概率為P2，求P2－P1的值；
(3)若成績(jī)不低于80分記為“優(yōu)秀”，請(qǐng)以是否優(yōu)秀為分類(lèi)變量．
①補(bǔ)充下面的22列聯(lián)表；
政治成
績(jī)優(yōu)秀
政治成
績(jī)不優(yōu)秀
合計(jì)
對(duì)此事關(guān)注
者(單位：人)
對(duì)此事不關(guān)注
者(單位：人)
合計(jì)
②是否有90%以上的把握認(rèn)為“對(duì)此事是否關(guān)注”與政治期末成績(jī)是否優(yōu)秀有關(guān)系？
參考數(shù)據(jù)：
P(K2≥k)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
參考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
解 (1)“對(duì)此事不關(guān)注者”的20名同學(xué)，成績(jī)從低到高依次為：
42,46,50,52,53,56,61,61,63,64,66,66,72,72,76,82,82,86,90,94，
中位數(shù)為＝65，
平均數(shù)為
＝66.7.
(2)由條件可得P1＝＝，P2＝＝，
所以P2－P1＝－＝.
(3)①補(bǔ)充的22列聯(lián)表如下：
政治成
績(jī)優(yōu)秀
政治成
績(jī)不優(yōu)秀
合計(jì)
對(duì)此事關(guān)注
者(單位：人)
12
18
30
對(duì)此事不關(guān)注
者(單位：人)
5
15
20
合計(jì)
17
33
50
②由22列聯(lián)表可得
K2＝＝≈1.203<2.706，
所以，沒(méi)有90%以上的把握認(rèn)為“對(duì)此事是否關(guān)注”與政治期末成績(jī)是否優(yōu)秀有關(guān)系．
19．[2016福建質(zhì)檢](本小題滿分12分)如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，平面AA1B1B⊥平面ABC，D是AC的中點(diǎn)．
(1)求證：B1C∥平面A1BD；
(2)若∠A1AB＝∠ACB＝60，AB＝BB1，AC＝2，BC＝1，求三棱錐A1－ABD的體積．
解 解法一：(1)證明：連接AB1交A1B于點(diǎn)O，則O為AB1的中點(diǎn)，
∵D是AC的中點(diǎn)，
∴DO為△ACB1的中位線，
∴OD∥B1C.
又OD?平面A1BD，B1C?平面A1BD，
∴B1C∥平面A1BD.
(2)∵AC＝2，BC＝1，∠ACB＝60，
∴AB2＝AC2＋BC2－2ACBCcos∠ACB＝3，
∴AB＝，且△ABC為直角三角形．
取AB的中點(diǎn)M，連接A1M，
∵AB＝BB1＝AA1，∠A1AB＝60，
∴△ABA1為等邊三角形，
∴A1M⊥AB，且A1M＝.
又∵平面AA1B1B⊥平面ABC，平面AA1B1B∩平面ABC＝AB，
A1M?平面AA1B1B，
∴A1M⊥平面ABC.
∵S△ABD＝S△ABC＝，
∴V三棱錐A1－ABD＝S△ABDA1M＝.
解法二：(1)證明：取A1C1的中點(diǎn)D1，連接B1D1，CD1，DD1，
∵A1D1＝A1C1，
CD＝AC，A1C1綊AC，
∴A1D1綊CD，
∴四邊形A1DCD1為平行四邊形，
∴CD1∥A1D.
又A1D?平面A1BD，CD1?平面A1BD，
∴CD1∥平面A1BD.
∵BB1綊AA1綊DD1，
∴四邊形D1DBB1為平行四邊形，
∴B1D1∥BD.
又BD?平面A1BD，B1D1?平面A1BD，
∴B1D1∥平面A1BD.
又CD1∩B1D1＝D1，
∴平面B1CD1∥平面A1BD.
又B1C?平面B1CD1，∴B1C∥平面A1BD.
(2)∵AC＝2，BC＝1，∠ACB＝60，
∴AB2＝AC2＋BC2－2ACBCcos∠ACB＝3，
∴AB＝.
∴AC2＝AB2＋BC2，∴BC⊥AB.
又∵平面AA1B1B⊥平面ABC，平面AA1B1B∩平面ABC＝AB，
∴BC⊥平面AA1B1B.
∵∠A1AB＝60，AB＝BB1＝AA1，
∴AA1＝，
∴S△A1AB＝ABAA1sin∠A1AB＝.
∵D是AC的中點(diǎn)，
∴V三棱錐A1－ABD＝V三棱錐D－A1AB＝V三棱錐C－A1AB
＝S△A1ABBC＝.
20．(本小題滿分12分)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，過(guò)點(diǎn)M(1,0)的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，|MA|＝λ|MB|，且當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，|AB|＝.
(1)求橢圓C的方程；
(2)若λ∈，求弦長(zhǎng)|AB|的取值范圍．
解 (1)由已知e＝，得＝，
又當(dāng)直線垂直于x軸時(shí)，|AB|＝，所以橢圓過(guò)點(diǎn)，
代入橢圓方程得＋＝1，
∵a2＝b2＋c2，聯(lián)立方程可得a2＝2，b2＝1，
∴橢圓C的方程為＋y2＝1.
(2)當(dāng)過(guò)點(diǎn)M的直線斜率為0時(shí)，點(diǎn)A，B分別為橢圓長(zhǎng)軸的端點(diǎn)，
λ＝＝＝3＋2>2或λ＝＝＝3－2<，不符合題意．
∴直線的斜率不能為0.
設(shè)直線方程為x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
將直線方程代入橢圓方程得：
(m2＋2)y2＋2my－1＝0，由根與系數(shù)的關(guān)系可得，
將①式平方除以②式可得：
＋＋2＝－，
由已知|MA|＝λ|MB|可知，＝－λ，
∴－λ－＋2＝－，
又知λ∈，∴－λ－＋2∈，
∴－≤－≤0，解得m2∈.
|AB|2＝(1＋m2)|y1－y2|2＝(1＋m2)[(y1＋y2)2－4y1y2]＝82＝82，
∵m2∈，∴∈，
∴|AB|∈.
21．[2016福建質(zhì)檢](本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝ln x＋－1，a∈R.
(1)若函數(shù)f(x)的最小值為0，求a的值；
(2)證明：ex＋(ln x－1)sinx>0.
解 (1)f(x)＝ln x＋－1的定義域?yàn)?0，＋∞)，
且f′(x)＝－＝.
若a≤0，則f′(x)>0，于是f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，
故f(x)無(wú)最小值，不符合題意．
若a>0，則當(dāng)0a時(shí)，f′(x)>0.
故f(x)在(0，a)上單調(diào)遞減，在(a，＋∞)上單調(diào)遞增．
于是當(dāng)x＝a時(shí)，f(x)取得最小值ln a.
由已知得ln a＝0，解得a＝1.
綜上，a＝1.
(2)證明：①下面先證當(dāng)x∈(0，π)時(shí)，ex＋(ln x－1)sinx>0.
因?yàn)閤∈(0，π)，所以只要證>1－ln x.
由(1)可知≥1－ln x，
于是只要證>，即只要證xex－sinx>0.
令h(x)＝xex－sinx，則h′(x)＝(x＋1)ex－cosx.
當(dāng)01e0－1＝0，
所以h(x)在(0，π)上單調(diào)遞增．
所以當(dāng)0h(0)＝0，即xex－sinx>0.
故當(dāng)x∈(0，π)時(shí)，不等式ex＋(ln x－1)sinx>0成立．
②當(dāng)x∈[π，＋∞)時(shí)，由(1)知≥1－ln x，
于是有x≥1－ln，即x≥1＋ln x.
所以ex≥e1＋ln x，即ex≥ex，
又因?yàn)閑x≥e(1＋ln x)，所以ex≥e(1＋ln x)，
所以ex＋(ln x－1)sinx≥e(ln x＋1)＋(ln x－1)sinx
＝(e＋sinx)ln x＋(e－sinx)>0.
綜上，不等式ex＋(ln x－1)sinx>0成立．
請(qǐng)考生在22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．
22．(本小題滿分10分)選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．在以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，圓C的方程為ρ＝2sinθ.
(1)寫(xiě)出直線l的普通方程和圓C的直角坐標(biāo)方程；
(2)若點(diǎn)P坐標(biāo)為(3，)，圓C與直線l交于A、B兩點(diǎn)，求|PA|＋|PB|的值．
解 (1)由得直線l的普通方程為x＋y－3－＝0.
又由ρ＝2sinθ得圓C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2y＝0，
即x2＋(y－)2＝5.
(2)把直線l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程，得
2＋2＝5，即t2－3t＋4＝0.
由于Δ＝(3)2－44＝2>0，故可設(shè)t1、t2是上述方程的兩實(shí)數(shù)根，
所以t1＋t2＝3，t1t2＝4.
又直線l過(guò)點(diǎn)P(3, )，A、B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1、t2，
所以|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3.
23．(本小題滿分10分)選修4－5：不等式選講
設(shè)函數(shù)f(x)＝|x－1|＋|x－a|(a∈R)．
(1)當(dāng)a＝4時(shí)，求不等式f(x)≥5的解集．
(2)若f(x)≥4對(duì)a∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解 (1)當(dāng)a＝4時(shí)，|x－1|＋|x－a|≥5等價(jià)于
或或
解得x≤0或x≥5.
所以不等式f(x)≥5的解集為{x|x≤0或x≥5}．
(2)因?yàn)閒(x)＝|x－1|＋|x－a|≥|(x－1)－(x－a)|＝|a－1|，所以f(x)min＝|a－1|.
要使f(x)≥4對(duì)a∈R恒成立，則|a－1|≥4即可，
所以a≤－3或a≥5，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|a≤－3或a≥5}．
高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 全真模擬試題2 文
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