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高考數(shù)學 考前3個月知識方法專題訓練 第一部分 知識方法篇 專題7 解析幾何 第30練 與拋物線有關(guān)的熱點問題 文

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高考數(shù)學 考前3個月知識方法專題訓練 第一部分 知識方法篇 專題7 解析幾何 第30練 與拋物線有關(guān)的熱點問題 文

第30練與拋物線有關(guān)的熱點問題題型分析高考展望拋物線是三種圓錐曲線之一,應(yīng)用廣泛,是高考的重點考查對象,拋物線方程、幾何性質(zhì)、直線與拋物線結(jié)合的問題都是高考熱點考查形式有選擇題、填空題也有解答題,小題難度一般為低中檔層次,解答題難度為中檔偏上體驗高考1(2015四川)設(shè)直線l與拋物線y24x相交于A,B兩點,與圓(x5)2y2r2(r0)相切于點M,且M為線段AB的中點,若這樣的直線l恰有4條,則r的取值范圍是()A(1,3) B(1,4)C(2,3) D(2,4)答案D解析設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),則相減得(y1y2)(y1y2)4(x1x2),當直線l的斜率不存在時,符合條件的直線l必有兩條;當直線l的斜率k存在時,如圖x1x2,則有2,即y0k2,由CMAB得,k1,y0k5x0,25x0,x03,即M必在直線x3上,將x3代入y24x,得y212,2y02,點M在圓上,(x05)2yr2,r2y412416,又y44,4r216,2r4.故選D.2(2015浙江)如圖,設(shè)拋物線y24x的焦點為F,不經(jīng)過焦點的直線上有三個不同的點A,B,C,其中點A,B在拋物線上,點C在y軸上,則BCF與ACF的面積之比是()A.B.C.D.答案A解析由圖形可知,BCF與ACF有公共的頂點F,且A,B,C三點共線,易知BCF與ACF的面積之比就等于.由拋物線方程知焦點F(1,0),作準線l,則l的方程為x1.點A,B在拋物線上,過A,B分別作AK,BH與準線垂直,垂足分別為點K,H,且與y軸分別交于點N,M.由拋物線定義,得|BM|BF|1,|AN|AF|1.在CAN中,BMAN,.3(2016四川)設(shè)O為坐標原點,P是以F為焦點的拋物線y22px(p>0)上任意一點,M是線段PF上的點,且|PM|2|MF|,則直線OM的斜率的最大值為()A. B. C. D1答案C解析如圖,由題意可知F,設(shè)P點坐標為,顯然,當y0<0時,kOM<0;y0>0時,kOM>0,要求kOM的最大值,不妨設(shè)y0>0.則(),kOM,當且僅當y2p2時等號成立故選C.4(2016課標全國乙)以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A,B兩點,交C的準線于D,E兩點已知|AB|4,|DE|2,則C的焦點到準線的距離為()A2 B4C6 D8答案B解析不妨設(shè)拋物線C:y22px(p>0),則圓的方程可設(shè)為x2y2r2(r>0),如圖,又可設(shè)A(x0,2),D,點A(x0,2)在拋物線y22px上,82px0,點A(x0,2)在圓x2y2r2上,x8r2,點D在圓x2y2r2上,25r2,聯(lián)立,解得p4,即C的焦點到準線的距離為p4,故選B.5(2015上海)拋物線y22px(p>0)上的動點Q到焦點的距離的最小值為1,則p_.答案2解析根據(jù)拋物線的性質(zhì),我們知道當且僅當動點Q運動到原點的時候,才與拋物線焦點的距離最小,所以有|PQ|min1p2.高考必會題型題型一拋物線的定義及其應(yīng)用例1已知P為拋物線y26x上一點,點P到直線l:3x4y260的距離為d1.(1)求d1的最小值,并求此時點P的坐標;(2)若點P到拋物線的準線的距離為d2,求d1d2的最小值解(1)設(shè)P(,y0),則d1|(y04)236|,當y04時,(d1)min,此時x0,當P點坐標為(,4)時,(d1)min.(2)設(shè)拋物線的焦點為F,則F(,0),且d2|PF|,d1d2d1|PF|,它的最小值為點F到直線l的距離,(d1d2)min.點評與拋物線有關(guān)的最值問題,一般情況下都與拋物線的定義有關(guān)由于拋物線的定義在運用上有較大的靈活性,因此此類問題也有一定的難度“看到準線想焦點,看到焦點想準線”,這是解決拋物線焦點弦有關(guān)問題的重要途徑變式訓練1(1)(2016浙江)若拋物線y24x上的點M到焦點的距離為10,則點M到y(tǒng)軸的距離是_(2)已知點P在拋物線y24x上,那么點P到Q(2,1)的距離與點P到拋物線焦點距離之和取得最小值時,點P的坐標為()A(,1) B(,1)C(1,2) D(1,2)答案(1)9(2)B解析(1)拋物線y24x的焦點F(1,0)準線為x1,由M到焦點的距離為10,可知M到準線x1的距離也為10,故M的橫坐標滿足xM110,解得xM9,所以點M到y(tǒng)軸的距離為9.(2)拋物線y24x焦點為F(1,0),準線為x1,作PQ垂直于準線,垂足為M,根據(jù)拋物線定義,|PQ|PF|PQ|PM|,根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊,直角三角形斜邊大于直角邊知:|PQ|PM|的最小值是點Q到拋物線準線x1的距離所以點P縱坐標為1,則橫坐標為,即(,1)題型二拋物線的標準方程及幾何性質(zhì)例2(2015福建)已知點F為拋物線E:y22px(p0)的焦點,點A(2,m)在拋物線E上,且|AF|3.(1)求拋物線E的方程;(2)已知點G(1,0),延長AF交拋物線E于點B,證明:以點F為圓心且與直線GA相切的圓,必與直線GB相切方法一(1)解由拋物線的定義得|AF|2.因為|AF|3,即23,解得p2,所以拋物線E的方程為y24x.(2)證明因為點A(2,m)在拋物線E:y24x上,所以m2,由拋物線的對稱性,不妨設(shè)A(2,2)由A(2,2),F(xiàn)(1,0)可得直線AF的方程為y2(x1)由得2x25x20,解得x2或x,從而B.又G(1,0),所以kGA,kGB.所以kGAkGB0,從而AGFBGF,這表明點F到直線GA,GB的距離相等,故以F為圓心且與直線GA相切的圓必與直線GB相切方法二(1)解同方法一(2)證明設(shè)以點F為圓心且與直線GA相切的圓的半徑為r.因為點A(2,m)在拋物線E:y24x上,所以m2,由拋物線的對稱性,不妨設(shè)A(2,2)由A(2,2),F(xiàn)(1,0)可得直線AF的方程為y2(x1)由得2x25x20.解得x2或x,從而B.又G(1,0),故直線GA的方程為2x3y20.從而r.又直線GB的方程為2x3y20.所以點F到直線GB的距離dr.這表明以點F為圓心且與直線GA相切的圓必與直線GB相切點評(1)由拋物線的標準方程,可以首先確定拋物線的開口方向、焦點的位置及p的值,再進一步確定拋物線的焦點坐標和準線方程(2)求拋物線標準方程的常用方法是待定系數(shù)法,其關(guān)鍵是判斷焦點位置、開口方向,在方程的類型已經(jīng)確定的前提下,由于標準方程只有一個參數(shù)p,只需一個條件就可以確定拋物線的標準方程變式訓練2已知拋物線C的頂點在坐標原點O,其圖象關(guān)于y軸對稱且經(jīng)過點M(2,1)(1)求拋物線C的方程;(2)若一個等邊三角形的一個頂點位于坐標原點,另兩個頂點在拋物線上,求該等邊三角形的面積;(3)過點M作拋物線C的兩條弦MA,MB,設(shè)MA,MB所在直線的斜率分別為k1,k2,當k1k22時,試證明直線AB的斜率為定值,并求出該定值解(1)設(shè)拋物線C的方程為x22py(p>0),由點M(2,1)在拋物線C上,得42p,則p2,拋物線C的方程為x24y.(2)設(shè)該等邊三角形OPQ的頂點P,Q在拋物線上,且P(xP,yP),Q(xQ,yQ),則x4yP,x4yQ,由|OP|OQ|,得xyxy,即(yPyQ)(yPyQ4)0.又yP>0,yQ>0,則yPyQ,|xP|xQ|,即線段PQ關(guān)于y軸對稱POy30,yPxP,代入x4yP,得xP4,該等邊三角形邊長為8,SPOQ48.(3)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x4y1,x4y2,k1k2(x12x22)2.x1x212,kAB(x1x2)3.題型三直線和拋物線的位置關(guān)系例3已知拋物線C:ymx2(m>0),焦點為F,直線2xy20交拋物線C于A,B兩點,P是線段AB的中點,過P作x軸的垂線交拋物線C于點Q.(1)求拋物線C的焦點坐標;(2)若拋物線C上有一點R(xR,2)到焦點F的距離為3,求此時m的值;(3)是否存在實數(shù)m,使ABQ是以Q為直角頂點的直角三角形?若存在,求出m的值;若不存在,說明理由解(1)拋物線C:x2y,它的焦點F(0,)(2)|RF|yR,23,得m.(3)存在,聯(lián)立方程消去y得mx22x20,依題意,有(2)24m(2)>0m>.設(shè)A(x1,mx),B(x2,mx),則(*)P是線段AB的中點,P(,),即P(,yP),Q(,)得(x1,mx),(x2,mx),若存在實數(shù)m,使ABQ是以Q為直角頂點的直角三角形,則0,即(x1)(x2)(mx)(mx)0,結(jié)合(*)化簡得40,即2m23m20,m2或m,而2(,),(,)存在實數(shù)m2,使ABQ是以Q為直角頂點的直角三角形點評(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似,一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系;(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題,要注意直線是否過拋物線的焦點,若過拋物線的焦點,可直接使用公式|AB|x1x2p,若不過焦點,則必須用一般弦長公式(3)涉及拋物線的弦長、中點、距離等相關(guān)問題時,一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”“整體代入”等解法提醒:涉及弦的中點、斜率時一般用“點差法”求解變式訓練3(2015課標全國)在直角坐標系xOy中,曲線C:y與直線l:ykxa(a>0)交于M,N兩點,(1)當k0時,分別求C在點M和N處的切線方程;(2)y軸上是否存在點P,使得當k變動時,總有OPMOPN?說明理由解(1)由題設(shè)可得M(2,a),N(2,a),或M(2,a),N(2,a)又y,故y在x2處的導(dǎo)數(shù)值為,C在點(2,a)處的切線方程為ya(x2),即xya0.y在x2處的導(dǎo)數(shù)值為,C在點(2,a)處的切線方程為ya(x2),即xya0.故所求切線方程為xya0和xya0.(2)存在符合題意的點,證明如下:設(shè)P(0,b)為符合題意的點,M(x1,y1),N(x2,y2),直線PM,PN的斜率分別為k1,k2.將ykxa代入C的方程得x24kx4a0.故x1x24k,x1x24a.從而k1k2.當ba時,有k1k20,則直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補,故OPMOPN,所以點P(0,a)符合題意高考題型精練1如圖所示,過拋物線y22px(p>0)的焦點F的直線l交拋物線于點A、B,交其準線l于點C,若|BC|2|BF|,且|AF|3,則此拋物線的方程為()Ay29xBy26xCy23xDy2x答案C解析如圖,分別過點A,B作準線的垂線,分別交準線于點E,D,設(shè)|BF|a,則由已知得:|BC|2a,由定義得:|BD|a,故BCD30.在直角三角形ACE中,|AF|3,|AE|3,|AC|33a,2|AE|AC|,33a6,從而得a1,BDFG,求得p,因此拋物線方程為y23x,故選C.2已知拋物線關(guān)于x軸對稱,它的頂點在坐標原點O,并且經(jīng)過點M(2,y0)若點M到該拋物線焦點的距離為3,則|OM|等于()A2B2C4 D2答案B解析設(shè)拋物線方程為y22px,則點M(2,2)焦點,點M到該拋物線焦點的距離為3,24p9,解得p2(負值舍去),故M(2,2)|OM|2.3已知拋物線C:y2x的焦點為F,A(x0,y0)是C上一點,|AF|x0,則x0等于()A1 B2C4 D8答案A解析由題意知拋物線的準線為x.因為|AF|x0,根據(jù)拋物線的定義可得x0|AF|x0,解得x01.4已知拋物線C:y28x的焦點為F,點M(2,2),過點F且斜率為k的直線與C交于A,B兩點,若AMB90,則k等于()A.B.C.D2答案D解析拋物線C:y28x的焦點為F(2,0),由題意可知直線AB的斜率一定存在,所以設(shè)直線方程為yk(x2),代入拋物線方程可得k2x2(4k28)x4k20,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1x24,x1x24,所以y1y2,y1y216,因為AMB90,所以(x12,y12)(x22,y22)40,解得k2,故選D.5已知點A(2,3)在拋物線C:y22px的準線上,過點A的直線與C在第一象限相切于點B,記C的焦點為F,則直線BF的斜率為()A.B.C.D.答案D解析拋物線y22px的準線為直線x,而點A(2,3)在準線上,所以2,即p4,從而C:y28x,焦點為F(2,0)設(shè)切線方程為y3k(x2),代入y28x得y2y2k30(k0),由于14(2k3)0,所以k2或k.因為切點在第一象限,所以k.將k代入中,得y8,再代入y28x中得x8,所以點B的坐標為(8,8),所以直線BF的斜率為.6已知A(x1,y1)是拋物線y28x的一個動點,B(x2,y2)是圓(x2)2y216上的一個動點,定點N(2,0),若ABx軸,且x1<x2,則NAB的周長l的取值范圍是()A(6,10) B(10,12)C(8,12) D(8,10)答案C解析拋物線的準線l:x2,焦點F(2,0),由拋物線定義可得|AF|x12,圓(x2)2y216的圓心為(2,0),半徑為4,又定點N(2,0),NAB的周長即為FAB的周長|AF|AB|BF|x12(x2x1)46x2,由拋物線y28x及B(x2,y2)在圓(x2)2y216上,x2(2,6),6x2(8,12),故選C.7如圖,從點M(x0,4)發(fā)出的光線,沿平行于拋物線y28x的對稱軸方向射向此拋物線上的點P,經(jīng)拋物線反射后,穿過焦點射向拋物線上的點Q,再經(jīng)拋物線反射后射向直線l:xy100上的點N,經(jīng)直線反射后又回到點M,則x0_.答案6解析由題意得P(2,4),F(xiàn)(2,0)Q(2,4),因此N(6,4),因為QNPM,所以MNQN,即x06.8已知直線l過點(0,2),且與拋物線y24x交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,則_.答案解析由題意可得直線的斜率存在且不等于0,設(shè)直線l的方程為ykx2,代入拋物線y24x可得y2y0,y1y2,y1y2,.9已知拋物線y24x與經(jīng)過該拋物線焦點的直線l在第一象限的交點為A,A在y軸和準線上的投影分別為點B,C,2,則直線l的斜率為_答案2解析設(shè)A(x0,y0),則|AB|x0,|BC|1,由2,得x02,y02,又焦點F(1,0),所以直線l的斜率為k2.10已知雙曲線x21上存在兩點M,N關(guān)于直線yxm對稱,且MN的中點在拋物線y218x上,則實數(shù)m的值為_答案0或8解析因為點M,N關(guān)于直線yxm對稱,所以MN的垂直平分線為yxm,所以直線MN的斜率為1.設(shè)線段MN的中點為P(x0,x0m),直線MN的方程為yxb,則x0mx0b,所以b2x0m.由得2x22bxb230,所以xMxNb,所以x0,所以b,所以P(,m)因為MN的中點在拋物線y218x上,所以m2m,解得m0或m8.11如圖,已知兩條拋物線E1:y22p1x(p1>0)和E2:y22p2x(p2>0),過原點O的兩條直線l1和l2,l1與E1,E2分別交于A1,A2兩點,l2與E1,E2分別交于B1,B2兩點(1)證明:A1B1A2B2;(2)過O作直線l(異于l1,l2)與E1,E2分別交于C1,C2兩點記A1B1C1與A2B2C2的面積分別為S1與S2,求的值(1)證明設(shè)直線l1,l2的方程分別為yk1x,yk2x(k1,k20),由得A1,由得A2.同理可得B1,B2.所以2p1.(,)2p2(,)故,所以A1B1A2B2.(2)解由(1)知A1B1A2B2,同理可得B1C1B2C2,C1A1C2A2,所以A1B1C1A2B2C2.因此2.又由(1)中的知,故.12已知拋物線y22px(p>0)的焦點為F,A(x1,y1),B(x2,y2)是過F的直線與拋物線的兩個交點,求證:(1)y1y2p2,x1x2;(2)為定值;(3)以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切證明(1)由已知得拋物線焦點坐標為(,0)由題意可設(shè)直線方程為xmy,代入y22px,得y22p,即y22pmyp20.(*)則y1,y2是方程(*)的兩個實數(shù)根,所以y1y2p2.因為y2px1,y2px2,所以yy4p2x1x2,所以x1x2.(2).因為x1x2,x1x2|AB|p,代入上式,得(定值)(3)設(shè)AB的中點為M(x0,y0),分別過A,B作準線的垂線,垂足為C,D,過M作準線的垂線,垂足為N,則|MN|(|AC|BD|)(|AF|BF|)|AB|.所以以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切

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