高考數(shù)學(xué) 考前3個(gè)月知識(shí)方法專題訓(xùn)練 第一部分 知識(shí)方法篇 專題7 解析幾何 第27練 直線與圓 文
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第27練 直線與圓 [題型分析高考展望] 直線與圓是解析幾何的基礎(chǔ),在高考中,除對(duì)本部分知識(shí)單獨(dú)考查外,更多是在與圓錐曲線結(jié)合的綜合題中對(duì)相關(guān)知識(shí)進(jìn)行考查.單獨(dú)考查時(shí),一般為選擇題、填空題,難度不大,屬低中檔題.直線的方程,圓的方程的求法及位置關(guān)系的判斷與應(yīng)用是本部分的重點(diǎn). 體驗(yàn)高考 1.(2015廣東)平行于直線2x+y+1=0且與圓x2+y2=5相切的直線的方程是( ) A.2x+y+5=0或2x+y-5=0 B.2x+y+=0或2x+y-=0 C.2x-y+5=0或2x-y-5=0 D.2x-y+=0或2x-y-=0 答案 A 解析 設(shè)所求直線方程為2x+y+c=0, 依題意有=, 解得c=5, 所以所求直線方程為2x+y+5=0或2x+y-5=0, 故選A. 2.(2015課標(biāo)全國(guó)Ⅱ)過(guò)三點(diǎn)A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圓交y軸于M、N兩點(diǎn),則|MN|等于( ) A.2 B.8 C.4 D.10 答案 C 解析 由已知,得=(3,-1),=(-3,-9), 則=3(-3)+(-1)(-9)=0, 所以⊥,即AB⊥BC, 故過(guò)三點(diǎn)A,B,C的圓以AC為直徑, 得其方程為(x-1)2+(y+2)2=25, 令x=0得(y+2)2=24, 解得y1=-2-2,y2=-2+2, 所以|MN|=|y1-y2|=4,選C. 3.(2016課標(biāo)全國(guó)甲)圓x2+y2-2x-8y+13=0的圓心到直線ax+y-1=0的距離為1,則a等于( ) A.- B.- C. D.2 答案 A 解析 由圓的方程x2+y2-2x-8y+13=0得圓心坐標(biāo)為(1,4),由點(diǎn)到直線的距離公式得d==1,解之得a=-. 4.(2016上海)已知平行直線l1:2x+y-1=0,l2:2x+y+1=0,則l1,l2的距離為_(kāi)_______. 答案 解析 d==. 5.(2016課標(biāo)全國(guó)丙)已知直線l:mx+y+3m-=0與圓x2+y2=12交于A,B兩點(diǎn),過(guò)A,B分別做l的垂線與x軸交于C,D兩點(diǎn),若|AB|=2,則|CD|=________. 答案 4 解析 設(shè)AB的中點(diǎn)為M,由題意知, 圓的半徑R=2,|AB|=2, 所以|OM|=3,解得m=-, 由解得A(-3,),B(0,2), 則AC的直線方程為y-=-(x+3),BD的直線方程為y-2=-x, 令y=0,解得C(-2,0),D(2,0), 所以|CD|=4. 高考必會(huì)題型 題型一 直線方程的求法與應(yīng)用 例1 (1)若點(diǎn)P(1,1)為圓(x-3)2+y2=9的弦MN的中點(diǎn),則弦MN所在直線的方程為( ) A.2x+y-3=0 B.x-2y+1=0 C.x+2y-3=0 D.2x-y-1=0 (2)直線l過(guò)點(diǎn)(2,2),且點(diǎn)(5,1)到直線l的距離為,則直線l的方程是( ) A.3x+y+4=0 B.3x-y+4=0 C.3x-y-4=0 D.x-3y-4=0 答案 (1)D (2)C 解析 (1)由題意知圓心C(3,0),kCP=-. 由kCPkMN=-1,得kMN=2, 所以弦MN所在直線的方程是2x-y-1=0. (2)由已知,設(shè)直線l的方程為y-2=k(x-2),即kx-y+2-2k=0,所以=,解得k=3,所以直線l的方程為3x-y-4=0,故選C. 點(diǎn)評(píng) (1)兩條直線平行與垂直的判定 ①若兩條不重合的直線l1,l2的斜率k1,k2存在,則l1∥l2?k1=k2,l1⊥l2?k1k2=-1; ②判定兩直線平行與垂直的關(guān)系時(shí),如果給出的直線方程中存在字母系數(shù),不僅要考慮斜率存在的情況,還要考慮斜率不存在的情況. (2)求直線方程的常用方法 ①直接法:直接選用恰當(dāng)?shù)闹本€方程的形式,寫出結(jié)果; ②待定系數(shù)法:先由直線滿足的一個(gè)條件設(shè)出直線方程,使方程中含有一個(gè)待定系數(shù),再由題給的另一條件求出待定系數(shù). 變式訓(xùn)練1 已知直線l經(jīng)過(guò)直線3x+4y-2=0與直線2x+y+2=0的交點(diǎn)P,且垂直于直線x-2y-1=0. (1)求直線l的方程; (2)求直線l關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的直線方程. 解 (1)由解得 所以點(diǎn)P的坐標(biāo)是(-2,2),又因?yàn)橹本€x-2y-1=0, 即y=x-的斜率為k′=, 由直線l與x-2y-1=0垂直可得kl=-=-2, 故直線l的方程為:y-2=-2(x+2),即2x+y+2=0. (2)直線l的方程2x+y+2=0在x軸、y軸上的截距分別是-1與-2, 則直線l關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的直線在x軸、y軸上的截距分別是1與2, 所求直線方程為+=1, 即2x+y-2=0. 題型二 圓的方程 例2 (1)(2015湖北)如圖,已知圓C與x軸相切于點(diǎn)T(1,0),與y軸正半軸交于兩點(diǎn)A,B(B在A的上方),且|AB|=2. ①圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______________. ②圓C在點(diǎn)B處的切線在x軸上的截距為_(kāi)_______. 答案?、?x-1)2+(y-)2=2 ②--1 解析?、儆深}意,設(shè)圓心C(1,r)(r為圓C的半徑), 則r2=2+12=2,解得r=. 所以圓C的方程為(x-1)2+(y-)2=2. ②方法一 令x=0,得y=1,所以點(diǎn)B(0, +1).又點(diǎn)C(1, ),所以直線BC的斜率為kBC=-1,所以過(guò)點(diǎn)B的切線方程為y-(+1)=x-0,即y=x+(+1). 令y=0,得切線在x軸上的截距為--1. 方法二 令x=0,得y=1,所以點(diǎn)B(0,+1).又點(diǎn)C(1,),設(shè)過(guò)點(diǎn)B的切線方程為y-(+1)=kx,即kx-y+(+1)=0.由題意,得圓心C(1,)到直線kx-y+(+1)=0的距離d==r=,解得k=1.故切線方程為x-y+(+1)=0.令y=0,得切線在x軸上的截距為--1. (2)已知圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,-1),并且圓心在直線l1:y=-2x上,且該圓與直線l2:y=-x+1相切. ①求圓C的方程; ②求以圓C內(nèi)一點(diǎn)B為中點(diǎn)的弦所在直線l3的方程. 解?、僭O(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2, 則 解得 故圓C的方程為(x-1)2+(y+2)2=2. ②由①知圓心C的坐標(biāo)為(1,-2), 則kCB==-.設(shè)直線l3的斜率為k3,由k3kCB=-1,可得k3=2.故直線l3的方程為y+= 2(x-2),即4x-2y-13=0. 點(diǎn)評(píng) 求圓的方程的兩種方法 (1)幾何法:通過(guò)研究圓的性質(zhì)、直線和圓、圓與圓的位置關(guān)系,進(jìn)而求得圓的基本量和方程. (2)代數(shù)法:用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程,再由條件求得各系數(shù). 變式訓(xùn)練2 已知圓x2+y2=4上一定點(diǎn)A(2,0),B(1,1)為圓內(nèi)一點(diǎn),P,Q為圓上的動(dòng)點(diǎn). (1)求線段AP中點(diǎn)的軌跡方程; (2)若∠PBQ=90,求線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程. 解 (1)設(shè)AP的中點(diǎn)為M(x,y),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知,P點(diǎn)坐標(biāo)為(2x-2,2y). 因?yàn)镻點(diǎn)在圓x2+y2=4上, 所以(2x-2)2+(2y)2=4, 故線段AP中點(diǎn)的軌跡方程為(x-1)2+y2=1. (2)設(shè)PQ的中點(diǎn)為N(x,y),連接BN. 在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|. 設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),連接ON,則ON⊥PQ, 所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2, 所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4. 故線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程為x2+y2-x-y-1=0. 題型三 直線與圓的位置關(guān)系、弦長(zhǎng)問(wèn)題 例3 (1)(2015重慶)已知直線l:x+ay-1=0(a∈R)是圓C:x2+y2-4x-2y+1=0的對(duì)稱軸,過(guò)點(diǎn)A(-4,a)作圓C的一條切線,切點(diǎn)為B,則|AB|等于( ) A.2 B.4 C.6 D.2 答案 C 解析 根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求解. 由于直線x+ay-1=0是圓C:x2+y2-4x-2y+1=0的對(duì)稱軸, ∴圓心C(2,1)在直線x+ay-1=0上, ∴2+a-1=0,∴a=-1,∴A(-4,-1). ∴|AC|2=36+4=40.又r=2, ∴|AB|2=40-4=36. ∴|AB|=6. (2)已知圓C:x2+y2-2x+4y-4=0. ①寫出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程,并指出圓心坐標(biāo)和半徑大小; ②是否存在斜率為1的直線m,使m被圓C截得的弦為AB,且OA⊥OB(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).若存在,求出直線m的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 解 (1)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y+2)2=9, 則圓心C的坐標(biāo)為(1,-2),半徑為3. (2)假設(shè)存在這樣的直線m, 根據(jù)題意可設(shè)直線m:y=x+b. 聯(lián)立直線與圓的方程 得2x2+2(b+1)x+b2+4b-4=0, 因?yàn)橹本€與圓相交,所以Δ>0, 即b2+6b-9<0, 且滿足x1+x2=-b-1,x1x2=, 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 則y1=x1+b,y2=x2+b, 由OA⊥OB得=x1x2+y1y2=0, 所以x1x2+(x1+b)(x2+b)=2x1x2+b(x1+x2)+b2=0, 即b2+3b-4=0得b=-4或b=1, 且均滿足b2+6b-9<0, 故所求的直線m存在, 方程為y=x-4或y=x+1. 點(diǎn)評(píng) 研究直線與圓位置關(guān)系的方法 (1)研究直線與圓的位置關(guān)系的最基本的解題方法為代數(shù)法,將幾何問(wèn)題代數(shù)化,利用函數(shù)與方程思想解題. (2)與弦長(zhǎng)有關(guān)的問(wèn)題常用幾何法,即利用圓的半徑r,圓心到直線的距離d及半弦長(zhǎng),構(gòu)成直角三角形的三邊,利用其關(guān)系來(lái)處理. 變式訓(xùn)練3 已知以點(diǎn)C(t,)(t∈R,t≠0)為圓心的圓與x軸交于點(diǎn)O,A,與y軸交于點(diǎn)O,B,其中O為原點(diǎn). (1)求證:△OAB的面積為定值; (2)設(shè)直線y=-2x+4與圓C交于點(diǎn)M,N,若|OM|=|ON|,求圓C的方程. (1)證明 ∵圓C過(guò)原點(diǎn)O,且|OC|2=t2+. ∴圓C的方程是(x-t)2+(y-)2=t2+, 令x=0,得y1=0,y2=; 令y=0,得x1=0,x2=2t, ∴S△OAB=|OA||OB|=|||2t|=4, 即△OAB的面積為定值. (2)解 ∵|OM|=|ON|,|CM|=|CN|, ∴OC垂直平分線段MN. ∵kMN=-2,∴kOC=. ∴=t,解得t=2或t=-2. 當(dāng)t=2時(shí),圓心C的坐標(biāo)為(2,1),|OC|=, 此時(shí)C到直線y=-2x+4的距離d=<, 圓C與直線y=-2x+4相交于兩點(diǎn). 當(dāng)t=-2時(shí), 圓心C的坐標(biāo)為(-2,-1),|OC|=, 此時(shí)C到直線y=-2x+4的距離d=>. 圓C與直線y=-2x+4不相交, ∴t=-2不符合題意,舍去. ∴圓C的方程為(x-2)2+(y-1)2=5. 高考題型精練 1.已知x,y滿足x+2y-5=0,則(x-1)2+(y-1)2的最小值為( ) A. B. C. D. 答案 A 解析 (x-1)2+(y-1)2表示點(diǎn)P(x,y)到點(diǎn)Q(1,1)的距離的平方.由已知可得點(diǎn)P在直線l:x+2y-5=0上, 所以|PQ|的最小值為點(diǎn)Q到直線l的距離, 即d==, 所以(x-1)2+(y-1)2的最小值為d2=.故選A. 2.“m=3”是“直線l1:2(m+1)x+(m-3)y+7-5m=0與直線l2:(m-3)x+2y-5=0垂直”的( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 答案 A 解析 由l1⊥l2得2(m+1)(m-3)+2(m-3)=0, ∴m=3或m=-2.∴m=3是l1⊥l2的充分不必要條件. 3.若動(dòng)點(diǎn)A,B分別在直線l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移動(dòng),則AB的中點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離的最小值為( ) A.3 B.2 C.3 D.4 答案 A 解析 依題意知AB的中點(diǎn)M的集合是與直線l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0的距離都相等的直線, 則M到原點(diǎn)的距離的最小值為原點(diǎn)到該直線的距離, 設(shè)點(diǎn)M所在直線的方程為l:x+y+m=0, 根據(jù)平行線間的距離公式得=?|m+7|=|m+5|?m=-6,即l:x+y-6=0,根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式,得M到原點(diǎn)的距離的最小值為=3. 4.(2016山東)已知圓M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直線x+y=0所得線段的長(zhǎng)度是2,則圓M與圓N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置關(guān)系是( ) A.內(nèi)切 B.相交 C.外切 D.相離 答案 B 解析 ∵圓M:x2+(y-a)2=a2, ∴圓心坐標(biāo)為M(0,a),半徑r1=a, 圓心M到直線x+y=0的距離d=, 由幾何知識(shí)得2+()2=a2,解得a=2. ∴M(0,2),r1=2. 又圓N的圓心坐標(biāo)N(1,1),半徑r2=1, ∴|MN|==, r1+r2=3,r1-r2=1. ∴r1-r2<|MN|<r1+r2, ∴兩圓相交,故選B. 5.已知直線x+y-k=0(k>0)與圓x2+y2=4交于不同的兩點(diǎn)A,B,O是坐標(biāo)原點(diǎn),且有|+|≥||,那么k的取值范圍是( ) A.(,+∞) B.[,+∞) C.[,2) D.[,2) 答案 C 解析 當(dāng)|+|=||時(shí),O,A,B三點(diǎn)為等腰三角形的三個(gè)頂點(diǎn),其中|OA|=|OB|,∠AOB=120,從而圓心O到直線x+y-k=0(k>0)的距離為1,此時(shí)k=;當(dāng)k>時(shí),|+|>||,又直線與圓x2+y2=4存在兩交點(diǎn),故k<2,綜上,k的取值范圍是[,2),故選C. 6.(2015課標(biāo)全國(guó)Ⅱ)已知三點(diǎn)A(1,0),B(0,),C(2,),則△ABC外接圓的圓心到原點(diǎn)的距離為( ) A. B. C. D. 答案 B 解析 由點(diǎn)B(0,),C(2,),得線段BC的垂直平分線方程為x=1,① 由點(diǎn)A(1,0),B(0,),得線段AB的垂直平分線方程為 y-=,② 聯(lián)立①②,解得△ABC外接圓的圓心坐標(biāo)為, 其到原點(diǎn)的距離為=.故選B. 7.(2016山東)在[-1,1]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)k,則事件“直線y=kx與圓(x-5)2+y2=9相交”發(fā)生的概率為_(kāi)_______. 答案 解析 由已知得, 圓心(5,0)到直線y=kx的距離小于半徑, ∴<3,解得-- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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