2022年完整word版,三角函數(shù)知識點(diǎn)歸納

1 三角函數(shù)一、任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)1任意角(1)角的概念的推廣按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負(fù)角、零角正角:按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角任意角 負(fù)角:按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角零角:不作任何旋轉(zhuǎn)形成的角按終邊位置不同分為象限角和軸線角角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱為第幾象限角第一象限角的集合為36036090,kkkooo第二象限角的集合為36090360180,kkkoooo第三象限角的集合為360180360270,kkkoooo第四象限角的集合為360270360360,kkkoooo終邊在x軸上的角的集合為180,kko終邊在 y 軸上的角的集合為18090,kkoo終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合為90,kko(2)終邊與角相同的角可寫成 k 360(kZ)終邊與角相同的角的集合為360,kko(3)弧度制1 弧度的角：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1 弧度的角弧度與角度的換算：360 2弧度；180 弧度半徑為r的圓的圓心角所對弧的長為 l，則角的弧度數(shù)的絕對值是lr若扇形的圓心角為為弧度制，半徑為r，弧長為 l，周長為 C，面積為 S，則 lr，2Crl，21122Slrr 2 任意角的三角函數(shù)定義設(shè) 是一個任意角，角的終邊上任意一點(diǎn)P(x，y)，它與原點(diǎn)的距離為22r rxy，那么角 的正弦、余弦、正切分別是：sin yr，cos xr，tan yx（三角函數(shù)值在各象限的符號規(guī)律概括為：一全正、二正弦、三正切、四余弦）3特殊角的三角函數(shù)值精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 1 頁，共 8 頁2 角度函數(shù)0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 角 a的弧度0/6/4/3 /2 2/3 3/4 5/6 3/2 2sina 0 1/2 2/2 3/2 1 3/2 2/2 1/2 0-1 0 cosa 1 3/2 2/2 1/2 0-1/2-2/2-3/2-1 0 1 tana 0 3/3 1 3-3-1-3/3 0 0 二、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式A.基礎(chǔ)梳理1同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系：sin2 cos2 1；（在利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系時，若開方，要特別注意判斷符號）(2)商數(shù)關(guān)系：sin cos tan .（3）倒數(shù)關(guān)系：1cottan2誘導(dǎo)公式公式一：sin(2k)sin ，cos(2k)cos_，tan)2tan(k其中 kZ.公式二：sin()sin_，cos()cos_，tan()tan .公式三：sin()sin ，cos()cos_，tantan公式四：sin()sin_，cos()cos_，tantan.公式五：sin2cos_，cos2 sin .公式六：sin2cos_，cos2 sin_.誘導(dǎo)公式可概括為k2 的各三角函數(shù)值的化簡公式口訣：奇變偶不變，符號看象限其中的奇、偶是指2的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變是指函數(shù)名稱的變化若是奇數(shù)倍，則函數(shù)名稱要變(正弦變余弦，余弦變正弦)；若是偶數(shù)倍，則函數(shù)名稱不變，符號看象限是指：把看成銳角時，根據(jù)k2 在哪個象限判斷原三角函數(shù)值的符號，最后作為結(jié)果符號B.方法與要點(diǎn)一個口訣1、誘導(dǎo)公式的記憶口訣為：奇變偶不變，符號看象限2、四種方法在求值與化簡時，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan sin cos 化成正、余弦(2)和積轉(zhuǎn)換法：利用(sin cos )21 2sin cos 的關(guān)系進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化（cossin、cossin、cossin三個式子知一可求二）精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 2 頁，共 8 頁3(3)巧用“1”的變換：1sin2 cos2=sin2tan4（4）齊次式化切法：已知ktan，則nmkbaknmbanmbatantancossincossin三、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)：1 會求三角函數(shù)的定義域、值域2 會求三角函數(shù)的周期：定義法，公式法，圖像法（如xysin與xycos的周期是）。3 會判斷三角函數(shù)奇偶性4 會求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間5 知道三角函數(shù)圖像的對稱中心，對稱軸6 知道sin()yAx，cos()yAx，tan()yAx的簡單性質(zhì)（一）知識要點(diǎn)梳理1、正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象：正弦函數(shù)sinyx和余弦函數(shù)cosyx圖象的作圖方法：五點(diǎn)法：先取橫坐標(biāo)分別為 0，3,222的五點(diǎn)，再用光滑的曲線把這五點(diǎn)連接起來，就得到正弦曲線和余弦曲線在一個周期內(nèi)的圖象。1-1y=sinx-32-52-727252322-2-4-3-2432-oyx1-1y=cosx-32-52-727252322-2-4-3-2432-oyx2、正弦函數(shù)sin()yx xR、余弦函數(shù)cos()yx xR的性質(zhì)：（1）定義域：都是 R。（2）值域：都是1,1，對sinyx，當(dāng)22xkkZ時，y取最大值 1；當(dāng)322xkkZ時，y取最小值 1；對cosyx，當(dāng)2xkkZ時，y取最大值1，當(dāng)2xkkZ時，y取最小值 1。（3）周期性：sinyx，cosyx的最小正周期都是2；（4）奇偶性與對稱性：正弦函數(shù)sin()yx xR是奇函數(shù)，對稱中心是,0kkZ，對稱軸是直線2xkkZ；余弦函數(shù)cos()yx xR是偶函數(shù)，對稱中心是,02kkZ，對稱軸是直線xkkZ；（正(余)弦型函數(shù)的對稱軸為過最高點(diǎn)或最低點(diǎn)且垂直于x軸的直線，對稱中心為圖象與x軸的交點(diǎn)）。（5）單調(diào)性：精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 3 頁，共 8 頁4 sin2,222yxkkkZ在上單調(diào)遞增，在32,222kkkZ單調(diào)遞減；cosyx在2,2kkkZ上單調(diào)遞增,在2,2kkkZ上單調(diào)遞減。特別提醒，別忘了kZ！3、正切函數(shù)tanyx的圖象和性質(zhì)：（1）定義域：|,2x xkkZ。（2）值域是R，無最大值也無最小值；（3）奇偶性與對稱性：是奇函數(shù)，對稱中心是,02kkZ，特別提醒：正(余)切型函數(shù)的對稱中心有兩類：一類是圖象與x軸的交點(diǎn)，另一類是漸近線與x軸的交點(diǎn)，但無對稱軸，這是與正弦、余弦函數(shù)的不同之處。（4）單調(diào)性：正切函數(shù)在開區(qū)間,22kkkZ內(nèi)都是增函數(shù)。但要注意在整個定義域上不具有單調(diào)性。4、正弦、余弦、正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)sinyxcosyxtanyx圖象定義域RR,2x xkk值域1,11,1R最值當(dāng)22xkk時，max1y；當(dāng)22xkk時，min1y當(dāng)2xkk時，max1y；當(dāng)2xkk時，min1y既無最大值也無最小值周期性22奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在2,222kkk上是增函數(shù)；在32,222kkk上是減函數(shù)在 2,2kkk上 是增函數(shù)；在2,2kkk上是減函數(shù)在,22kkk上是增函數(shù)函數(shù)性質(zhì)精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 4 頁，共 8 頁5 對稱性對稱中心,0kk對稱軸2xkk對稱中心,02kk對稱軸 xkk對稱中心,02kk無對稱軸5、研究函數(shù)sin()yAx性質(zhì)的方法：類比于研究sinyx的性質(zhì)，只需將sin()yAx中的x看成sinyx中的x。函數(shù) y Asin（x）（A0，0）的性質(zhì)。（1）定義域：R（2）值域：-A,A（3）周期性：2|T()sin()f xAx和()cos()f xAx的最小正周期都是2|T。()tan()f xAx的最小正周期都是|T。（4）單調(diào)性：函數(shù)yAsin（x）（A 0，0）的單調(diào)增區(qū)間可由2k2x2k2，kz 解得；單調(diào)減區(qū)間可由2k2x2k32，kz 解得。在求sin()yAx的單調(diào)區(qū)間時，要特別注意A和的符號，通過誘導(dǎo)公式先將化正。如函數(shù)23ysin(x)的遞減區(qū)間是 _（答：解 析：y=，所 以 求y的 遞 減 區(qū) 間 即 是 求的遞增區(qū)間，由得，所以 y 的遞減區(qū)間是四、函數(shù)sinyAx的圖像和三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用一、知識要點(diǎn)1、幾個物理量：振幅：；周期：2；頻率：12f；相位：x；初相：2、函數(shù)sin()yAx表達(dá)式的確定：A 由最值確定；由周期確定；由圖象上的特殊點(diǎn)確定.函 數(shù)sinyx，當(dāng)1xx時，取 得 最 小 值 為miny；當(dāng)2xx時，取 得 最 大 值 為maxy，則maxmin12yy，maxmin12yy，21122xxxx3、函數(shù)sin()yAx圖象的畫法：“五點(diǎn)法”設(shè)Xx，令X0，3,222求出相應(yīng)的x值，精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 5 頁，共 8 頁6 y=sinxy=sinx橫坐標(biāo)伸（縮）1倍左（右）平移縱坐標(biāo)伸（縮）A 倍sinyxsinyxxAysiny=sinx 左（右）平移縱坐標(biāo)伸（縮）A 倍橫坐標(biāo)伸（縮）1倍左（右）平移xAysinxAysin橫坐標(biāo)伸（縮）倍橫坐標(biāo)伸（縮）1倍sinyAx縱坐標(biāo)伸（縮）A 倍橫坐標(biāo)伸(縮)1倍xysinxAysinxysinsiny Ax縱坐標(biāo)伸（縮）A 倍左（右）平移左（右）平移縱坐標(biāo)伸（縮）A 倍計(jì)算得出五點(diǎn)的坐標(biāo)，描點(diǎn)后得出圖象；圖象變換法：這是作函數(shù)簡圖常用方法。4、函數(shù) y sinx 的圖象經(jīng)變換可得到sinyAx0的圖象5、函數(shù)sin()yAxb的圖象與sinyx圖象間的關(guān)系：函數(shù)sinyx的圖象向左（0）或向右（0）平移|個單位得sinyx的圖象；函數(shù)sinyx圖象的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，得到函數(shù)sinyx的圖象；函數(shù)sinyx圖象的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍，得到函數(shù)sin()yAx的圖象；函數(shù)sin()yAx圖象向上（0b）或向下（0b）平移|b個單位，得到sinyAxb的圖象。要特別注意，若由sinyx得到sinyx的圖象，則向左或向右平移應(yīng)平移|個單位，如要得到函數(shù)ysin(2x3)的圖象，只需將函數(shù)ysin2x 的圖象()(A)向左平移3個單位(B)向右平移3個單位(C)向左平移6個單位(D)向右平移6個單位6、函數(shù) y Acos（x）和 y=Atan（x）的性質(zhì)和圖象的變換與yAsin（x）類似。三角恒等變換1、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式：coscoscossinsin；coscos cossinsin；sinsincoscos sin；sinsincoscos sin；tantantan1tantan（tantantan1 tantan）；精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 6 頁，共 8 頁7 tantantan1tantan（tantantan1 tantan）如oooo40tan20tan340tan20tan；（答案：3）2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：sin22sincos222)cos(sincossin2cossin2sin1如 cos2512cos212cos512cos12的值等于；（答案：54）2222cos2cossin2cos112sin升冪公式221cos22cos,1cos22sin降冪公式21cos2cos2，21cos2sin222 tantan 21tan3、二弦歸一把兩個三角函數(shù)的和或差化為一個三角函數(shù)：22sincossinabab，其中tanba4、三角變換時運(yùn)算化簡的過程中運(yùn)用較多的變換，靈活運(yùn)用三角公式，掌握運(yùn)算化簡的方法常用的方法技巧如下：（1）角的變換：在三角化簡，求值，證明中，表達(dá)式中往往出現(xiàn)較多的異角，可根據(jù)角與角之間的和差，倍半，互補(bǔ)，互余的關(guān)系，尋找條件與結(jié)論中角的關(guān)系，運(yùn)用角的變換，使問題獲解，對角的變形如：2是的二倍；4是2的二倍；是2的二倍；2是4的二倍；1545306045ooooo；問：12sin；12cos；)(；)4(24；)4()4()()(2；等等.如121tan,tan,tan5444則.（答案：322）2 若 cos()45，cos()45，且2 ，32 2，則 cos2 _，cos2 _.（答案：725，1）3 已知sincos21,tan,1cos23則tan2；（答案：18）（2）函數(shù)名稱變換：三角變形中，常常需要變函數(shù)名稱為同名函數(shù)。如在三角函數(shù)中正余弦是基礎(chǔ)，通?；袨橄遥儺惷麨橥ǘ覛w一）。如)10tan31(50sinoo；132cos10sin102sin 301022cos103 sin102sin 40 cos40sin80=sin50sin50sin501cos10cos10cos10cos10cos10cos10oooooooooooooooooo解析：原式（3）常數(shù)代換：在三角函數(shù)運(yùn)算，求值，證明中，有時需要將常數(shù)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值，例如常數(shù)“1”的代換變形有：221sincossin90tan45oo（4）冪的變換：降冪是三角變換時常用方法，對次數(shù)較高的三角函數(shù)式，一般采用降冪處理的方法。常用降冪公式精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 7 頁，共 8 頁8 有：；。有 時 需 要 升 冪，常 用 升 冪 公 式有：；.如對無理式cos1常用升冪化為有理式.（5）公式變形：三角公式是變換的依據(jù)，應(yīng)熟練掌握三角公式的順用，逆用及變形應(yīng)用。如：coscossinsin=_；sincoscossin=_；_tantan；_tantan1；_tantan；_tantan1；sincos_；2sincos22_；2222cossin_2cos1_ 2sin1_；cos1；cos1；tan2；2tan1；sincosab；（其中tan；）（6）三角函數(shù)式的化簡運(yùn)算基本規(guī)則：復(fù)角化單角，異角化同角，見切化弦，二弦歸一，高次化低次，特殊值與特殊角的三角函數(shù)互化。精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 8 頁，共 8 頁