中考數學 幾何復習 第七章 圓 第36課時 畫正多邊形（一）教案

第七章：圓第36課時：畫正多邊形(一) 教學目標：1、使學生了解用量角器等分圓心角來等分圓，從而可以作出圓內接或圓外切正多邊形2、使學生會用尺規(guī)作圓內接正方形和正六邊形，在這個基礎上能作圓內接正八邊形、正三角形、正十二邊形3、通過畫圖培養(yǎng)學生的畫圖能力；4、通過畫正方形到會畫正八邊形，通過畫六邊形到畫三角形、正十二邊形，培養(yǎng)學生觀察、抽象、遷移能力5、通過畫圖中需減小積累誤差的思考與操作，培養(yǎng)學生解決實際問題的能力教學重點： (1)用量角器等分圓心角來等分圓，然后作出圓內接或圓外切正多邊形；(2)用尺規(guī)作圓內接正方形和正六邊形教學難點：準確作圖教學過程：一、新課引入：前幾課我們學習了正多邊形的定義、概念、性質、判定，尤其學習了正多邊形與圓關系的兩個定理，而后我們又學習了正多邊形的有關計算，本堂課我們一起學習畫正多邊形二、新課講解：由于正多邊形在生產、生活實際中有廣泛的應用性，所以會畫正多邊形應是學生必備能力之一，前面已學習了正多邊形和圓的關系的第一個定理，即把圓分成n(n3)等份，依次連結各分點所得的多邊形是這個圓的內接正n邊形；過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形，所以想到只要知道外接圓半徑R或內切圓半徑rn，畫出圓來，然后n等分圓周就能畫出所需的正n邊形n等分圓周的方法有兩種，一種是量角器法，這一種方法簡單易學，它是一種常用的方法其根據是因為相等的圓心角所對弧相等，所以使用量角器等分圓心角，可以達到把圓任意等分的目的，由于學生已具備使用量角器的能力，所以只要講明根據，讓學生動手操作即可另一種方法是用尺規(guī)等分圓周法，其實質也是等分圓心角，但尺規(guī)不能任意等分圓，只適用于一些特殊情況，其中重點是正方形和正六邊形的作法，這是因為正八邊形、正三角形、正十二邊形都是由此作基礎而畫出來的由于尺規(guī)作圖在理論上準確，但在實際操作中有誤差積累，如何減少誤差使圖形趨于準確？這是一個鍛煉學生解決問題的好時機，應讓學生親手實驗、觀察對比，從而得出結論(三)重點、難點的學習與目標完成過程復習提問：1哪位同學記得正多邊形與圓關系的第一個定理？(安排中下生回答)2哪位同學記得在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧有什么性質？(安排中下生回答：相等的圓心角所對的弧相等)現在我們要畫半徑為R的正n邊形，從正多邊形與圓關系的第一個定理中，你有什么啟發(fā)？(安排學生相互討論后，讓中等生回答：只要把半徑為R的圓n等分，依次連結n個等分點就得正n邊形)那么怎樣把半徑為R的圓n等分呢？從剛才復習的第二問題中，你又受到什么啟發(fā)？大家相互間討論(安排中等生回答：把360的圓心角n等分)如果要作半徑2cm的正九邊形，你打算如何作呢？大家互相討論看看(安排中等生回答：先畫半徑2cm的圓，然后把360的圓心角9等份，每一份40)，用什么工具可得到40角呢？(安排中下生回答：量角器)我們本堂課所講畫正多邊形的第一種方法就是用量角器等分圓，大家用量角器畫出半徑為2的內接正九邊形學生在畫圖實踐中必然出現兩種情況：其一是依次畫出相等的圓心角來等分圓，這種方法比較準確，但是麻煩；其二是先用量角器畫一個40的圓心角，然后在圓上依次截取40圓心角所對弧的等弧，于是得到圓的9等分點，這種方法比較方便，但畫圖的誤差積累到最后一個等分點，使畫出的正九邊形的邊長誤差較大對此學生必然迷惑不解，在此教師應肯定作法理論上的正確性，然后講出圖形不夠準確的原因是由于誤差積累的結果，然后引導學生討論，研究減小誤差積累的二個途徑：其一，調整圓規(guī)兩腳間的距離，使之盡可能準確的等于所畫正九邊形的邊長其二，若有可能，盡可能減少操作次數，減少產生誤差的機會大家想想如何畫一個半徑為2cm的正方形呢？(安排中下生回答：先畫半徑2cm的圓，用量角器作90的圓心角)畫出AOB=90后，方法1，可依次作90圓心角；方法2，用圓規(guī)依次截取等于AB的弧，大家觀察有沒有更好的方法？(安排中等生回答：將AO與BO邊延長交O于C、D)正方形一邊所對的圓心角是90角，不用量角器用尺規(guī)能不能做出90的圓心角呢？用尺規(guī)如何作半徑為2cm的正方形？(安排中上等生回答，先作半徑2cm的圓，然后畫兩條互相垂直的直徑) 請同學們用尺規(guī)畫出半徑為2cm的正方形大家想想看，借助這個圖形，能否作出O的內接正八邊形？同學們互相研究研究，(安排中上生回答：能，過圓心O作正方形各邊的垂線與圓相交即得O的八等分點)為什么？根據什么定理？(安排中上等生回答：垂徑定理)還有什么方法？(安排中上等生作各直角的角平分線)請同學們用此二法在圖上畫出正八邊形照此方法，同學們想想看，你還能畫出邊數為幾的正多邊形？(安排中下生回答：16邊形等)綜上所述及同學們的畫圖實踐可知：只要作出已知O的互相垂直的直徑即得圓內接正方形，再過圓心作各邊的垂線與O相交，或作各中心角的角平分線與O相交，即得圓接正八邊形，照此方法依次可作正十六邊形、正三十二邊形、正六十四邊形大家再思考一個問題：如何畫半徑為2cm的正六邊形呢？你都有哪些方法？大家討論方法1畫半徑2cm的O，然后用量角器畫60的圓心角，依次畫下去即六等分圓周方法2畫半徑2cm的O，然后用量角器畫出60的圓心角，如果有同學想到方法3更好，若無則提示學生：前面在研究正多邊形的有關計算時，得到正六邊形的半徑與邊長有一種什么樣的數量關系？(安排中下生回答：相等)那么哪位同學可不用量角器，僅用尺規(guī)作出半徑2cm的圓內接正六邊形？(安排一名中等生到黑板畫圖，其余在下面畫圖)在學生畫圖完畢后展示兩種不同的畫法：其一，在O上依次截取AB=BC=CD=DE=EF，由于誤差積累ABFA，其二，首先畫出O的直徑AD，然后分別以A、D為圓心，2cm長為半徑畫弧交O于B、F、C、E畫出圖形比較準確請同學們用第二種方法畫半徑3cm的圓內接正六邊形(安排學生在練習本上畫)如果我們沿用由正方形畫正八邊形的思路同學們想想看，會畫正六邊形就應會畫正多少邊形？(安排中下生回答：正十二邊形，正二十四邊形)理論上我們可以一直畫下去，但大家不難發(fā)現，隨著邊數的增加，正多邊形越來越接近于圓，正多邊形將越來越難畫大家再觀察，會畫正六邊形，除上述正多邊形外，還可得到正幾邊形？(安排中等生回答：正三角形)畫半徑為2cm的正三角形，尺規(guī)作圖時必得先畫出正六邊形嗎？哪位同學有好方法？(安排舉手同學回答：畫出O直徑AB，以A為圓心，2cm為半徑畫弧交O于C、D，連結B、D、C即可)請同學們按此法畫半徑為2cm的正三角形請同學們思考一下如何用尺規(guī)畫半徑為2cm的正十二邊形？在學生充分討論研究的多種方案中送出：先作互相垂直的直徑，然后分別以直徑的四個端點為圓心2cm長為半徑畫弧，交O的各點即得O的12等分點引導學生觀察DOE=DOB-EOBDOB=90，EOB=60DOE=30 DE是O內接正12邊形一邊三、課堂小結：這堂課你學了哪些知識？(安排中等生回答：1用量角器等分圓周作正n邊形；2用尺規(guī)作正方形及由此擴展作正八邊形、用尺規(guī)作正六邊形及由此擴展作正12邊形、正三角形)四、布置作業(yè)教材P.168中練習1、2；P.173中13