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中考數(shù)學(xué) 知識(shí)點(diǎn)聚焦 第十七章 圖形的全等與相似

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中考數(shù)學(xué) 知識(shí)點(diǎn)聚焦 第十七章 圖形的全等與相似

專(zhuān)題七圖形與證明第十七章圖形的全等與相似考情分析高頻考點(diǎn)考查頻率所占分值1.命題69分2.全等三角形的判定和性質(zhì)3.角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理及逆定理4.線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)定理及逆定理5.等腰三角形中“三線(xiàn)合一”及“等邊對(duì)等角”6.等邊三角形的性質(zhì)7.平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例8.相似三角形的判定和性質(zhì)知能圖譜第38講命題與證明知識(shí)能力解讀知能解讀(一)命題的概念及組成(1)命題:判斷一件事情的語(yǔ)句叫作命題。(2)命題的組成:命題由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成。題設(shè)是已知事項(xiàng),結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)。命題常寫(xiě)成“如果那么”的形式,“如果”后面的部分是題設(shè),“那么”后面的部分是結(jié)論。注意(1)命題必須是一個(gè)完整的句子,是對(duì)某一件事情作出正確或不正確的判斷。(2)如果命題的題設(shè)和結(jié)論不那么明確,我們可以先把它改寫(xiě)成“如果那么”的形式,再找題設(shè)和結(jié)論。知能解讀(二)真命題與假命題1真命題如果題設(shè)成立,那么結(jié)論一定成立,這樣的命題叫作真命題。2假命題題設(shè)成立時(shí),不能保證結(jié)論一定成立,這樣的命題叫作假命題。注意要判斷一個(gè)命題是假命題,只需舉一個(gè)反例,即舉一個(gè)例子具備命題的題設(shè),而不具備命題的結(jié)論即可。知能解讀(三)基本事實(shí)與定理1基本事實(shí)如果個(gè)命題的正確性是人們?cè)陂L(zhǎng)期實(shí)踐中總結(jié)出來(lái)的,并把它作為判斷其他命題真假的原始依據(jù),這樣的真命題叫基本事實(shí)。例如:“經(jīng)過(guò)兩點(diǎn),有且只有一條直線(xiàn)”“兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短”等。2定理命題的正確性是經(jīng)過(guò)推理證實(shí)的,這樣得到的真命題叫作定理。定理可以作為繼續(xù)推理的依據(jù)。知能解讀(四)定義、基本事實(shí)、定理、命題之間的區(qū)別和聯(lián)系(1)聯(lián)系:這四者都是命題。(2)區(qū)別:定義、基本事實(shí)、定理都是真命題,都可以作為進(jìn)一步判斷其他命題真假的依據(jù),只不過(guò)基本事實(shí)是最原始的依據(jù),而命題不一定是真命題,因而它不能作為進(jìn)一步判斷其他命題真假的依據(jù)。知能解讀(五)互逆命題與互逆定理(1)互逆命題:在兩個(gè)命題中,如果第一個(gè)命題的題設(shè)是第二個(gè)命題的結(jié)論,而第一個(gè)命題的結(jié)論又是第二個(gè)命題的題設(shè),那么這兩個(gè)命題叫互逆命題。如果把其中一個(gè)命題叫原命題,那么另一個(gè)命題就叫它的逆命題。(2)互逆定理:如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過(guò)證明是正確的,那么它也是一個(gè)定理,稱(chēng)這兩個(gè)定理互為逆定理,其中個(gè)定理叫作另個(gè)定理的逆定理。注意每個(gè)命題都有逆命題,但每個(gè)定理不一定都有逆定理,只有當(dāng)定理的逆命題也是真命題時(shí),這個(gè)定理才有逆定理。知能解讀(六)證明的含義及證明的一般步驟(1)定義:在很多情況下,一個(gè)命題的正確性需要經(jīng)過(guò)推理,才能作出判斷,這個(gè)推理過(guò)程叫作證明。(2)證明的一般步驟:仔細(xì)讀題,領(lǐng)會(huì)題意,分清命題的題設(shè)和結(jié)論;根據(jù)題意,畫(huà)出正確的圖形,并在圖上標(biāo)注字母和符號(hào);根據(jù)題設(shè)、結(jié)論,結(jié)合圖形,用符號(hào)語(yǔ)言寫(xiě)出“已知”“求證”;縫過(guò)分析,探求解題的途徑,書(shū)寫(xiě)出推理過(guò)程,并注明依據(jù)。知能解讀(七)幾種證明題的思維方法(拓展)1直接證法(1)綜合法:從已知條件入手,運(yùn)用已學(xué)過(guò)的基本事實(shí)、定義、定理等進(jìn)行一步步的推理,一直推到結(jié)論為止,這種思維方法叫綜合法。它是從已知到可知,從可知到未知的思維過(guò)程。(2)分析法:所謂分析法,就是從問(wèn)題的結(jié)論入手,運(yùn)用已學(xué)過(guò)的基本事實(shí)、定義和定理,一步步尋找使結(jié)論成立的條件,一直“追”到這個(gè)結(jié)論成立的條件就是已知條件為止??梢?jiàn)分析法是執(zhí)果索因的思維過(guò)程,它與綜合法的思維方向相反。(3)分析綜合法:把分析法和綜合法“聯(lián)合”起來(lái),從問(wèn)題的兩頭向中間“靠攏”,從而發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的突破口,這種思維方法叫分析綜合法。對(duì)于比較復(fù)雜的題目,往往采用這種思維方法。2間接證法(1)反證法:先假設(shè)命題的結(jié)論不成立,經(jīng)過(guò)推理得出矛盾,由矛盾斷定所作假設(shè)不正確,從而得到原命題成立,這種方法叫作反證法。用反證法證明的一般步驟:假設(shè)命題的結(jié)論不成立;由假設(shè)推導(dǎo)出矛盾(與基本事實(shí)、定理、定義、已知條件等矛盾);由矛盾判定所作假設(shè)不成立,從而肯定原命題的結(jié)論成立。(2)反例法:判斷一個(gè)命題是假命題,只要舉出一個(gè)例子(反例),它符合命題的題設(shè),但不滿(mǎn)足結(jié)論就可以了。方法技巧歸納方法技巧(一)命題的識(shí)別法判斷語(yǔ)句是否為命題要抓住兩條:(1)命題必須是一個(gè)完整的帶有判斷性語(yǔ)氣的句子,通常是陳述句(包括肯定句和否定句),而疑問(wèn)句和命令性語(yǔ)句都不是命題;(2)命題必須對(duì)某件事作出肯定或者否定的判斷。注意只有對(duì)一件事情作出肯定或否定判斷的語(yǔ)句,才是命題。如果一個(gè)句子既沒(méi)有肯定什么,也沒(méi)有否定什么,那么它一定不是命題。方法技巧(二)命題的題設(shè)與結(jié)論的識(shí)別法如果是用“如果那么”的形式表示的命題,那么以“如果”開(kāi)始的部分是題設(shè),以“那么”開(kāi)始的部分是結(jié)論;如果不是用“如果那么”的形式表示的命題,那么一般先將其改寫(xiě)成“如果那么”的形式,再找題設(shè)和結(jié)論。點(diǎn)撥準(zhǔn)確地把命題改寫(xiě)為“如果那么”的形式,對(duì)找命題的題設(shè)與結(jié)論有很大幫助。方法技巧(三)識(shí)別真、假命題的方法首先應(yīng)掌握一些公式、性質(zhì)、判定等,這些都是真命題,另外有些命題要通過(guò)分析判斷真假。要證明一個(gè)命題是假命題,只要舉出一個(gè)反例即可。點(diǎn)撥舉反例是說(shuō)明命題是假命題的重要方法。方法技巧(四)找一個(gè)命題的逆命題的方法首先找出原命題的題設(shè)與結(jié)論,然后把題設(shè)與結(jié)論互換就可以找到其逆命題。點(diǎn)撥一個(gè)命題一定有逆命題,但當(dāng)原命題是真命題時(shí),其逆命題不一定是真命題。方法技巧(五)用反證法證明命題的方法反證法一般從結(jié)論的反面出發(fā),先假設(shè)命題的結(jié)論不成立,經(jīng)過(guò)推理得出矛盾,從而肯定原結(jié)論正確。易混易錯(cuò)辨析易混易錯(cuò)知識(shí)1.逆命題與逆定理。區(qū)別:所有的命題都有逆命題,當(dāng)然真命題也不例外,但由于真命題的逆命題不一定是真命題,因此不是所有的定理都有逆定理。2.反證法與舉反例。區(qū)別:反證法是從結(jié)論的反面證明命題正確的方法,而舉反例是說(shuō)明命題為假命題的方法。易混易錯(cuò)(一)命題的題設(shè)與結(jié)論區(qū)分不準(zhǔn)確致錯(cuò)易混易錯(cuò)(二)用反證法證題時(shí),結(jié)論反面找錯(cuò)中考試題研究中考命題規(guī)律證明題是中考中必不可少的部分,占分較多,涉及直線(xiàn)、三角形、四邊形、圓等各章知識(shí),題型有說(shuō)理題、探究開(kāi)放題等,對(duì)于命題、概念的考查主要以填空題、選擇題為主。中考試題(一)反證法的應(yīng)用中考試題(二)真、假命題的判斷第39講全等三角形知能解讀(一)全等形能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫作全等形。知能解讀(二)全等三角形1全等三角形的概念及表示方法(1)概念:能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫作全等三角形。把兩個(gè)全等的三角形重合到一起,重合的頂點(diǎn)叫作對(duì)應(yīng)頂點(diǎn),重合的邊叫作對(duì)應(yīng)邊,重合的角叫作對(duì)應(yīng)角。(2)全等三角形的符號(hào)表示、讀法:與全等,記作,“”讀作“全等于”。注意(1)記兩個(gè)三角形全等時(shí),通常把對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫(xiě)在對(duì)應(yīng)的位置上。(2)找全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角的幾種常用方法:全等三角形對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊,兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊。全等三角形對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角,兩條對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角。有公共邊的,公共邊是對(duì)應(yīng)邊。有公共角的,公共角是對(duì)應(yīng)角。有對(duì)頂角的,對(duì)頂角是對(duì)應(yīng)角。兩個(gè)全等三角形中一對(duì)最長(zhǎng)邊(或最大角)是對(duì)應(yīng)邊(或?qū)?yīng)角),一對(duì)最短邊(或最小角)是對(duì)應(yīng)邊(或?qū)?yīng)角)。由全等三角形的表示方法確定對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角,如:若,則AB和DE,AC和DF,BC和EF分別是對(duì)應(yīng)邊;和,和,和分別是對(duì)應(yīng)角。2全等三角形的性質(zhì)(1)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等,對(duì)應(yīng)角相等。(2)全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高、中線(xiàn)以及對(duì)應(yīng)角的平分線(xiàn)相等。(3)全等三角形的周長(zhǎng)相等,面積相等。3三角形全等的判定方法(1)三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等,簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊邊邊”或“SSS"(基本事實(shí));(2)兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等,簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊角邊”或“SAS(基本事實(shí));(3)兩角和它們的夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等,簡(jiǎn)寫(xiě)成“角邊角”或“ASA(基本事實(shí));(4)兩角和其中一角的對(duì)邊分別相等的兩個(gè)三角形全等,簡(jiǎn)寫(xiě)成“角角邊”或“AAS";(5)斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等,簡(jiǎn)寫(xiě)成“斜邊、直角邊”或“HL”。注意“SSA”“AAA不能判定兩個(gè)三角形全等,判定兩個(gè)三角形全等時(shí),必須有邊的參與。非直角三角形中,如果有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí),角必須是兩邊的夾角。4三角形全等的證題思路(1)(2)(3)5全等變換(拓展)一個(gè)圖形與另一個(gè)圖形的形狀一樣,大小相等,只是位置不同,我們稱(chēng)這個(gè)圖形是另一個(gè)圖形的全等變換。三種基本全等變換:(1)旋轉(zhuǎn);(2)翻轉(zhuǎn);(3)平移。知能解讀(三)角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理及逆定理(1)性質(zhì)定理:角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。注意(1)定理作用:證明線(xiàn)段相等;為證明三角形全等準(zhǔn)備條件。(2)如圖所示,點(diǎn)P在的平分線(xiàn)上,于點(diǎn)D,于點(diǎn)E,則。(3)性質(zhì)定理中的“距離”是指點(diǎn)到射線(xiàn)的距離,是垂線(xiàn)段的長(zhǎng)度。(2)性質(zhì)定理的逆定理:角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線(xiàn)上。注意如圖1-39-1所示,根據(jù)“HL”得,是的平分線(xiàn)。(3)三角形的三個(gè)內(nèi)角的平分線(xiàn)交于一點(diǎn),此點(diǎn)到三角形三邊的距離相。方法技巧歸納方法技巧(一)利用全等三角形的性質(zhì)求線(xiàn)段長(zhǎng)或角的度數(shù)的方法解答這類(lèi)問(wèn)題時(shí),一般先根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊(或角)相等,找出相等的邊(或角),然后利用邊(或角)的和差關(guān)系以及三角形內(nèi)角和定理等求出所求的邊(或角)。方法技巧(二)三角形全等的判定、性質(zhì)與角平分線(xiàn)判定定理的綜合應(yīng)用在解決三角形中邊或角的問(wèn)題時(shí),可結(jié)合已知條件和隱含條件,看是否能通過(guò)三角形的全等來(lái)解決,同時(shí)選擇合適的判定方法。點(diǎn)撥如果一個(gè)點(diǎn)到角的兩邊的距離相等,且點(diǎn)在角的內(nèi)部,那么這個(gè)點(diǎn)在這個(gè)角的平分線(xiàn)上。方法技巧(三)利用三角形全等解決實(shí)際問(wèn)題首先將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為全等三角形問(wèn)題,然后利用全等三角形的判定和性質(zhì)解決問(wèn)題。點(diǎn)撥利用全等三角形的性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題,關(guān)鍵是正確建立全等三角形模型。易混易錯(cuò)辨析易混易錯(cuò)知識(shí)混淆“HL”與“SSA”。一般的兩個(gè)三角形滿(mǎn)足兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等即“SSA”條件時(shí),它們并不全等,但當(dāng)其中的“A”是直角時(shí),這兩個(gè)直角三角形就是全等的,這就是判定兩個(gè)直角三角形全等特有的“HL定理。易混易錯(cuò)(一)錯(cuò)用兩邊及一角對(duì)應(yīng)相等說(shuō)明三角形全等易混易錯(cuò)(二)利用角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理時(shí),混淆“點(diǎn)與點(diǎn)”與“點(diǎn)與線(xiàn)”之間的距離致錯(cuò)中考試題研究中考命題規(guī)律運(yùn)用三角形全等的性質(zhì)和判定進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算和推理,運(yùn)用三角形全等的知識(shí)解決一些實(shí)際問(wèn)題都是中考重點(diǎn)考查的內(nèi)容。另外本講知識(shí)還常與四邊形、圓等構(gòu)成綜合題,考查綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力。近幾年添加的有關(guān)全等的條件或結(jié)論的開(kāi)放性問(wèn)題也成為中考的熱點(diǎn),題型有選擇題、填空題、解答題。中考試題(一)添加全等的條件中考試題(二)利用三角形全等的判定和性質(zhì)進(jìn)行證明中考試題(三)綜合運(yùn)用全等三角形的判定和性質(zhì)中考試題(四)全等三角形性質(zhì)和判定的創(chuàng)新點(diǎn)撥本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì),讀懂問(wèn)題背景,作輔助線(xiàn)構(gòu)造出全等三角形并兩次證明三角形全等是解題的關(guān)鍵,也是本題的難點(diǎn)。第40講等腰三角形知識(shí)能力解讀知能解讀(一)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的概念經(jīng)過(guò)線(xiàn)段中點(diǎn)并且垂直于這條線(xiàn)段的直線(xiàn),叫作這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)。知能解讀(二)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)定理線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)與這條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。注意(1)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)性質(zhì)定理的作用是:證明兩條線(xiàn)段相等。如圖所示,若CD垂直平分線(xiàn)段AB,則。(2)在CD上任意取一點(diǎn)P都有。知能解讀(三)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)性質(zhì)定理的逆定理(判定定理)與一條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上。從線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)定理及其逆定理可以看出:在線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)l上的點(diǎn)與A,B兩點(diǎn)的距離相等;反過(guò)來(lái),與A,B兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)都在線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)l上,所以直線(xiàn)l可以看成是與A,B兩點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合。注意(1)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)性質(zhì)定理的逆定理的作用是:判定一點(diǎn)在線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上。如圖1-40-2所示,若,則點(diǎn)P在線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)上。(2)等腰三角形的頂點(diǎn)在底邊的垂直平分線(xiàn)上。(3)如果兩點(diǎn)到一條線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等,那么這兩點(diǎn)所在的直線(xiàn)是該線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)。如圖所示,若,則點(diǎn)C,D都在線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)上,CD與AB的交點(diǎn)O是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)。知能解讀(四)三角形三邊垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)定理可以得到:三角形三邊的垂直平分線(xiàn)相交于一點(diǎn),這個(gè)點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。注意(1)此定理的作用是:證明線(xiàn)段相等.如圖所示,若邊AB,BC,CA的垂直平分線(xiàn)交于點(diǎn)P,則;(2)三角形兩邊的垂直平分線(xiàn)段的交點(diǎn)必在第三邊的垂直平分線(xiàn)上;(3)證明三線(xiàn)共點(diǎn),可先找到兩直線(xiàn)交點(diǎn),再證明第三條直線(xiàn)也過(guò)這一點(diǎn);(4)銳角三角形三邊垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)在三角形內(nèi)部,直角三角形三邊垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)恰是斜邊中點(diǎn),鈍角三角形三邊垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)在三角形外部;(5)此定理給出了作一個(gè)點(diǎn)使其到三個(gè)不共線(xiàn)的點(diǎn)距離相等的方法,只需順次連接這三點(diǎn)組成一個(gè)三角形,作這個(gè)三角形兩邊的垂直平分線(xiàn),交點(diǎn)即為所求.知能解讀(五)等腰三角形的性質(zhì)(1)等腰三角形的兩個(gè)底角相等(簡(jiǎn)寫(xiě)成:等邊對(duì)等角”);(2)等腰三角形的頂角平分線(xiàn)、底邊上的中線(xiàn)、底邊上的高相互重合(簡(jiǎn)寫(xiě)成“三線(xiàn)合一”);(3)等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形,其頂角的平分線(xiàn)、底邊上的中線(xiàn)、底邊上的高所在的直線(xiàn)是它的對(duì)稱(chēng)軸.知能解讀(六)等腰三角形的判定如果一個(gè)三角形有兩個(gè)相等,那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等(簡(jiǎn)寫(xiě)成“等角對(duì)等邊”)。注意(1)等腰三角形的判定定理和性質(zhì)定理互為逆定理.(2)“等角對(duì)等邊”應(yīng)用極為廣泛,往往通過(guò)計(jì)算三角形各角的度數(shù)得角相等,則可得邊相等.(3)底角為頂角2倍(頂角為,底角為)的等腰三角形非常特殊,其一條底角平分線(xiàn)將原等腰三角形分成兩個(gè)等腰三角形.知能解讀(七)等邊三角形的性質(zhì)、判定1等邊三角形的性質(zhì)等邊三角形的三邊都相等,三個(gè)內(nèi)角都相等,并且每一個(gè)角都等于。注意(1)等邊三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形,它有三條對(duì)稱(chēng)軸;(2)等邊三角形是特殊的等腰三角形,它具有等腰三角形的一切性質(zhì).等邊三角形的判定(1)三條邊都相等的三角形是等邊三角形;(2)三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形;(3)有一個(gè)角是的等腰三角形是等邊三角形。注意腰三角形的條件下.三個(gè)判定定理的前提不同,判定(1)和(2)是在普通三角形的條件下,判定(3)是在等腰三角形的條件下。方法技巧歸納方法技巧(一)利用線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)或判定進(jìn)行計(jì)算和推理線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)定理可直接用來(lái)證明兩條線(xiàn)段相等,而其逆定理可直接用來(lái)證明某一個(gè)點(diǎn)在線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上,均不必證明三角形全等.點(diǎn)撥在解決有關(guān)線(xiàn)段或角的計(jì)算問(wèn)題時(shí),給合一元一次方程或二元一次方程組求解是一種比較常用的方法.方法技巧(二)利用等腰三角形的性質(zhì)求角的度數(shù)的方法先利用等腰三角形的性質(zhì)得到等角,再借助三角形內(nèi)角和定理及內(nèi)角與外角之間的關(guān)系,可以求角的度數(shù).本題綜合考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理.方法技巧(三)利用“三線(xiàn)合一”證明線(xiàn)段相等或角相等的方法 “三線(xiàn)合一”既可以提供等角、等線(xiàn)段,又可以提供直角,這些條件可用于證明線(xiàn)段相等或角相等.點(diǎn)撥使用“三線(xiàn)合一”的性質(zhì)時(shí)應(yīng)注意“三線(xiàn)”是指“底邊”上的三線(xiàn).另外,“三線(xiàn)合一”的性質(zhì)既是證明兩線(xiàn)段相等的方法,也是證明兩線(xiàn)垂直或某線(xiàn)是角平分線(xiàn)的方法.方法技巧(四)利用“等角對(duì)等邊”證明線(xiàn)段相等的方法如果所要證明的相等的兩條線(xiàn)段是同一個(gè)三角形的兩邊,可以先證明這兩邊所對(duì)的角相等,從而用“等角對(duì)等邊”來(lái)證明線(xiàn)段相等.點(diǎn)撥“等角對(duì)等邊”是繼全等三角形之后又一種證明線(xiàn)段相等的常用方法,應(yīng)注意它的使用前提條件是線(xiàn)段在同一個(gè)三角形中.方法技巧(五)等腰三角形判定和性質(zhì)的綜合運(yùn)用在等腰三角形中尋長(zhǎng)角或邊的等量關(guān)系時(shí),首先考慮等腰三角形判定和性質(zhì)的運(yùn)用.點(diǎn)撥本題考查等腰三角形的判定,用到的知識(shí)有等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理以及角平分線(xiàn)的定義等.解題時(shí)找出圖中的三角形,逐個(gè)證明.方法技巧(六)利用等邊三角形的性質(zhì)求角的度數(shù)或線(xiàn)段長(zhǎng)度的方法點(diǎn)撥本題綜合運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理求角的度數(shù).方法技巧(七)利用等邊三角形的性質(zhì)證明線(xiàn)段相等的方法等邊三角形的三條邊都相等,三個(gè)角都相等,為證明三角形全等提供了條件,由此可證明線(xiàn)段相等.點(diǎn)撥等腰三角形的底角相等、“三線(xiàn)合一”的性質(zhì)以及等邊三角形三邊相等的性質(zhì)常與三角形全等綜合使用證明線(xiàn)段相等.易混易錯(cuò)辨析易混易錯(cuò)知識(shí)1.涉及等腰三角形腰上“高”的問(wèn)題對(duì)由于考慮不全面漏解.由于等腰三角形分為等腰銳角三角形、等腰直角三角形和等腰鈍角三角形,所以腰上“高”的位置不同.2.線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)與過(guò)線(xiàn)段中點(diǎn)的直線(xiàn)相混淆.區(qū)別:線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)過(guò)線(xiàn)段中點(diǎn)且與該線(xiàn)段垂直,而過(guò)線(xiàn)段中點(diǎn)的直線(xiàn)與線(xiàn)段不一定垂直.考慮不全致誤中考試題研究中考命題規(guī)律等腰三角形的考查包括邊的計(jì)算、角的計(jì)算以及與全等、相似結(jié)合進(jìn)行計(jì)算,近年來(lái)也出現(xiàn)了一些操作型試問(wèn)題,題型主要以填空題、選擇題為主,分值為3分左右,有些綜合性解答題分值占到810分.中考試題(一)利用等腰三角形的相關(guān)知識(shí)求解 中考試題(二)利用等腰三角形的相關(guān)知識(shí)推理證明第41講 相 似知識(shí)能力解讀知能解讀(一)圖形的相似(1)相似圖形:我們把形狀相同的圖形叫作相似圖形.兩個(gè)圖形相似,其中一個(gè)圖形可以看作由另一個(gè)圖形放大或縮小得到.(2)相似多邊形:兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形,如果它們的角分別相等,邊成比例,那么這兩個(gè)多邊形叫作相似多邊形.(3)相似比:相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫作相似比.(4)線(xiàn)段成比例:對(duì)于四條線(xiàn)段a,b,c,d,如果其中兩條線(xiàn)段的比(即它們長(zhǎng)度的比)與另兩條線(xiàn)段的比相等,如(即),我們就說(shuō)這四條線(xiàn)段成比例.(5)相似多邊形的性質(zhì):相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊成比例.注意(1)當(dāng)兩個(gè)多邊形全等時(shí),其相似比為1;反之,如果兩個(gè)相似多邊形的相似比為1,那么這兩個(gè)多邊形全等.(2)相似比是有順序的,如:若正方形ABCD與正方形的相似比為,則正方形與正方形ABCD的相似比.知能解讀(二)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例(1)基本事實(shí):兩條直線(xiàn)被一組平行線(xiàn)所截,所的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例.(2)推論:平行于三角形一邊的直線(xiàn)截其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線(xiàn)),所得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例.知能解讀(三)相似三角形1相似三角形及表示方法2相似三角形的判定(1)平行于三角形一邊的直線(xiàn)和其他兩邊相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.(2)三邊成比例的兩個(gè)三角形相似.(3)兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似.(4)兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似.(5)斜邊和一條直角邊成比例的兩個(gè)直角三角形相似.3相似三角形的性質(zhì)(1)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等.(2)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例.(3)相似三角形對(duì)應(yīng)線(xiàn)段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線(xiàn)、對(duì)應(yīng)角平分線(xiàn))的比等于相似比。(4)相似三角形面積的比等于相似比的平方。拓展:相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比。4相似三角形的應(yīng)用利用三角形相似,可以解決一些測(cè)量問(wèn)題。知能解讀(四)位似圖形的概念及性質(zhì)1位似圖形如果兩個(gè)多邊形不僅相似,而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線(xiàn)相交于一點(diǎn),對(duì)應(yīng)邊互相平行,像這樣的兩個(gè)圖形叫作位似圖形,這點(diǎn)叫作位似中心,這時(shí)我們說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這點(diǎn)位似。2位似圖形的畫(huà)法(1)確定位似中心;(2)分別連接位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點(diǎn)并延長(zhǎng);(3)根據(jù)位似比,找出所作的位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn);(4)順次連接上述各對(duì)應(yīng)點(diǎn),得到放大或縮小后的圖形。3直角坐標(biāo)系中,位似圖形坐標(biāo)之間的關(guān)系一般地,在平面與直角坐標(biāo)系中,如果以原點(diǎn)為位似中心,新圖形與原圖形的相似比為,那么與原圖形上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的位似圖形上的點(diǎn)的坐標(biāo)為或。方法技巧歸納方法技巧(一)求兩條線(xiàn)段的比的方法兩條線(xiàn)段的比所表示的是兩數(shù)的相除關(guān)系,因此求兩條線(xiàn)段的比,只要把線(xiàn)段長(zhǎng)度代入,然后約會(huì)就可以,在代入時(shí)應(yīng)注意統(tǒng)一單位。點(diǎn)撥(1)比例尺就是圖上距離與實(shí)際距離的比;(2)求線(xiàn)段的比時(shí)單位要一致。方法技巧(二)相似三解形的判定方法相似三解形的判定方法除定義外還有四種,其中使用最多的是利用平行判定相似和兩角分別相等的兩個(gè)三解形相似;如果既有邊又有角的條件,那么可以考慮“兩邊夾角”的方法判定;如果只有邊的條件,那么可以考慮用“三邊成比例”的方法判定。方法技巧(三)相似三解形性質(zhì)的應(yīng)用利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例來(lái)求線(xiàn)段的長(zhǎng)度,有時(shí)通過(guò)尋找中間比組成比例式。點(diǎn)撥本題關(guān)鍵是抓住中間比,構(gòu)造比例式,從而求出的長(zhǎng).方法技巧(四)相似三角形的實(shí)際應(yīng)用相似三角形知識(shí)在實(shí)際生活中應(yīng)用非常廣泛,主要是運(yùn)用相似三角形的有關(guān)性質(zhì)來(lái)測(cè)量、計(jì)算那些不易直接測(cè)量的物體的高度或?qū)挾?例如:通常利用在同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)成比例的原理解決測(cè)量高度問(wèn)題,或通過(guò)構(gòu)造相似三角形,利用相似三角形的性質(zhì)解決測(cè)量寬度問(wèn)題.點(diǎn)撥本題需要運(yùn)用已知條件構(gòu)建比例式.構(gòu)建比例式的常用方法有:(1)三點(diǎn)定形法,尋找相似三角形;(2)等線(xiàn)段替換法,依據(jù)比例式不能組建三角形時(shí)選擇合適的相等線(xiàn)段替換,構(gòu)造三角形;(3)尋找“過(guò)渡比”,體會(huì)本例所采用的方法.方法技巧(五)位似圖形、位似中心的知?jiǎng)e 識(shí)別似圖形,關(guān)鍵是看兩個(gè)相似多邊形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)所在的直線(xiàn)是否相交于一點(diǎn),相交于一點(diǎn)的就是位似圖形,交點(diǎn)就是位似中心.點(diǎn)撥位似圖形必須滿(mǎn)足兩個(gè)條件:兩個(gè)圖形是相似圖形;兩個(gè)相似圖形每對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的直線(xiàn)都經(jīng)過(guò)同一個(gè)點(diǎn).二者缺一不可.方法技巧(六)位似的性質(zhì)的應(yīng)用位似圖形是特殊的相似圖形,利用位似比等于相似比,而面積比等于相似比的平方可進(jìn)行相關(guān)計(jì)算.求比值:由已知去求比值,多種途徑可利用.活用比例七性質(zhì),變量替換也走紅,消元也是好辦法,殊途同歸會(huì)變通.易混易錯(cuò)辨析易混易錯(cuò)知識(shí)1.計(jì)算比例尺時(shí),容易忽視單位的統(tǒng)一.比例尺是圖上距離與實(shí)際距離的比,在計(jì)算比值時(shí)單位必須要統(tǒng)一.2.相似三角形中有時(shí)對(duì)應(yīng)關(guān)系找不準(zhǔn).3.位似圖形和相似圖形.區(qū)別:相似圖形不受位置關(guān)系的限制,但位似圖形有位置上的要求.位似圖形一定是相似圖形,但相似圖形不一定是位似圖形.易混易錯(cuò)(一)求兩條線(xiàn)段的比時(shí),忽視兩條線(xiàn)段的單位統(tǒng)一而致錯(cuò)易混易錯(cuò)(二)利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例時(shí),由于考慮不全面,導(dǎo)致漏解易混易錯(cuò)(三)不能正確理解和把握位似與相似的關(guān)系致錯(cuò)中考試題研究中考命題規(guī)律本節(jié)內(nèi)容是中考必考內(nèi)容,主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)及利用圖形的位似求坐標(biāo)或計(jì)算圖形的面積比等問(wèn)題,題型有填空題、選擇題、解答題、作圖題及一些綜合型考題.中考試題(一)利用相似求解 中考試題(二)應(yīng)用相似三角形解決實(shí)際問(wèn)題中考試題(三)運(yùn)用相似三角形的判定和性質(zhì)證明比例中項(xiàng):比例中項(xiàng)很重要,多種場(chǎng)合會(huì)碰到.成比例的四項(xiàng)中,外項(xiàng)相同有不少.有時(shí)內(nèi)項(xiàng)會(huì)相同,比例中項(xiàng)出現(xiàn)了.同數(shù)平方等異積,比例中項(xiàng)無(wú)處逃.初中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)手冊(cè)

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本文(中考數(shù)學(xué) 知識(shí)點(diǎn)聚焦 第十七章 圖形的全等與相似)為本站會(huì)員(san****019)主動(dòng)上傳,裝配圖網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對(duì)用戶(hù)上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對(duì)上載內(nèi)容本身不做任何修改或編輯。 若此文所含內(nèi)容侵犯了您的版權(quán)或隱私,請(qǐng)立即通知裝配圖網(wǎng)(點(diǎn)擊聯(lián)系客服),我們立即給予刪除!

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