《(浙江專用)2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十章 計(jì)數(shù)原理與古典概率 第8講 離散型隨機(jī)變量的均值與方差練習(xí)(含解析)》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(浙江專用)2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十章 計(jì)數(shù)原理與古典概率 第8講 離散型隨機(jī)變量的均值與方差練習(xí)(含解析)(10頁珍藏版)》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第8講 離散型隨機(jī)變量的均值與方差
[基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]
1.若隨機(jī)變量X的分布列為,其中C為常數(shù),則下列結(jié)論正確的是( )
X
C
P
1
A.E(X)=D(X)=0
B.E(X)=C,D(X)=0
C.E(X)=0,D(X)=C
D.E(X)=D(X)=C
解析:選B.E(X)=C×1=C,D(X)=(E(X)-C)2×1=0,故選B.
2.(2019·稽陽市聯(lián)誼學(xué)校高三聯(lián)考)隨機(jī)變量ξ的分布列如下,且滿足E(ξ)=2,則E(aξ+b)的值為( )
ξ
1
2
3
P
a
b
c
A.0 B.1
C.2 D.無法確定,與a,b有關(guān)
解析:
2、選B.因?yàn)镋(ξ)=2,則a+2b+3c=2,又a+b+c=1,聯(lián)立兩式可得a=c,2a+b=1,E(aξ+b)=aE(ξ)+b=2a+b=1.
3.(2018·高考浙江卷)設(shè)0
3、)等于( )
A.5 B.8
C.10 D.16
解析:選B.因?yàn)镋(X)=(2+4+6+8+10)=6,
所以D(X)=[(-4)2+(-2)2+02+22+42]=8.
5.設(shè)擲1枚骰子的點(diǎn)數(shù)為ξ,則( )
A.E(ξ)=3.5,D(ξ)=3.52
B.E(ξ)=3.5,D(ξ)=
C.E(ξ)=3.5,D(ξ)=3.5
D.E(ξ)=3.5,D(ξ)=
解析:選B.隨機(jī)變量ξ的分布列為
ξ
1
2
3
4
5
6
P
從而E(ξ)=1×+2×+3×+4×+5×+6×=3.5,
D(ξ)=(1-3.5)2×+(2-3.5)
4、2×+(3-3.5)2×+(4-3.5)2×+(5-3.5)2×+(6-3.5)2×=.
6.如圖,將一個各面都凃了油漆的正方體,切割為125個同樣大小的小正方體,經(jīng)過攪拌后,從中隨機(jī)取一個小正方體,記它的涂漆面數(shù)為X,則X的均值E(X)=( )
A. B.
C. D.
解析:選B.依題意得X的取值可能為0,1,2,3,且P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)=.故E(X)=0×+1×+2×+3×=.
7.(2019·嘉興市一中高考適應(yīng)性考試)隨機(jī)變量X的分布列如下表,且E(X)=2,則D(2X-3)=( )
X
0
2
a
P
5、
p
A.2 B.3
C.4 D.5
解析:選C.由題意可得:+p+=1,解得p=,因?yàn)镋(X)=2,所以0×+2×+a×=2,解得a=3.D(X)=(0-2)2×+(2-2)2×+(3-2)2×=1.D(2X-3)=4D(X)=4.故選C.
8.(2019·嘉興質(zhì)檢)簽盒中有編號為1,2,3,4,5,6的六支簽,從中任意取3支,設(shè)X為這3支簽的號碼之中最大的一個,則X的數(shù)學(xué)期望為( )
A.5 B.5.25
C.5.8 D.4.6
解析:選B.由題意可知,X可以取3,4,5,6,
P(X=3)==,P(X=4)==,
P(X=5)==,P(X=6)==.
由數(shù)學(xué)期望
6、的定義可求得E(X)=3×+4×+5×+6×=5.25.
9.罐中有6個紅球,4個白球,從中任取1球,記住顏色后再放回,連續(xù)摸取4次,設(shè)X為取得紅球的次數(shù),則X的方差D(X)的值為( )
A. B.
C. D.
解析:選B.因?yàn)槭怯蟹呕氐孛?,所以每次摸?試驗(yàn))摸得紅球(成功)的概率均為,連續(xù)摸4次(做4次試驗(yàn)),X為取得紅球(成功)的次數(shù),則X~B,所以D(X)=4××=.
10.已知甲盒中僅有1個球且為紅球,乙盒中有m個紅球和n個藍(lán)球(m≥3,n≥3),從乙盒中隨機(jī)抽取i(i=1,2)個球放入甲盒中.
(1)放入i個球后,甲盒中含有紅球的個數(shù)記為ξi(i=1,2);
(2
7、)放入i個球后,從甲盒中取1個球是紅球的概率記為pi(i=1,2),則( )
A.p1>p2,E(ξ1)E(ξ2)
C.p1>p2,E(ξ1)>E(ξ2) D.p10,所以p1>p2.
11.某射擊運(yùn)動員在一次射擊比賽中所得環(huán)數(shù)ξ的分布列如下:
8、
ξ
3
4
5
6
P
x
0.1
0.3
y
已知ξ的均值E(ξ)=4.3,則y的值為____________.
解析:由題意知,x+0.1+0.3+y=1,又E(ξ)=3x+4×0.1+5×0.3+6y=4.3,兩式聯(lián)立解得y=0.2.
答案:0.2
12.已知X的分布列為
X
-1
0
1
P
且Y=aX+3,E(Y)=,則a的值為__________.
解析:E(X)=-1×+0×+1×=-,E(Y)=E(aX+3)=aE(X)+3=-a+3=,所以a=2.
答案:2
13.設(shè)口袋中有黑球、白球共9個.從中任取2個球,若
9、取到白球個數(shù)的數(shù)學(xué)期望為,則口袋中白球的個數(shù)為________.
解析:設(shè)白球有m個,則取得白球的數(shù)學(xué)期望是×0+×1+×2=,
即+×2=,
解得m=3.
答案:3
14.隨機(jī)變量ξ的分布列如下表:
ξ
-1
0
1
P
a
b
c
其中a,b,c成等差數(shù)列.若E(ξ)=,則D(ξ)的值是________.
解析:由題意可得
解得
所以D(ξ)=×+×+×=.
答案:
15.已知隨機(jī)變量ξ的分布列為
ξ
-1
0
1
P
那么ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)=________,設(shè)η=2ξ+1,則η的數(shù)學(xué)期望E(η)=________.
10、
解析:由離散型隨機(jī)變量的期望公式及性質(zhì)可得,
E(ξ)=-1×+0×+1×=-,
E(η)=E(2ξ+1)=2E(ξ)+1=2×+1=.
答案:-
16.(2019·浙江新高考沖刺卷)某中學(xué)的十佳校園歌手有6名男同學(xué),4名女同學(xué),其中3名來自1班,其余7名來自其他互不相同的7個班,現(xiàn)從10名同學(xué)中隨機(jī)選擇3名參加文藝晚會,則選出的3名同學(xué)來自不同班級的概率為________,設(shè)X為選出3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù),則該變量X的數(shù)學(xué)期望為________.
解析:設(shè)“選出的3名同學(xué)是來自互不相同班級”為事件A,則P(A)==.
隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3,P(X=k)=
11、(k=0,1,2,3).
所以隨機(jī)變量X的分布列為
X
0
1
2
3
P
隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0+1×+2×+3×=.
答案:
17.從4雙不同鞋子中任取4只,則其中恰好有一雙的不同取法有________種,記取出的4只鞋子中成雙的鞋子對數(shù)為X,則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=________.
解析:①從4雙不同鞋子中任取4只,則其中恰好有一雙的不同取法有CCCC=48.
②X=0,1,2,P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==.
X的分布列為
X
0
1
2
P
E(X)=0+1×+2×=
12、.
答案:48
[能力提升]
1.袋中有20個大小相同的球,其中記上0號的有10個,記上n號的有n個(n=1,2,3,4),現(xiàn)從袋中任取一球,X表示所取球的標(biāo)號.
(1)求X的分布列、期望和方差;
(2)若Y=aX+b,E(Y)=1,D(Y)=11,試求a,b的值.
解:(1)X的取值為0,1,2,3,4,其分布列為
X
0
1
2
3
4
P
所以E(X)=0×+1×+2×+3×+4×=1.5,
D(X)=(0-1.5)2×+(1-1.5)2×+(2-1.5)2×+(3-1.5)2×+(4-1.5)2×=2.75.
(2)由D(Y)=
13、a2D(X)得2.75a2=11,得a=±2,
又E(Y)=aE(X)+b,
所以當(dāng)a=2時,由1=2×1.5+b,得b=-2;
當(dāng)a=-2時,由1=-2×1.5+b,得b=4,
所以或
2.設(shè)袋子中裝有a個紅球,b個黃球,c個藍(lán)球,且規(guī)定:取出一個紅球得1分,取出一個黃球得2分,取出一個藍(lán)球得3分.
(1)當(dāng)a=3,b=2,c=1時,從該袋子中任取(有放回,且每球取到的機(jī)會均等)2個球,記隨機(jī)變量ξ為取出此2球所得分?jǐn)?shù)之和,求ξ的分布列;
(2)從該袋子中任取(每球取到的機(jī)會均等)1個球,記隨機(jī)變量η為取出此球所得分?jǐn)?shù).若Eη=,Dη=,求a∶b∶c.
解:(1)由題意得ξ=
14、2,3,4,5,6.
故P(ξ=2)==,
P(ξ=3)==,
P(ξ=4)==,
P(ξ=5)==,
P(ξ=6)==.
所以ξ的分布列為
ξ
2
3
4
5
6
P
(2)由題意知η的分布列為
η
1
2
3
P
所以Eη=++=,
Dη=(1-)2·+(2-)2·+(3-)2·=,
化簡得
解得a=3c,b=2c,故a∶b∶c=3∶2∶1.
3.C1:y=ax+b,a,b∈{1,2,3,4,5},C2:x2+y2=2.
(1)求C1,C2有交點(diǎn)的概率P(A);
(2)求交點(diǎn)個數(shù)的數(shù)學(xué)期望E(ξ).
15、
解:(1)設(shè)圓心(0,0)到直線ax-y+b=0的距離為d,若C1,C2有交點(diǎn),則d=≤?b2≤2(a2+1).
當(dāng)b=1時,a=1,2,3,4,5;當(dāng)b=2時,a=1,2,3,4,5;當(dāng)b=3時,a=2,3,4,5;當(dāng)b=4時,a=3,4,5;當(dāng)b=5時,a=4,5.共5+5+4+3+2=19種情況,
所以P(A)==.
(2)當(dāng)交點(diǎn)個數(shù)為0時,直線與圓相離,有6種情況;
當(dāng)交點(diǎn)個數(shù)為1時,直線與圓相切,b2=2(a2+1),只有a=1,b=2這1種情況;
當(dāng)交點(diǎn)個數(shù)為2時,由(1)知直線與圓相交,有18種情況.
所以E(ξ)=0×+1×+2×=.
4.(2019·溫州八校
16、聯(lián)考)某公司準(zhǔn)備將1 000萬元資金投入到市環(huán)保工程建設(shè)中,現(xiàn)有甲、乙兩個建設(shè)項(xiàng)目供選擇.若投資甲項(xiàng)目一年后可獲得的利潤ξ1(萬元)的概率分布列如下表所示:
ξ1
110
120
170
P
m
0.4
n
且ξ1的期望E(ξ1)=120;若投資乙項(xiàng)目一年后可獲得的利潤ξ2(萬元)與該項(xiàng)目建設(shè)材料的成本有關(guān),在生產(chǎn)的過程中,公司將根據(jù)成本情況決定是否在第二和第三季度進(jìn)行產(chǎn)品的價格調(diào)整,兩次調(diào)整相互獨(dú)立且調(diào)整的概率分別為p(0<p<1)和1-p .若乙項(xiàng)目產(chǎn)品價格一年內(nèi)調(diào)整次數(shù)X(次)與ξ2的關(guān)系如下表所示:
X
0
1
2
ξ2
41.2
117.6
17、204
(1)求m,n的值;
(2)求ξ2的分布列;
(3)若E(ξ1)<E(ξ2),則選擇投資乙項(xiàng)目,求此時p的取值范圍.
解:(1)由題意得
解得m=0.5,n=0.1.
(2)ξ2的可能取值為41.2,117.6,204,
P(ξ2=41.2)=(1-p)[1-(1-p)]=p(1-p),
P(ξ2=117.6)=p[1-(1-p)]+(1-p)(1-p)=p2+(1-p)2,
P(ξ2=204)=p(1-p),
所以ξ2的分布列為
ξ2
41.2
117.6
204
P
p(1-p)
p2+(1-p)2
p(1-p)
(3)由(2)可得:
E(ξ2)=41.2p(1-p)+117.6[p2+(1-p)2]+204p(1-p)=-10p2+10p+117.6,
由E(ξ1)<E(ξ2),
得120<-10p2+10p+117.6,
解得:0.4<p<0.6,
即當(dāng)選擇投資乙項(xiàng)目時,p的取值范圍是(0.4,0.6).
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