（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 專題6 數(shù)列 6.2 等差數(shù)列檢測

6.2等差數(shù)列挖命題【考情探究】考點內(nèi)容解讀5年考情預(yù)測熱度考題示例考向關(guān)聯(lián)考點等差數(shù)列的有關(guān)概念及運算1.理解等差數(shù)列的概念.2.掌握等差數(shù)列的通項公式.3.掌握等差數(shù)列的前n項和公式.4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)之間的關(guān)系.2016浙江,6等差數(shù)列的概念三角形面積2015浙江,3等差數(shù)列的通項公式、前n項和等比數(shù)列2014浙江文,19等差數(shù)列的前n項和等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用能利用等差數(shù)列的性質(zhì)解決有關(guān)問題.2017浙江,6等差數(shù)列的前n項和充分條件與必要條件分析解讀1.等差數(shù)列知識屬于?？純?nèi)容.2.考查等差數(shù)列定義、性質(zhì)、通項公式、前n項和公式等知識.3.靈活運用通項公式、前n項和公式處理最值問題、存在性問題是高考的熱點.4.以數(shù)列為背景,考查學(xué)生歸納、類比的能力.5.預(yù)計2020年高考試題中,等差數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項公式、前n項和公式的考查必不可少.復(fù)習(xí)時要足夠重視.破考點【考點集訓(xùn)】考點一等差數(shù)列的有關(guān)概念及運算1.(2018浙江紹興高三3月適應(yīng)性模擬,13)設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項和,滿足S2=S6,-=2,則a1=,公差d=. 答案-14;42.(2018浙江稽陽聯(lián)誼學(xué)校高三聯(lián)考,13)九章算術(shù)是我國古代著名的數(shù)學(xué)著作,其中有一道數(shù)列問題:“今有良馬與駑馬發(fā)長安,至齊,齊去長安三千里.良馬初日行一百九十三里,日增一十三里,駑馬初日行九十七里,日減半里,良馬先至齊,復(fù)還迎駑馬,問幾日相逢及各行幾何?”請研究本題,并給出下列結(jié)果:兩馬同時出發(fā)后第9天,良馬日行里,從長安出發(fā)后第天兩馬第一次相遇. 答案297;16考點二等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用1.(2018浙江嵊州高三期末質(zhì)檢,7)設(shè)等差數(shù)列an的前n項的和為Sn,若a6<0,a7>0,且a7>|a6|,則() A.S11+S12<0B.S11+S12>0C.S11·S12<0D.S11·S12>0答案C2.(2018浙江高考模擬訓(xùn)練沖刺卷一,13)已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn,且a1>0,S8=S11,則a10=;使Sn取到最大值的n為. 答案0;9或10煉技法【方法集訓(xùn)】方法1等差數(shù)列中“基本量法”解題的方法1.(2018浙江新高考調(diào)研卷一(諸暨中學(xué)),5)已知公差不為0的等差數(shù)列an的首項a1=3,若a2,a3,a6成等比數(shù)列,則an前n項和的最大值為() A.3B. -1C.-5D.-3答案A2.(2018浙江杭州地區(qū)重點中學(xué)期中,14)設(shè)等差數(shù)列an的首項為a1,公差為d,前n項和為Sn,且S5·S6=-15,則d的取值范圍是;若a1=-7,則d的值為. 答案(-,-22,+);3或方法2等差數(shù)列的判定方法1.(2018浙江杭州地區(qū)重點中學(xué)第一學(xué)期期中,4)已知數(shù)列an是等差數(shù)列,則數(shù)列bn一定為等差數(shù)列的是()A.bn=|an|B.bn=C.bn=-anD.bn=答案C2.(2017浙江金華十校調(diào)研,6)若等差數(shù)列an的公差為d,前n項和為Sn,記bn=,則()A.數(shù)列bn是等差數(shù)列,且公差為dB.數(shù)列bn是等差數(shù)列,且公差為2dC.數(shù)列an+bn是等差數(shù)列,且公差為dD.數(shù)列an-bn是等差數(shù)列,且公差為答案D過專題【五年高考】A組自主命題·浙江卷題組考點一等差數(shù)列的有關(guān)概念及運算1.(2016浙江,6,5分)如圖,點列An,Bn分別在某銳角的兩邊上,且|AnAn+1|=|An+1An+2|,AnAn+2,nN*,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,BnBn+2,nN*.(PQ表示點P與Q不重合)若dn=|AnBn|,Sn為AnBnBn+1的面積,則() A.Sn是等差數(shù)列B.是等差數(shù)列C.dn是等差數(shù)列D.是等差數(shù)列答案A2.(2015浙江,3,5分)已知an是等差數(shù)列,公差d不為零,前n項和是Sn.若a3,a4,a8成等比數(shù)列,則()A.a1d>0,dS4>0B.a1d<0,dS4<0C.a1d>0,dS4<0D.a1d<0,dS4>0答案B3.(2014浙江文,19,14分)已知等差數(shù)列an的公差d>0.設(shè)an的前n項和為Sn,a1=1,S2·S3=36.(1)求d及Sn;(2)求m,k(m,kN*)的值,使得am+am+1+am+2+am+k=65.解析(1)由題意知(2a1+d)(3a1+3d)=36,將a1=1代入上式解得d=2或d=-5.因為d>0,所以d=2.從而an=2n-1,Sn=n2(nN*).(2)由(1)得am+am+1+am+2+am+k=(2m+k-1)(k+1),所以(2m+k-1)(k+1)=65.由m,kN*知2m+k-1k+1>1,故所以評析本題主要考查等差數(shù)列的概念、通項公式、求和公式等基礎(chǔ)知識,同時考查運算求解能力.考點二等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用(2017浙江,6,4分)已知等差數(shù)列an的公差為d,前n項和為Sn,則“d>0”是“S4+S6>2S5”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件答案CB組統(tǒng)一命題、省(區(qū)、市)卷題組考點一等差數(shù)列的有關(guān)概念及運算1.(2018課標(biāo)全國理,4,5分)記Sn為等差數(shù)列an的前n項和.若3S3=S2+S4,a1=2,則a5=() A.-12B.-10C.10D.12答案B2.(2017課標(biāo)全國理,4,5分)記Sn為等差數(shù)列an的前n項和.若a4+a5=24,S6=48,則an的公差為()A.1B.2C.4D.8答案C3.(2017課標(biāo)全國理,9,5分)等差數(shù)列an的首項為1,公差不為0.若a2,a3,a6成等比數(shù)列,則an前6項的和為()A.-24B.-3C.3D.8答案A4.(2016課標(biāo)全國,3,5分)已知等差數(shù)列an前9項的和為27,a10=8,則a100=()A.100B.99C.98D.97答案C5.(2018北京理,9,5分)設(shè)an是等差數(shù)列,且a1=3,a2+a5=36,則an的通項公式為. 答案an=6n-36.(2017課標(biāo)全國理,15,5分)等差數(shù)列an的前n項和為Sn,a3=3,S4=10,則=. 答案7.(2016江蘇,8,5分)已知an是等差數(shù)列,Sn是其前n項和.若a1+=-3,S5=10,則a9的值是. 答案208.(2016北京,12,5分)已知an為等差數(shù)列,Sn為其前n項和.若a1=6,a3+a5=0,則S6=. 答案69.(2018北京文,15,13分)設(shè)an是等差數(shù)列,且a1=ln 2,a2+a3=5ln 2.(1)求an的通項公式;(2)求+.解析(1)設(shè)an的公差為d.因為a2+a3=5ln 2,所以2a1+3d=5ln 2.又a1=ln 2,所以d=ln 2.所以an=a1+(n-1)d=nln 2.(2)因為=eln 2=2,=eln 2=2,所以是首項為2,公比為2的等比數(shù)列.所以+=2×=2(2n-1).10.(2016山東,18,12分)已知數(shù)列an的前n項和Sn=3n2+8n,bn是等差數(shù)列,且an=bn+bn+1.(1)求數(shù)列bn的通項公式;(2)令cn=,求數(shù)列cn的前n項和Tn.解析(1)由題意知,當(dāng)n2時,an=Sn-Sn-1=6n+5.當(dāng)n=1時,a1=S1=11,所以an=6n+5.設(shè)數(shù)列bn的公差為d.由即可解得b1=4,d=3.所以bn=3n+1.(2)由(1)知cn=3(n+1)·2n+1.又Tn=c1+c2+cn,得Tn=3×2×22+3×23+(n+1)×2n+1,2Tn=3×2×23+3×24+(n+1)×2n+2,兩式作差,得-Tn=3×2×22+23+24+2n+1-(n+1)×2n+2=3×=-3n·2n+2.所以Tn=3n·2n+2.方法總結(jié)若某數(shù)列的通項是等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項的積或商,則該數(shù)列的前n項和可以采用錯位相減法求解,注意相減后的項數(shù)容易出錯.評析本題主要考查了等差數(shù)列及前n項和,屬中檔題.11.(2014大綱全國,18,12分)等差數(shù)列an的前n項和為Sn.已知a1=10,a2為整數(shù),且SnS4.(1)求an的通項公式;(2)設(shè)bn=,求數(shù)列bn的前n項和Tn.解析(1)由a1=10,a2為整數(shù)知,等差數(shù)列an的公差d為整數(shù).又SnS4,故a40,a50,于是10+3d0,10+4d0.解得-d-.因此d=-3.故數(shù)列an的通項公式為an=13-3n.(6分)(2)bn=.(8分)于是Tn=b1+b2+bn=.(12分)評析本題考查了等差數(shù)列的定義及其前n項和、裂項相消法求數(shù)列前n項和.第(1)問的解題關(guān)鍵在于分析已知條件“a2為整數(shù)”“SnS4”中隱含的條件;第(2)問,對通項公式bn進(jìn)行裂項相消的過程中易漏了系數(shù)而導(dǎo)致錯解.考點二等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用1.(2015北京,6,5分)設(shè)an是等差數(shù)列.下列結(jié)論中正確的是()A.若a1+a2>0,則a2+a3>0B.若a1+a3<0,則a1+a2<0C.若0<a1<a2,則a2>D.若a1<0,則(a2-a1)(a2-a3)>0答案C2.(2015重慶,2,5分)在等差數(shù)列an中,若a2=4,a4=2,則a6=()A.-1B.0C.1D.6答案B3.(2015廣東,10,5分)在等差數(shù)列an中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,則a2+a8=. 答案104.(2014北京,12,5分)若等差數(shù)列an滿足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,則當(dāng)n=時,an的前n項和最大. 答案85.(2014江蘇,20,16分)設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn.若對任意的正整數(shù)n,總存在正整數(shù)m,使得Sn=am,則稱an是“H數(shù)列”.(1)若數(shù)列an的前n項和Sn=2n(nN*),證明:an是“H數(shù)列”;(2)設(shè)an是等差數(shù)列,其首項a1=1,公差d<0.若an是“H數(shù)列”,求d的值;(3)證明:對任意的等差數(shù)列an,總存在兩個“H數(shù)列”bn和cn,使得an=bn+cn(nN*)成立.解析(1)證明:由已知得,當(dāng)n1時,an+1=Sn+1-Sn=2n+1-2n=2n.于是對任意的正整數(shù)n,總存在正整數(shù)m=n+1,使得Sn=2n=am.所以an是“H數(shù)列”.(2)由已知,得S2=2a1+d=2+d.因為an是“H數(shù)列”,所以存在正整數(shù)m,使得S2=am,即2+d=1+(m-1)d,于是(m-2)d=1.因為d<0,所以m-2<0,故m=1.從而d=-1.當(dāng)d=-1時,an=2-n,Sn=是小于2的整數(shù),nN*.于是對任意的正整數(shù)n,總存在正整數(shù)m=2-Sn=2-,使得Sn=2-m=am,所以an是“H數(shù)列”.因此d的值為-1.(3)證明:設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,則an=a1+(n-1)d=na1+(n-1)(d-a1)(nN*).令bn=na1,cn=(n-1)(d-a1),則an=bn+cn(nN*),下證bn是“H數(shù)列”.設(shè)bn的前n項和為Tn,則Tn=a1(nN*).于是對任意的正整數(shù)n,總存在正整數(shù)m=,使得Tn=bm.所以bn是“H數(shù)列”.同理可證cn也是“H數(shù)列”.所以,對任意的等差數(shù)列an,總存在兩個“H數(shù)列”bn和cn,使得an=bn+cn(nN*).評析本題主要考查數(shù)列的概念、等差數(shù)列等基礎(chǔ)知識,考查探究能力及推理論證能力.C組教師專用題組考點等差數(shù)列的有關(guān)概念及運算1.(2014福建,3,5分)等差數(shù)列an的前n項和為Sn,若a1=2,S3=12,則a6等于() A.8B.10C.12D.14答案C2.(2014遼寧,8,5分)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d.若數(shù)列為遞減數(shù)列,則()A.d<0B.d>0C.a1d<0D.a1d>0答案C3.(2015安徽,13,5分)已知數(shù)列an中,a1=1,an=an-1+ (n2),則數(shù)列an的前9項和等于. 答案274.(2017課標(biāo)全國,17,12分)記Sn為等比數(shù)列an的前n項和.已知S2=2,S3=-6.(1)求an的通項公式;(2)求Sn,并判斷Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差數(shù)列.解析本題考查等差、等比數(shù)列.(1)設(shè)an的公比為q,由題設(shè)可得解得q=-2,a1=-2.故an的通項公式為an=(-2)n. (2)由(1)可得Sn=-+(-1)n·.由于Sn+2+Sn+1=-+(-1)n·=2=2Sn,故Sn+1,Sn,Sn+2成等差數(shù)列.方法總結(jié)等差、等比數(shù)列的常用公式:(1)等差數(shù)列:遞推關(guān)系式:an+1-an=d,常用于等差數(shù)列的證明.通項公式:an=a1+(n-1)d.前n項和公式:Sn=na1+d.(2)等比數(shù)列:遞推關(guān)系式:=q(q0),常用于等比數(shù)列的證明.通項公式:an=a1·qn-1.前n項和公式:Sn=(3)在證明a,b,c成等差、等比數(shù)列時,還可以利用等差中項:=b或等比中項:a·c=b2來證明.5.(2015福建,17,12分)等差數(shù)列an中,a2=4,a4+a7=15.(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)設(shè)bn=+n,求b1+b2+b3+b10的值.解析(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d.由已知得解得所以an=a1+(n-1)d=n+2.(2)由(1)可得bn=2n+n.所以b1+b2+b3+b10=(2+1)+(22+2)+(23+3)+(210+10)=(2+22+23+210)+(1+2+3+10)=+=(211-2)+55=211+53=2 101.評析本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力.【三年模擬】一、選擇題(每小題4分,共12分)1.(2019屆浙江名校協(xié)作體高三聯(lián)考,9)已知公差為d的等差數(shù)列an的前n項和為Sn,若存在正整數(shù)n0,對任意正整數(shù)m,使得·<0恒成立,則下列結(jié)論不一定成立的是() A.a1d<0B.|Sn|有最小值C.·>0D.·>0答案C2.(2018浙江溫州高三質(zhì)量檢查,5)已知數(shù)列an滿足=25·,且a2+a4+a6=9,則lo(a5+a7+a9)=() A.-3B.3C.-D.答案A3.(2018浙江“七彩陽光”聯(lián)盟期中,5)已知等差數(shù)列an,Sn表示前n項的和,a5+a11>0,a6+a9<0,則滿足Sn<0的正整數(shù)n的最大值是()A.12B.13C.14D.15答案C二、填空題(單空題4分,多空題6分,共16分)4.(2019屆鎮(zhèn)海中學(xué)期中考試,16)已知數(shù)列an為等差數(shù)列,其前n項和為Sn,且2a1+3a3=S6,現(xiàn)給出以下結(jié)論:a10=0;S10最小;S7=S12;S19=0.其中正確的是(填序號). 答案5.(2018浙江諸暨高三上學(xué)期期末,11)已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn,若a3=5,S3=12,則公差d=;通項公式an=. 答案1;n+26.(2018浙江名校協(xié)作體,12)已知an是公差為-2的等差數(shù)列,Sn為其前n項和,若a2+1,a5+1,a7+1成等比數(shù)列,則a1=,當(dāng)n=時,Sn有最大值. 答案19;10三、解答題(共45分)7.(2019屆衢州、湖州、麗水三地教學(xué)質(zhì)量檢測,20)設(shè)正項數(shù)列an的前n項和為Sn,a1=2,且1+,3,1-成等差數(shù)列(nN*).(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)證明:-1<+- (nN*).解析(1)由題意知-=4,=4,(2分)所以數(shù)列是以4為首項,4為公差的等差數(shù)列,所以=4n,又an>0,所以Sn>0,所以Sn=2.(4分)當(dāng)n2時,an=Sn-Sn-1=2-2,當(dāng)n=1時,a1=2也滿足上式,所以an=2-2(nN*).(6分)(2)由(1)知Sn=2,所以=>=-.(8分)所以+>-1.(10分)又因為=<=-(n2).(12分)當(dāng)n2時,+-1=-.(14分)當(dāng)n=1時上式也成立,所以-1<+- (nN*).(15分)8.(2019屆金麗衢十二校高三第一次聯(lián)考,20)已知數(shù)列an中,a1=2,a2=6,且滿足=2(n2且nN*).(1)求證:an+1-an為等差數(shù)列;(2)令bn=-,設(shè)數(shù)列bn的前n項和為Sn,求S2n-Sn的最大值.解析(1)證明:由題意可得an+1+an-1=2an+2(n2),則(an+1-an)-(an-an-1)=2,所以an+1-an是公差為2的等差數(shù)列.(2)當(dāng)n2時,an=(an-an-1)+(a2-a1)+a1=2n+4+2=2·=n(n+1).當(dāng)n=1時,a1=2滿足上式.an=n(n+1).bn=-=-,Sn=10-,S2n=10-,設(shè)Mn=S2n-Sn=10-,Mn+1=10-,Mn+1-Mn=10-=10-=-,當(dāng)n=1時,Mn+1-Mn=M2-M1=->0,即M1<M2,當(dāng)n2時,Mn+1-Mn<0,即M2>M3>M4>,(Mn)max=M2=10×-1=,S2n-Sn的最大值為S4-S2=.9.(2018浙江金麗衢十二校第三次聯(lián)考(5月),22)有一列數(shù)a0,a1,a2,a3,對任意的m,nN,mn,滿足2am+2an-2n=am+n+am-n,且已知a1=2.(1)求a0,a2,a3 ;(2)證明:對一切nN*,數(shù)列an+1-an為等差數(shù)列;(3)若對一切nN*,>+恒成立,求的最小值.解析(1)令m=n=0,得a0=0,令m=n=1,得a2=6,令m=2,n=1,得a3=12.(2)證明:令n=1,得2am+4-2=am+1+am-1,即(am+1-am)=(am-am-1)+2.所以數(shù)列an+1-an是公差為2的等差數(shù)列.(3)因為an+1-an=(a1-a0)+n×2=2(n+1),所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a1-a0)+a0=2n+2(n-1)+2+0=n(n+1).所以+=+=1-,要使>1-恒成立,的最小值為1.14