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(名師導(dǎo)學(xué))2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù) 第9講 二次函數(shù)與冪函數(shù)練習(xí) 文(含解析)新人教A版

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(名師導(dǎo)學(xué))2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù) 第9講 二次函數(shù)與冪函數(shù)練習(xí) 文(含解析)新人教A版

第9講二次函數(shù)與冪函數(shù)夯實基礎(chǔ)【p22】【學(xué)習(xí)目標】1熟練掌握二次函數(shù)的概念、圖象、性質(zhì)及其與一元二次方程、一元二次不等式的聯(lián)系2了解冪函數(shù)的概念,結(jié)合函數(shù)yx,yx2,yx3,y,yx的圖象了解它們的變化情況【基礎(chǔ)檢測】1函數(shù)y2的頂點坐標是()A(1,2)B(1,2)C(1,2)D(1,2)【解析】y22,頂點坐標是(1,2)【答案】C2冪函數(shù)yf(x)的圖象經(jīng)過點(2,4),則該冪函數(shù)的解析式為()Ay2xByx2Cyx2Dy2x【解析】設(shè)f(x)x,其圖象過點(2,4),24,2,即f(x)x2.故選B.【答案】B3已知函數(shù)fx22ax3在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍為()A.B.C.D.【解析】函數(shù)f(x)x22ax3的圖象開口向上,對稱軸為直線xa,畫出草圖如圖所示由圖象可知,函數(shù)在a,)上是單調(diào)增函數(shù),因此要使函數(shù)f(x)在區(qū)間1,2上是單調(diào)增函數(shù),只需a1,從而a(,1故選B.【答案】B4若冪函數(shù)fxm1在區(qū)間上是增函數(shù),則實數(shù)m的值為_【解析】由于函數(shù)為冪函數(shù),故m2m11,解得m2,m1,當m1時,函數(shù)在為減函數(shù),故m2.【答案】2【知識要點】1五種常見冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)特征性質(zhì)yxyx2yx3yxyx1圖象定義域RRR_x|x0_x|x0_值域R_y|y0_R_y|y0_y|y0_奇偶性_奇_偶_奇_非奇非偶_奇_單調(diào)性_增_(,0)減,(0,)增_增_增_(,0)和(0,)減_公共點(1,1)2.二次函數(shù)解析式的三種形式(1)一般式:f(x)_ax2bxc(a0)_;(2)頂點式:f(x)_a(xm)2n(a0)_;(3)零點式:f(x)_a(xx1)(xx2)(a0)_3二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)f(x)ax2bxca>0a<0圖象定義域xR值域單調(diào)性在上遞減,在上遞增在上遞增,在上遞減奇偶性b0時為偶函數(shù),b0時既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)圖象特點對稱軸:x;頂點:典例剖析【p23】考點1冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)(1)函數(shù)y的圖象是()【解析】函數(shù)y可化為yx3,當x時,求得y<,選項B,D不合題意,可排除選項B,D;當x2時,求得y8>2,選項A不合題意,可排除選項A,故選C.【答案】C(2)已知冪函數(shù)f(x)x的圖象過點(4,2)若f(m)3,則實數(shù)m的值為()A.B±C±9D9【解析】依題意有24,得,所以f(x)x,當f(m)m3時,m9.【答案】D(3)已知冪函數(shù)yf(x)的圖象經(jīng)過點,且f(a1)<f(102a),則實數(shù)a的取值范圍是()A(1,5)B(,3)C(3,)D(3,5)【解析】設(shè)fx,4,函數(shù)fx為減函數(shù),所求不等式轉(zhuǎn)化為a1>102a>0,解不等式得實數(shù)a的取值范圍是.【答案】D(4)設(shè)a,b,c,則a,b,c的大小關(guān)系是_【解析】yx(x>0)為增函數(shù),a>c.y(xR)為減函數(shù),c>b.a>c>b.【答案】a>c>b【小結(jié)】(1)冪函數(shù)的形式是yx(R),其中只有一個參數(shù),因此只需一個條件即可確定其解析式(2)若冪函數(shù)yx(R)是偶函數(shù),則必為偶數(shù)當是分數(shù)時,一般將其先化為根式,再判斷(3)若冪函數(shù)yx在(0,)上單調(diào)遞增,則>0;若在(0,)上單調(diào)遞減,則<0.考點2二次函數(shù)的解析式的求法已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)1,f(1)1,且f(x)的最大值是8,試確定此二次函數(shù)的解析式【解析】法一(利用一般式):設(shè)f(x)ax2bxc(a0)由題意得解得所求二次函數(shù)的解析式為f(x)4x24x7.法二(利用頂點式):設(shè)f(x)a(xm)2n.f(2)f(1),拋物線的對稱軸為x.m.又根據(jù)題意函數(shù)有最大值8,n8.yf(x)a8.f(2)1,a81,解得a4,f(x)484x24x7.法三(利用零點式):由已知f(x)10的兩根為x12,x21,故可設(shè)f(x)1a(x2)(x1),即f(x)ax2ax2a1.又函數(shù)有最大值ymax8,即8.解得a4或a0(舍)所求函數(shù)的解析式為f(x)4x24x7.【小結(jié)】求二次函數(shù)解析式的方法考點3二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)已知函數(shù)fx22ax5.(1)若f的定義域和值域均是,求實數(shù)a的值;(2)若f在區(qū)間上是減函數(shù),且對任意的x,都有f0,求實數(shù)a的取值范圍【解析】(1)fx22ax5,f在上單調(diào)遞減,又a>1,f在上單調(diào)遞減,a2.(2)f在區(qū)間上是減函數(shù),a2.,ff,x時,ff,又對任意的x,都有f0,f0,即12a50,a3.【小結(jié)】涉及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)要抓住開口、對稱軸、與坐標軸的交點考點4二次函數(shù)的最值求法已知函數(shù)fx2x3.(1)當a2,x時,求函數(shù)f的值域;(2)若函數(shù)f在1,3上的最大值為1,求實數(shù)a的值【解析】(1)當a2時,fx23x3,x,對稱軸x,ff,ff15,函數(shù)f的值域為.(2)函數(shù)f的對稱軸為x.當1,即a時,ff6a3,6a31,即a,滿足題意;當>1,即a<時,ff2a1,2a11,即a1,滿足題意綜上可知a或a1.【小結(jié)】二次函數(shù)最值問題的三種類型及解題思路:(1)類型:對稱軸、區(qū)間都是給定的;對稱軸動、區(qū)間固定;對稱軸定、區(qū)間變動(2)思路:抓“三點一軸”,三點是指區(qū)間兩個端點和中點,一軸指的是對稱軸考點5三個二次的綜合應(yīng)用已知二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a0),且不等式f(x)<2x的解集為(1,2)(1)若方程f(x)3a0有兩個相等的實根,求f(x)的解析式;(2)若f(x)的最小值不大于3a,求實數(shù)a的取值范圍【解析】f(x)<2x的解集為(1,2),ax2(b2)xc<0的解集為(1,2),a>0,且方程ax2(b2)xc0的兩根為1和2,即f(x)ax2(2a)x2a(a>0)(1)方程f(x)3a0有兩個相等的實根,即ax2(2a)xa0有兩個相等的實根,(2a)24a203a24a40, a2(舍)或a,a>0,a,f(x)x2x.(2)f(x)ax2(2a)x2aa,a>0,f(x)的最小值為,則3a,3a24a40,解得2a,a>0,0<a.【小結(jié)】(1)在研究一元二次不等式的有關(guān)問題時,一般需借助二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)來解(2)在研究一元二次方程根的分布問題時,常借助二次函數(shù)的圖象來解,一般從以下四個方面分析:開口方向;對稱軸位置;判別式;端點函數(shù)值符號【能力提升】已知函數(shù)f(x)x21,g(x)a|x1|.(1)若當xR時,不等式f(x)g(x)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;(2)求函數(shù)h(x)|f(x)|g(x)在區(qū)間0,2上的最大值【解析】(1)不等式f(x)g(x)對任意xR恒成立,即x21a|x1|(*)對任意xR恒成立當x1時,(*)顯然成立,此時aR;當x1時,(*)可變形為a,令(x)因為當x>1時,(x)>2,當x<1時,(x)>2,所以(x)>2,故此時a2.綜合,得所求實數(shù)a的取值范圍是(,2(2)h(x)當0,即a0時,(x2axa1)maxh(0)a1,(x2axa1)maxh(2)a3.此時,h(x)maxa3.當0<1,即2a<0時,(x2axa1)maxha1,(x2axa1)maxh(2)a3.此時h(x)maxa3.當1<2,即4a<2時,(x2axa1)maxh(1)0,(x2axa1)maxmaxh(1),h(2)max0,3a此時h(x)max當>2,即a<4時,(x2axa1)maxh(1)0,(x2axa1)maxh(1)0.此時h(x)max0.綜上,h(x)max方法總結(jié)【p24】1二次函數(shù)、一元二次不等式和一元二次方程是一個有機的整體,要深刻理解它們之間的關(guān)系,運用函數(shù)方程的思想、方法將它們進行適當?shù)霓D(zhuǎn)化,這是準確迅速解決此類問題的關(guān)鍵2對二次函數(shù)yax2bxc(a0)在m,n上的最值的研究是本講內(nèi)容的重點,對如下結(jié)論必須熟練掌握:(1)當xm,n時,是它的一個最值,另一個最值在區(qū)間端點取得(2)當xm,n時,最大值和最小值分別在區(qū)間的兩個端點處取得(3)二次函數(shù)在某個區(qū)間上的最值問題的處理,常常要利用數(shù)形結(jié)合的思想和分類討論的思想3二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a0),當a0且0時f(x)0恒成立;當a0且0時f(x)0恒成立4二次函數(shù)問題大多通過數(shù)形結(jié)合求解,同時注意分類討論和等價轉(zhuǎn)化走進高考【p24】1(2017·浙江)若函數(shù)f(x)x2axb在區(qū)間0,1上的最大值是M,最小值是m,則Mm()A與a有關(guān),且與b有關(guān)B與a有關(guān),但與b無關(guān)C與a無關(guān),且與b無關(guān)D與a無關(guān),但與b有關(guān)【解析】因為最值在f(0)b,f(1)1ab,fb中取,所以最值之差一定與b無關(guān),選B.【答案】B- 9 -

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