（江蘇專用）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題六 概率、統(tǒng)計、復(fù)數(shù)、算法、推理與證明 第5講 推理與證明練習(xí) 文 蘇教版

第5講推理與證明1(2019·蘇州期末)從11，14(12)，149123，14916(1234)，歸納出第n個式子為_答案 14916(1)n1n2(1)n1(123n)2觀察下列等式：1，1，1，據(jù)此規(guī)律，第n個等式可為_解析 等式的左邊的通項為，前n項和為1；右邊的每個式子的第一項為，共有n項，故為答案 13(2019·徐州模擬)已知數(shù)列an中，a1，an1，則該數(shù)列的前22項和等于_解析 因為a1，an1，所以a21，a32，a4，所以數(shù)列an是以3為周期的周期數(shù)列，所以S227(a1a2a3)a17×11答案 114(2019·宿遷調(diào)研)觀察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，則a10b10_解析 從給出的式子特點觀察可推知，從第三項開始，后一個式子的右端值等于它前面兩個式子右端值的和，照此規(guī)律，則a10b10123答案 1235 如圖，在圓內(nèi)畫1條弦，把圓分成2部分；畫2條相交的弦，把圓分成4部分；畫3條兩兩相交的弦，最多把圓分成7部分；畫n條兩兩相交的弦，最多把圓分成_個部分解析 易知當(dāng)n條弦的交點不在圓周上，且沒有公共交點時，把圓分的部分最多當(dāng)畫1條弦時，分成11個部分；當(dāng)畫2條弦時，分成112個部分；當(dāng)畫3條弦時，分成1123個部分；所以畫n條弦時，分成1123n(n2n)1(個)部分答案 (n2n)16(2019·南京模擬)命題p：已知橢圓1(a>b>0)，F(xiàn)1、F2是橢圓的兩個焦點，P為橢圓上的一個動點，過F2作F1PF2的外角平分線的垂線，垂足為M，則OM的長為定值類比此命題，在雙曲線中也有命題q：已知雙曲線1(a>0，b>0)，F(xiàn)1、F2是雙曲線的兩個焦點，P為雙曲線上的一個動點，過F2作F1PF2的_的垂線，垂足為M，則OM的長為定值_解析 對于橢圓，延長F2M與F1P的延長線交于Q由對稱性知，M為F2Q的中點，且PF2PQ，從而OMF1Q且OMF1Q而F1QF1PPQF1PPF22a，所以O(shè)Ma對于雙曲線，過F2作F1PF2內(nèi)角平分線的垂線，垂足為M，類比可得OMa因為OMF1Q(PF1PF2)·2aa答案 內(nèi)角平分線a7設(shè)ABC的三邊長分別為a、b、c，ABC的面積為S，內(nèi)切圓半徑為r，則r類比這個結(jié)論可知：四面體ABCD的四個面的面積分別為S1、S2、S3、S4，內(nèi)切球半徑為R，四面體ABCD的體積為V，則R_解析 設(shè)四面體ABCD的內(nèi)切球的球心為O，連結(jié)OA，OB，OC，OD，將其分割成四個四面體，由分割法可得VS1RS2RS3RS4R，所以R答案 8(2019·江蘇省高考命題研究專家原創(chuàng)卷(八)已知下列等式：22422426224224262821026022426282102122142112觀察上述等式的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)第n(nN*)個等式的右邊可以表示為an2bnc(a，b，c為實常數(shù))的形式，則c_解析 法一：每個等式的左邊有(2n1)個偶數(shù)的平方相加減，第一個偶數(shù)為2，最后一個偶數(shù)為2(2n1)，正負(fù)相間，所以第n個等式的左邊為224262822(2n2)22(2n1)2，即424682(2n2)2(2n1)4(123452n22n1)8n24n，所以a8，b4，c0，所以c2法二：令n1，2，3，得解得，所以c2答案 29(2019·無錫質(zhì)量檢測)有甲、乙二人去看望高中數(shù)學(xué)老師張老師，期間他們做了一個游戲，張老師的生日是m月n日，張老師把m告訴了甲，把n告訴了乙，然后張老師列出來如下10個日期供選擇：2月5日，2月7日，2月9日，5月5日，5月8日，8月4日，8月7日，9月4日，9月6日，9月9日看完日期后，甲說：“我不知道，但你一定也不知道”乙聽了甲的話后，說：“本來我不知道，但現(xiàn)在我知道了”甲接著說：“哦，現(xiàn)在我也知道了”則張老師的生日是_解析 根據(jù)甲說的“我不知道，但你一定也不知道”，可排除5月5日、5月8日、9月4日、9月6日、9月9日；根據(jù)乙聽了甲的話后說的“本來我不知道，但現(xiàn)在我知道了”，可排除2月7日、8月7日；根據(jù)甲接著說的“哦，現(xiàn)在我也知道了”，可以得知張老師生日為8月4日答案 8月4日10(2019·武漢調(diào)研)如圖(1)所示，在平面幾何中，設(shè)O是等腰直角三角形ABC的底邊BC的中點，AB1，過點O的動直線與兩腰或其延長線的交點分別為R，Q，則有2類比以上結(jié)論，將其拓展到空間中，如圖(2)所示，設(shè)O是正三棱錐A­BCD的底面BCD的中心，AB，AC，AD兩兩垂直，AB1，過點O的動平面與三棱錐的三條側(cè)棱或其延長線的交點分別為Q，R，P，則有_解析 設(shè)O到正三棱錐A­BCD三個側(cè)面的距離為d，易知V三棱錐R­AQPSAQP·AR×·AQ·AP·ARAQ·AP·AR又因為V三棱錐R­AQPV三棱錐O­AQPV三棱錐O­ARPV三棱錐O­AQRSAQP·dSARP·dSAQR·d(AQ·APAR·APAQ·AR)d，所以AQ·AP·AR(AQ·APAR·APAQ·AR)d，即而V三棱錐A­BDC××1×1×1，所以V三棱錐O­ABDV三棱錐A­BDC，即·SABD·d××d，所以d，所以3答案 311(2019·蘇州期末)某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)asin213°cos217°sin 13°cos 17°；sin215°cos215°sin 15°cos 15°；sin218°cos212°sin 18°cos 12°；sin2(18°)cos248°sin(18°)cos 48°；sin2(25°)cos255°sin(25°)cos 55°(1)從上述五個式子中選擇一個，求出常數(shù)a；(2)根據(jù)(1)的計算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為一個三角恒等式，并證明你的結(jié)論解 (1)選擇式計算：asin215°cos215°sin 15°cos 15°1sin 30°(2)猜想的三角恒等式為：sin2cos2(30°)sin cos(30°)證明如下：sin2cos2(30°)sin cos(30°)sin2(cos 30°cos sin 30°sin )2sin (cos 30°·cos sin 30°sin )sin2cos2sin cos sin2sin cos sin2sin2cos212(2019·徐州模擬)已知函數(shù)f(x)x1，設(shè)g1(x)f(x)，gn(x)f(gn1(x)(n>1，nN*)，(1)求g2(x)，g3(x)的表達(dá)式，并猜想gn(x)(nN*)的表達(dá)式(直接寫出猜想結(jié)果)；(2)若關(guān)于x的函數(shù)yx2i(x) (nN*)在區(qū)間，1上的最小值為6，求n的值(符號“”表示求和，例如：i123n)解 (1)因為g1(x)f(x)x1，所以g2(x)f(g1(x)f(x1)(x1)1x2，g3(x)f(g2(x)f(x2)(x2)1x3，所以猜想gn(x)xn(2)因為gn(x)xn，所以i(x)g1(x)g2(x)gn(x)nx，所以yx2i(x)x2nx當(dāng)1，即n2時，函數(shù)y在區(qū)間(，1上是減函數(shù)，所以當(dāng)x1時，ymin6，即n2n100，該方程沒有整數(shù)解當(dāng)<1，即n>2時，ymin6，解得n4，綜上所述，n413由部分自然數(shù)構(gòu)成如圖所示的數(shù)表，用aij(ij)表示第i行第j個數(shù)(i，jN*)，使ai1aiii，每行中的其余各數(shù)分別等于其“肩膀”上的兩個數(shù)的和設(shè)第n(nN*)行中各數(shù)的和為bn(1)用bn表示bn1；(2)試問：數(shù)列bn中是否存在不同的三項bp，bq，br(p，q，rN*)恰好成等差數(shù)列？若存在，求出p，q，r的關(guān)系；若不存在，請說明理由解 (1)bnan1an2ann，bn1a(n1)1a(n1)2a(n1)(n1)n1(an1an2)(an(n1)ann)n12(an1an2ann)22bn2(2)因為bn12bn2，所以bn122(bn2)，所以bn2是以b123為首項，2為公比的等比數(shù)列， 則bn23·2n1bn3·2n12若數(shù)列bn中存在不同的三項bp，bq，br(p，q，rN*)恰好成等差數(shù)列，不妨設(shè)p>q>r，顯然bn是遞增數(shù)列，則2bqbpbr，即2(3·2q12)(3·2p12)(3·2r12)，化簡得：2·2qr2pr1，(*)由于p，q，rN*，且p>q>r，知qr1，pr2，所以(*)式左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)， 故數(shù)列bn中不存在不同的三項bp，bq，br(p，q，rN*)恰好成等差數(shù)列14已知函數(shù)f(x)(axax)，其中a>0且a1(1)分別判斷f(x)在(，)上的單調(diào)性；(2)比較f(1)1與f(2)2、f(2)2與f(3)3的大小，由此歸納出一個更一般的結(jié)論，并證明；(3)比較與、與的大小，由此歸納出一個更一般的結(jié)論，并證明解 (1)f(x)(axax)ln a，若0<a<1，則<0，ln a<0，所以f(x)>0，若a>1，則>0，ln a>0，所以f(x)>0；因此，對任意a>0且a1，都有f(x)>0，f(x)在(，)上單調(diào)遞增(2)直接計算知f(1)10，f(2)2aa12，f(3)3a2a22，根據(jù)基本不等式aa12>0，所以f(2)2>f(1)1，又因為(a2a22)(aa12)(aa1)2()2()2(aa11)(a1)2(aa11)>0，所以f(3)3>f(2)2一般性結(jié)論：x>0，f(x1)(x1)>f(x)x證明：記g(x)f(x1)(x1)f(x)x(ax1ax1)(axax)11，g(x)ln a與(1)類似地討論知，對x>0和a>0且a1都有g(shù)(x)>0，g(x)在(0，)上單調(diào)遞增，g(0)0，所以g(x)>g(0)0，即x>0，f(x1)(x1)>f(x)x(3)1，(aa1)，根據(jù)基本不等式(aa1)>1，>>0，所以>>一般性結(jié)論：x>0，>證明：記g(x)，x>0，g(x)×，設(shè)h(x)，則h(0)0且h(x)，類似(1)的討論知對x>0和a>0且a1，h(x)>0，從而h(x)>h(0)0，g(x)>0，g(x)在(0，)上單調(diào)遞增，所以x>0，>- 8 -