(浙江專用)2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題5 平面向量 第36練 平面向量的應(yīng)用練習(xí)(含解析)

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1、第36練 平面向量的應(yīng)用 [基礎(chǔ)保分練] 1.(2019·杭州模擬)已知平面向量a,b,e滿足|e|=1,a·e=1,b·e=-2,|a+b|=2,則a·b的最大值為(  ) A.-1B.-2C.-D.- 2.點(diǎn)P是△ABC所在平面上一點(diǎn),滿足|-|-|+-2|=0,則△ABC的形狀是(  ) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等邊三角形 3.已知a,b是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量,若向量c滿足(c-a)·(c-b)=0,則|c|的最大值是(  ) A.1B.2C.D. 4.(2019·嘉興模擬)已知在△ABC中,AB=3,AC=2,∠BAC=60°,

2、點(diǎn)D,E分別在邊BC和AC上,且=,=λ,若·=-,則實(shí)數(shù)λ的值為(  ) A.B.C.D. 5.若向量a,b滿足|a|=1,|b|=2,|a+b|=|a-b|,則|ta+(1-t)b|(t∈R)的最小值為(  ) A.B.C.D. 6.(2019·溫州模擬)在矩形ABCD中,AB=3AD=3,E為CD上一點(diǎn),AE交BD于點(diǎn)F,若·=0,則·等于(  ) A.B.C.D. 7.設(shè)O是平面ABC內(nèi)一定點(diǎn),P為平面ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),若(-)·(+)=(-)·(+)=(-)·(+)=0,則O為△ABC的(  ) A.內(nèi)心B.外心C.重心D.垂心 8.(2019·臺(tái)州模擬)如圖,等腰梯形

3、ABCD的高為1,DC=2,AB=4,E,F(xiàn)分別為兩腰上的點(diǎn),且·=-8,則·的值為(  ) A.-10B.-8C.-6D.-4 9.(2019·金華一中模擬)如圖,在平面四邊形ABCD中,∠ABC=90°,∠DCA=2∠BAC.若=x+y(x,y∈R),則x-y的值為________. 10.在△ABC中,D為邊BC的中點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)E在線段AD上移動(dòng)時(shí),若=λ+μ,則s=λ·μ的最大值為________. [能力提升練] 1.設(shè)點(diǎn)G為△ABC的重心,·=0,且||=,則△ABC面積的最大值是(  ) A.2B.C.D.1 2.(2019·寧波“十校”聯(lián)考)記max{a,

4、b}=在△AOB中,∠AOB=90°,P為斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn).設(shè)M=max{·,·},則當(dāng)M取最小值時(shí),等于(  ) A.B.C.2D.3 3.△ABC中,已知·=0,且·=-,則△ABC是(  ) A.三邊互不相等的三角形 B.等邊三角形 C.等腰直角三角形 D.頂角為鈍角的等腰三角形 4.(2019·學(xué)軍中學(xué)模擬)已知?jiǎng)又本€l與圓O:x2+y2=4相交于A,B兩點(diǎn),且滿足|AB|=2,點(diǎn)C為直線l上一點(diǎn),且滿足=,若M是線段AB的中點(diǎn),則·的值為(  ) A.3B.2C.2D.-3 5.如圖直角梯形ABCD中,AB=BC=2,CD=1,AB∥CD,AD⊥AB.點(diǎn)P是直角

5、梯形區(qū)域內(nèi)任意一點(diǎn),·≤0.點(diǎn)P所在區(qū)域的面積是________. 6.(2019·嵊州模擬)已知扇環(huán)如圖所示,∠AOB=120°,OA=2,OA′=,P是扇環(huán)邊界上一動(dòng)點(diǎn),且滿足=x+y,則2x+y的取值范圍為______________. 答案精析 基礎(chǔ)保分練 1.D 2.B 3.C 4.C 5.B 6.B 7.B 8.D 9.-1 10. 能力提升練 1.B [由·=0,可得BG⊥CG, 取BC的中點(diǎn)D,則GD=,GA=, 設(shè)GC=2x,GB=2y,所以三角形的面積為 S=2x·2y·+2x··sin∠CGA·+2y··sin∠BGA·,且∠CGA+∠BGA=2

6、70°, 所以S=2xy+x·sin∠CGA-y·cos∠CGA =2xy+sin(∠CGA+φ). 而BG⊥CG,故直角三角形BCG中4x2+4y2=2,即x2+y2=, 所以S=2xy+sin(∠CGA+φ) 又x2+y2=≥2xy, 所以S=2xy+sin(∠CGA+φ)≤+1=,故選B.] 2.C [M取最小值時(shí),·=·,即·=0,亦即OP⊥AB.根據(jù)直角三角形的射影定理,可得==2=2,故選C.] 3.C [∵·=0,,分別為單位向量, ∴∠A的角平分線與BC垂直,∴AB=AC, ∵cosB==-·=,∴B=, ∴三角形為等腰直角三角形.故選C.] 4.A [

7、方法一 動(dòng)直線l與圓O:x2+y2=4相交于A,B兩點(diǎn),連接OA,OB.因?yàn)閨AB|=2,所以△AOB為等邊三角形,于是不妨設(shè)動(dòng)直線l為y=(x+2),如圖所示,根據(jù)題意可得B(-2,0),A(-1,), 因?yàn)镸是線段AB的中點(diǎn), 所以M.設(shè)C(x,y), 因?yàn)椋剑? 所以(-2-x,-y)=(-1-x,-y), 所以 解得 所以C,所以·=·=+=3.故選A. 方法二 連接OA,OB,因?yàn)橹本€l與圓O:x2+y2=4相交于A,B兩點(diǎn),且|AB|=2,所以△AOB為等邊三角形. 因?yàn)椋?,所以=+=+=+-=-,又M為AB的中點(diǎn),所以=+,且與的夾角為60°,則·=·=2-2

8、+||||cos60°=×4-×4+×2×2×=3,故選A.] 5.+ 解析 如圖所示,△ABE中,AB=2,∠ABE=60°,∠BAE=90°,D,C分別為邊AE,BE的中點(diǎn),則梯形ABCD即為滿足題意的圖形,以AB為直徑的圓G及其內(nèi)部的點(diǎn)滿足·≤0,則圖中的陰影部分為滿足題意的點(diǎn)P所在區(qū)域. 其中△BFG為邊長為1的等邊三角形,其面積S1=×1×1×sin 60°=,扇形AGF是半徑為1,圓心角為120°的扇形,其面積為S2=×(π×12)=,綜上可得點(diǎn)P所在區(qū)域的面積是S1+S2=+. 6. 解析 以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),以O(shè)A為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,易知A(2,0),B(-1,

9、), (1)當(dāng)點(diǎn)P在AA′上運(yùn)動(dòng)時(shí),向量與共線,顯然y=0,此時(shí)=x=(2x,0),≤2x≤2,所以≤2x+y≤2; (2)當(dāng)點(diǎn)P在BB′上運(yùn)動(dòng)時(shí),向量與共線,顯然x=0,此時(shí)=y(tǒng)=(-y,y),-2cos60°≤-y≤-cos60°, 即≤y≤1,所以≤2x+y≤1; (3)當(dāng)點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)時(shí),設(shè)P(2cosα,2sinα),α∈,由=x+y, 得(2cosα,2sinα)=x(2,0)+y(-1,),即2cosα=2x-y,2sinα=y(tǒng),可得2x+y=sinα+2cosα,變形可得2x+y=sin(α+φ),其中tanφ=,因?yàn)镻是扇環(huán)邊界上一動(dòng)點(diǎn),且滿足=x+y,所以x,y均為非負(fù)實(shí)數(shù),φ∈(k∈Z),因?yàn)棣痢?,φ∈,所以?dāng)α+φ=時(shí),2x+y取得最大值,2x+y的最大值為,由α+φ∈,所以當(dāng)α=時(shí),2x+y取得最小值,2x+y的最小值為1; (4)同理可得當(dāng)點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)時(shí),因?yàn)椋剑?,?x+y的最大值為×=,最小值為×1=.綜上所述,2x+y∈. 7

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