高中數(shù)學(xué) 3_2 回歸分析教案1 蘇教版選修2-31

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3.2回歸分析（1） 教學(xué)目標(biāo) （1）通過實(shí)例引入線性回歸模型，感受產(chǎn)生隨機(jī)誤差的原因； （2）通過對(duì)回歸模型的合理性等問題的研究，滲透線性回歸分析的思想和方法； （3）能求出簡(jiǎn)單實(shí)際問題的線性回歸方程． 教學(xué)重點(diǎn)，難點(diǎn) 線性回歸模型的建立和線性回歸系數(shù)的最佳估計(jì)值的探求方法． 教學(xué)過程 一．問題情境 1． 情境：對(duì)一作直線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程觀測(cè)了次，得到如下表所示的數(shù)據(jù)，試估計(jì)當(dāng)x=９時(shí)的位置y的值． 時(shí)刻/s 位置觀測(cè)值/cm 根據(jù)《數(shù)學(xué)（必修）》中的有關(guān)內(nèi)容，解決這個(gè)問題的方法是： 先作散點(diǎn)圖，如下圖所示： 從散點(diǎn)圖中可以看出，樣本點(diǎn)呈直線趨勢(shì)，時(shí)間與位置觀測(cè)值y之間有著較好的線性關(guān)系．因此可以用線性回歸方程來刻畫它們之間的關(guān)系．根據(jù)線性回歸的系數(shù)公式， 可以得到線性回歸方為，所以當(dāng)時(shí)，由線性回歸方程可以估計(jì)其位置值為 2．問題：在時(shí)刻時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)位置一定是嗎？ 二．學(xué)生活動(dòng) 思考，討論：這些點(diǎn)并不都在同一條直線上，上述直線并不能精確地反映與之間的關(guān)系，的值不能由完全確定，它們之間是統(tǒng)計(jì)相關(guān)關(guān)系，的實(shí)際值與估計(jì)值之間存在著誤差． 三．建構(gòu)數(shù)學(xué) 1．線性回歸模型的定義： 我們將用于估計(jì)值的線性函數(shù)作為確定性函數(shù)； 的實(shí)際值與估計(jì)值之間的誤差記為，稱之為隨機(jī)誤差； 將稱為線性回歸模型． 說明：（1）產(chǎn)生隨機(jī)誤差的主要原因有： ①所用的確定性函數(shù)不恰當(dāng)引起的誤差； ②忽略了某些因素的影響； ③存在觀測(cè)誤差． （2）對(duì)于線性回歸模型，我們應(yīng)該考慮下面兩個(gè)問題： ①模型是否合理（這個(gè)問題在下一節(jié)課解決）； ②在模型合理的情況下，如何估計(jì)，？ 2．探求線性回歸系數(shù)的最佳估計(jì)值： 對(duì)于問題②，設(shè)有對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)，根據(jù)線性回歸模型，對(duì)于每一個(gè)，對(duì)應(yīng)的隨機(jī)誤差項(xiàng)，我們希望總誤差越小越好，即要使越小越好．所以，只要求出使取得最小值時(shí)的，值作為，的估計(jì)值，記為，． 注：這里的就是擬合直線上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離． 用什么方法求，？ 回憶《數(shù)學(xué)3（必修）》“2．4線性回歸方程”P71“熱茶問題”中求，的方法：最小二乘法． 利用最小二乘法可以得到，的計(jì)算公式為 ， 其中， 由此得到的直線就稱為這對(duì)數(shù)據(jù)的回歸直線，此直線方程即為線性回歸方程．其中，分別為，的估計(jì)值，稱為回歸截距，稱為回歸系數(shù)，稱為回歸值． 在前面質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的線性回歸方程中，，． 3． 線性回歸方程中，的意義是：以為基數(shù)，每增加1個(gè)單位，相應(yīng)地平均增加個(gè)單位； 4． 化歸思想（轉(zhuǎn)化思想） 在實(shí)際問題中，有時(shí)兩個(gè)變量之間的關(guān)系并不是線性關(guān)系，這就需要我們根據(jù)專業(yè)知識(shí)或散點(diǎn)圖，對(duì)某些特殊的非線性關(guān)系，選擇適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，把非線性方程轉(zhuǎn)化為線性回歸方程，從而確定未知參數(shù)．下面列舉出一些常見的曲線方程，并給出相應(yīng)的化為線性回歸方程的換元公式． （1），令，，則有． （2），令，，，則有． （3），令，，，則有． （4），令，，，則有． （5），令，，則有． 四．?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)用 1．例題： 例1．下表給出了我國(guó)從年至年人口數(shù)據(jù)資料，試根據(jù)表中數(shù)據(jù)估計(jì)我國(guó)年的人口數(shù)． 年份 人口數(shù)/百萬 解：為了簡(jiǎn)化數(shù)據(jù)，先將年份減去，并將所得值用表示，對(duì)應(yīng)人口數(shù)用表示，得到下面的數(shù)據(jù)表： 作出個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的散點(diǎn)圖， 由圖可知，這些點(diǎn)在一條直線附近，可以用線性回歸模型來表示它們之間的關(guān)系． 根據(jù)公式（1）可得 這里的分別為的估 計(jì)值，因此線性回歸方程 為 由于年對(duì)應(yīng)的,代入線性回歸方程可得（百萬），即年的人口總數(shù)估計(jì)為13.23億. 例2． 某地區(qū)對(duì)本地的企業(yè)進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查，下表是這次抽查中所得到的各企業(yè)的人均資本（萬元）與人均產(chǎn)出（萬元）的數(shù)據(jù)： 人均 資本 /萬元 人均 產(chǎn)出 /萬元 （1）設(shè)與之間具有近似關(guān)系（為常數(shù)），試根據(jù)表中數(shù)據(jù)估計(jì)和的值； （2）估計(jì)企業(yè)人均資本為萬元時(shí)的人均產(chǎn)出（精確到）． 分析：根據(jù)，所具有的關(guān)系可知，此問題不是線性回歸問題，不能直接用線性回歸方程處理．但由對(duì)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)可知，只要對(duì)的兩邊取對(duì)數(shù)，就能將其轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系． 解（1）在的兩邊取常用對(duì)數(shù)，可得，設(shè)，，，則．相關(guān)數(shù)據(jù)計(jì)算如圖所示． 1 人均資本/萬元 3 4 5.5 6.5 7 8 9 10.5 11.5 14 2 人均產(chǎn)出/萬元 4.12 4.67 8.68 11.01 13.04 14.43 17.5 25.46 26.66 45.2 3 0.47712 0.60206 0.74036 0.81291 0.8451 0.90309 0.95424 1.02119 1.0607 1.14613 4 0.6149 0.66932 0.93852 1.04179 1.11528 1.15927 1.24304 1.40586 1.42586 1.65514 仿照問題情境可得，的估計(jì)值，分別為由可得，即，的估計(jì)值分別為和． （2）由（1）知．樣本數(shù)據(jù)及回歸曲線的圖形如圖（見書本 頁） 當(dāng)時(shí)，（萬元），故當(dāng)企業(yè)人均資本為萬元時(shí)，人均產(chǎn)值約為萬元． 2．練習(xí)：練習(xí)第題． 五．回顧小結(jié)： 1． 線性回歸模型與確定性函數(shù)相比，它表示與之間是統(tǒng)計(jì)相關(guān)關(guān)系（非確定性關(guān)系）其中的隨機(jī)誤差提供了選擇模型的準(zhǔn)則以及在模型合理的情況下探求最佳估計(jì)值，的工具； 2． 線性回歸方程中，的意義是：以為基數(shù)，每增加1個(gè)單位，相應(yīng)地平均增加個(gè)單位； 3．求線性回歸方程的基本步驟． 六．課外作業(yè)：．