高中數(shù)學 模塊綜合檢測A 新人教A版選修2-1

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模塊綜合檢測A 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1．命題“存在實數(shù)x，使x＞1”的否定是(　　) A．對任意實數(shù)x，都有x＞1　 B．不存在實數(shù)x，使x≤1 C．對任意實數(shù)x，都有x≤1 D．存在實數(shù)x，使x≤1 解析：　利用特稱(存在性)命題的否定是全稱命題求解． “存在實數(shù)x，使x＞1”的否定是“對任意實數(shù)x，都有x≤1”．故選C. 答案：　C 2．在命題“若x∈R，f(x)＝0，則函數(shù)f(x)是奇函數(shù)”的逆命題、否命題與逆否命題中，真命題的個數(shù)是(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 解析：　原命題與逆否命題是假命題，逆命題與否命題是真命題． 答案：　B 3．已知直線l⊥平面α，直線m?平面β，則“l(fā)∥m”是“α⊥β”的(　　) A．充要條件 B．必要條件 C．充分條件 D．既不充分也不必要條件 解析：　??α⊥β， ∴“l(fā)∥m”是“α⊥β”的充分條件， ?/ l∥m. 答案：　C 4．已知命題p：若x2＋y2＝0(x，y∈R)，則x，y全為0；命題q：若a>b，則<.給出下列四個復合命題：①p且q；②p或q；③p；④q.其中真命題的個數(shù)是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：　命題p為真，命題q為假，故p或q真，q真． 答案：　B 5．已知i，j，k是空間直角坐標系Oxyz中x軸、y軸、z軸正方向上的單位向量，且＝2k，＝－i＋j－k，則點B的坐標為(　　) A．(－1,1，－1) B．(－i，j，－k) C．(1，－1，－1) D．(－1,1,1) 解析：　設點B的坐標為(x，y，z)， 則有＝(x，y，z－2)＝(－1,1，－1)， ∴解得故選D. 答案：　D 6．如下圖所示，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為(　　) A. B. C. D. 解析：　連接BC1，則BC1∥AD1，∠A1BC1為A1B與AD1所成角，不妨設AB＝1，則AA1＝2.cos∠A1BC1＝＝＝. 答案：　D 7．以－＝－1的焦點為頂點，頂點為焦點的橢圓方程為(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：　雙曲線－＝－1，即－的焦點為(0，4)，頂點為(0，2)．所以對橢圓＋＝1而言，a2＝16，c2＝12.∴b2＝4，因此方程為＋＝1. 答案：　D 8．如圖，在銳二面角α－l－β的棱l上有兩點A，B，點C，D分別在平面α、β內(nèi)，且AC⊥AB，∠ABD＝45，AC＝BD＝AB＝1，AC與BD所成角為45，則CD的長度為(　　) A.－1 B．2 C. D. 解析：　||＝ ＝ ＝ ＝＝－1. 答案：　A 9．設F1，F(xiàn)2是雙曲線x2－4y2＝4a(a>0)的兩個焦點，點P在雙曲線上，且滿足：＝0，||||＝2，則a的值為(　　) A．2 B. C．1 D. 解析：　雙曲線方程化為－＝1(a>0)， ∵＝0，∴PF1⊥PF2. ∴||2＋||2＝4c2＝20a， ① 由雙曲線定義||－||＝4， ② 又已知：||||＝2， ③ 由①②③得：20a－22＝16a，∴a＝1. 答案：　C 10．設l1的方向向量為a＝(1,2，－2)，l2的方向向量為b＝(－2，3，m)，若l1⊥l2，則實數(shù)m的值為(　　) A．2 B．1 C. D．3 解析：　∵l1⊥l2，∴a⊥b，即ab＝0， ∴1(－2)＋23＋(－2)m＝0，解得m＝2. 答案：　A 11．雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線與拋物線y＝x2＋1相切，則雙曲線的離心率為(　　) A. B. C. D．2 解析：　雙曲線的漸近線為y＝x，根據(jù)對稱性，不妨取y＝x，代入拋物線得x＝x2＋1，整理得ax2－bx＋a＝0.因為漸近線與拋物線相切，所以判別式Δ＝b2－4a2＝0，即c2＝a2＋b2＝5a2，解得e2＝＝5，所以離心率e＝.故選B. 答案：　B 12．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，平面A1BD與平面C1BD所成二面角的余弦值為(　　) A. B. C. D. 解析：　以點D為原點，DA，DC，DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，設正方體的棱長為1，則＝(－1,1，－1)，＝(－1,1,1)． 可以證明A1C⊥平面BC1D，AC1⊥平面A1BD. 又cos〈，〉＝，結(jié)合圖形可知平面A1BD與平面C1BD所成二面角的余弦值為. 答案：　C 二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分．將答案填在題中的橫線上) 13．(1)命題?x∈R，x2－x＋3>0的否定是________； (2)命題?x0∈R，x＋3x0－4≤0的否定是________． 答案：　(1)?x0∈R，x－x0＋3≤0 (2)?x∈R，x2＋3x－4>0 14．已知a＝(1,2，－y)，b＝(x,1,2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，則x＝________，y＝________. 解析：　∵a＋2b＝(1＋2x,2＋2，－y＋4)＝(2x＋1,4,4－y)， 2a－b＝(2－x,4－1，－2y－2)＝(2－x,3，－2y－2)， (a＋2b)∥(2a－b)， ∴＝，得x＝，＝，得y＝－4. 答案：　?。? 15．雙曲線x2－y2＝1的右支上到直線y＝x的距離為的點的坐標是________． 解析：　設雙曲線的右支上的點為P(x，y)，x>0，則＝，|x－y|＝2.又x2－y2＝1， 解得x＝，y＝－或x＝－，y＝(舍去)，所以所求點的坐標為. 答案：　 16．正方體ABCD－A1B1C1D1中，O為側(cè)面BCC1B1的中心，則AO與平面ABCD所成角的正弦值為________． 解析：　方法一：如圖，取BC的中點M，連接OM，AM. 則OM⊥平面ABCD. ∴∠OAM為AO與平面ABCD的夾角． 令AB＝2，則AM＝，OM＝1， ∴AO＝.sin∠OAM＝. 方法二：以D為原點，DA，DC，DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立直角坐標系，令AB＝2， 則A(2,0,0)，O(1,2,1)， ∴＝(－1,2,1)． 又＝(0,0,2)為平面ABCD的法向量．設AO與平面所成角為α， 則sin α＝|cos〈，〉|＝＝＝. 答案：　 三、解答題(本大題共6小題，共74分．解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟) 17．(本小題滿分12分)設命題p：方程＋＝1表示焦點在x軸上的橢圓，命題q：關(guān)于x的方程x2＋ax＋2＝0無實數(shù)根．若命題“p且q”是真命題，求a的取值范圍． 解析：　由方程＋＝1表示焦點在x軸上的橢圓，得a>2. 由關(guān)于x的方程x2＋ax＋2＝0無實數(shù)根， 得Δ＝a2－8<0， ∴－210；q：1－m≤x≤1＋m2；p是q的充分而不必要條件，求實數(shù)m的取值范圍． 解析：　∵p：x<－2，或x>10； q：1－m≤x≤1＋m2， ∴p：－2≤x≤10. ∵p?q， ∴解得m≥3. 又∵q推不出p，∴m≠3. ∴m的取值范圍為(3，＋∞)． 20．(本小題滿分12分)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，直線l：y＝x＋2與以原點為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓O相切． (1)求橢圓C的方程； (2)設橢圓C與曲線|y|＝kx(k＞0)的交點為A，B，求△OAB面積的最大值． 解析：　(1)由題設可知，圓O的方程為x2＋y2＝b2， 因為直線l：x－y＋2＝0與圓O相切，故有 ＝b. 所以b＝. 已知e＝＝，所以有a2＝3c2＝3(a2－b2)． 所以a2＝3. 所以橢圓C的方程為＋＝1. (2)設點A(x0，y0)(x0＞0，y0＞0)，則y0＝kx0， 設AB交x軸于點D， 由對稱性知：S△OAB＝2S△OAD＝2x0y0＝kx. 由解得x＝. 所以S△OAB＝k＝≤＝. 當且僅當＝3k，即k＝時取等號． 所以△OAB面積的最大值. 21．(本小題滿分13分) 如圖，在空間直角坐標系中，四棱錐P－ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2，E，F(xiàn)分別是AD，PC的中點． (1)證明：PC⊥平面BEF； (2)求平面BEF與平面BAP所成的銳二面角的大?。? 解析：　(1)證明：∵AP＝AB＝2，BC＝2，四邊形ABCD是矩形． ∴A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2，0)，D(0,2，0)，P(0,0,2)． 又E，F(xiàn)分別是AD，PC的中點， ∴E(0，，0)，F(xiàn)(1，，1)． ∴＝(2,2，－2)，＝(－1，，1)， ＝(1,0,1)， ∴＝－2＋4－2＝0，＝2＋0－2＝0， ∴⊥，⊥， ∴PC⊥BF，PC⊥EF，BF∩EF＝F， ∴PC⊥平面BEF. (2)由(1)知平面BEF的法向量n1＝＝(2,2，－2)， 平面BAP的法向量n2＝＝(0,2，0)， ∴n1n2＝8， 設平面BEF與平面BAP所成的銳二面角為θ， 則cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝＝， ∴θ＝45，∴平面BEF與平面BAP所成的銳二面角為45. 22．(本小題滿分13分)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點在直線x＋2y＝2上． (1)求拋物線的標準方程； (2)直線y＝kx＋1(k>0)交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，AB的中垂線交x軸于點Q(x0,0)． ①當k＝1時，求x0的值； ②求x0的取值范圍． 解析：　(1)焦點在x軸上為(2,0)，拋物線方程為y2＝8x. (2)將y＝kx＋1代入拋物線方程并化簡得 k2x2＋(2k－8)x＋1＝0， Δ＝(2k－8)2－4k2>0,0， ∴x0＝42－＋4>42－＋4＝. ∴x0＞.