高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 專題3 突破點(diǎn)7 用樣本估計(jì)總體 理

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突破點(diǎn)7　用樣本估計(jì)總體 提煉1 頻率分布直方圖 (1)頻率分布直方圖中橫坐標(biāo)表示組距，縱坐標(biāo)表示，頻率＝組距. (2)頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形的面積之和為1. (3)利用頻率分布直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)，在頻率分布直方圖中： ①最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù)； ②中位數(shù)左邊和右邊的小長(zhǎng)方形的面積和是相等的； ③平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘以小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和. 提煉2 莖葉圖的優(yōu)點(diǎn) (1)所有的信息都可以從莖葉圖中得到． (2)可以幫助分析樣本數(shù)據(jù)的大致頻率分布情況. 提煉3 樣本的數(shù)字特征 (1)眾數(shù)、中位數(shù)． (2)樣本平均數(shù)＝(x1＋x2＋…＋xn)． (3)樣本方差s2＝(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]． (4)樣本標(biāo)準(zhǔn)差 s＝. 回訪　用樣本估計(jì)總體 1．(2015全國(guó)卷Ⅱ節(jié)選)某公司為了解用戶對(duì)其產(chǎn)品的滿意度，從A，B兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了20個(gè)用戶，得到用戶對(duì)產(chǎn)品的滿意度評(píng)分如下： A地區(qū)：62　73　81　92　95　85　74　64　53 76 78　86　95　66　97　78　88　82　76 89 B地區(qū)：73　83　62　51　91　46　53　73　64 82 93　48　65　81　74　56　54　76　65 79 根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成兩地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的莖葉圖，并通過(guò)莖葉圖比較兩地區(qū)滿意度評(píng)分的平均值及分散程度(不要求計(jì)算出具體值，給出結(jié)論即可)； 圖71 解]　兩地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的莖葉圖如下： 2分 通過(guò)莖葉圖可以看出，A地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的平均值高于B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的平均值；A地區(qū)用戶滿意度評(píng)分比較集中，B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分比較分散. 4分 2．(2013全國(guó)卷Ⅱ)經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個(gè)銷售季度內(nèi)，每售出1 t該產(chǎn)品獲利潤(rùn)500元，未售出的產(chǎn)品，每1 t虧損300元．根據(jù)歷史資料，得到銷售季度內(nèi)市場(chǎng)需求量的頻率分布直方圖，如圖72所示．經(jīng)銷商為下一個(gè)銷售季度購(gòu)進(jìn)了130 t該農(nóng)產(chǎn)品．以X(單位：t,100≤X≤150)表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)的市場(chǎng)需求量，T(單位：元)表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤(rùn)． 圖72 (1)將T表示為X的函數(shù)； (2)根據(jù)直方圖估計(jì)利潤(rùn)T不少于57 000元的概率； (3)在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個(gè)值，需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點(diǎn)值的概率(例如：若需求量X∈100,110)，則取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入100,110)的頻率)．求T的數(shù)學(xué)期望． 解]　(1)當(dāng)X∈100,130)時(shí)， T＝500X－300(130－X)＝800X－39 000. 當(dāng)X∈130,150]時(shí)， T＝500130＝65 000. 所以T＝4分 (2)由(1)知利潤(rùn)T不少于57 000元當(dāng)且僅當(dāng)120≤X≤150. 由直方圖知需求量X∈120, 150]的頻率為0.7，所以下一個(gè)銷售季度內(nèi)的利潤(rùn)T不少于57 000元的概率的估計(jì)值為0.7.7分 (3)依題意可得T的分布列為 T 45 000 53 000 61 000 65 000 P 0.1 0.2 0.3 0.4 10分 所以E(T)＝45 0000.1＋53 0000.2＋61 0000.3＋65 0000.4＝59 400.12分 熱點(diǎn)題型1　頻率分布直方圖 題型分析：頻率分布直方圖多以生活中的實(shí)際問(wèn)題為背景，考查學(xué)生運(yùn)用已知數(shù)據(jù)分析問(wèn)題的能力，難度中等. 　(2016合肥三模)某高中為了解全校學(xué)生每周參與體育運(yùn)動(dòng)的情況，隨機(jī)從全校學(xué)生中抽取100名學(xué)生，統(tǒng)計(jì)他們每周參與體育運(yùn)動(dòng)的時(shí)間如下： 每周參與運(yùn)動(dòng)的時(shí)間(單位：小時(shí)) 0,4) 4,8) 8,12) 12,16) 16,20] 頻數(shù) 24 40 28 6 2 (1)作出樣本的頻率分布直方圖； (2)①估計(jì)該校學(xué)生每周參與體育運(yùn)動(dòng)的時(shí)間的中位數(shù)及平均數(shù)； ②若該校有學(xué)生3 000人，根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，估計(jì)該校學(xué)生每周參與體育運(yùn)動(dòng)的時(shí)間不低于8小時(shí)的人數(shù)． 解]　(1)頻率分布直方圖如圖所示： (2)①由數(shù)據(jù)估計(jì)中位數(shù)為4＋4＝6.6，8分 估計(jì)平均數(shù)為20.24＋60.4＋100.28＋140.06＋180.02＝6.88.10分 ②將頻率看作概率知P(t≥8)＝0.36， ∴3 0000.36＝1 080.12分 解決該類問(wèn)題的關(guān)鍵是正確理解已知數(shù)據(jù)的含義．掌握?qǐng)D表中各個(gè)量的意義，通過(guò)圖表對(duì)已知數(shù)據(jù)進(jìn)行分析． 提醒：(1)小長(zhǎng)方形的面積表示頻率，其縱軸是，而不是頻率． (2)各組數(shù)據(jù)頻率之比等于對(duì)應(yīng)小長(zhǎng)方形的高度之比． 變式訓(xùn)練1]　某電子商務(wù)公司隨機(jī)抽取1 000名網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物者進(jìn)行調(diào)查．這1 000名購(gòu)物者2015年網(wǎng)上購(gòu)物金額(單位：萬(wàn)元)均在區(qū)間0.3,0.9]內(nèi)，樣本分組為：0.3,0.4)，0.4,0.5)，0.5,0.6)，0.6,0.7)，0.7,0.8)，0.8,0.9]，購(gòu)物金額的頻率分布直方圖如下： 圖73 電子商務(wù)公司決定給購(gòu)物者發(fā)放優(yōu)惠券，其金額(單位：元)與購(gòu)物金額關(guān)系如下： 購(gòu)物金額分組 0.3,0.5) 0.5,0.6) 0.6,0.8) 0.8,0.9] 發(fā)放金額 50 100 150 200 (1)求這1 000名購(gòu)物者獲得優(yōu)惠券金額的平均數(shù)； (2)以這1 000名購(gòu)物者購(gòu)物金額落在相應(yīng)區(qū)間的頻率作為概率，求一個(gè)購(gòu)物者獲得優(yōu)惠券金額不少于150元的概率． 解]　(1)購(gòu)物者的購(gòu)物金額x與獲得優(yōu)惠券金額y的頻率分布如下表： x 0.3≤x<0.5 0.5≤x<0.6 0.6≤x<0.8 0.8≤x≤0.9 y 50 100 150 200 頻率 0.4 0.3 0.28 0.02 這1 000名購(gòu)物者獲得優(yōu)惠券金額的平均數(shù)為： ＝96.4分 (2)由獲得優(yōu)惠券金額y與 購(gòu)物金額x的對(duì)應(yīng)關(guān)系，有 P(y＝150)＝P(0.6≤x<0.8)＝(2＋0.8)0.1＝0.28， P(y＝200)＝P(0.8≤x≤0.9)＝0.20.1＝0.02，10分 從而，獲得優(yōu)惠券不少于150元的概率為 P(y≥150)＝P(y＝150)＋P(y＝200)＝0.28＋0.02＝0.3.12分 熱點(diǎn)題型2　莖葉圖 題型分析：結(jié)合樣本數(shù)據(jù)和莖葉圖對(duì)總體作出估計(jì)是高考命題的熱點(diǎn)，應(yīng)引起足夠的重視，難度中等. 　(2016福州模擬)長(zhǎng)時(shí)間用手機(jī)上網(wǎng)嚴(yán)重影響著學(xué)生的身體健康，某校為了解A，B兩班學(xué)生手機(jī)上網(wǎng)的時(shí)長(zhǎng)，分別從這兩個(gè)班中隨機(jī)抽取5名同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，將他們平均每周手機(jī)上網(wǎng)的時(shí)長(zhǎng)作為樣本，繪制成莖葉圖如圖74所示(圖中的莖表示十位數(shù)字，葉表示個(gè)位數(shù)字)． 圖74 (1)分別求出圖中所給兩組樣本數(shù)據(jù)的平均值，并據(jù)此估計(jì)哪個(gè)班的學(xué)生平均上網(wǎng)時(shí)間較長(zhǎng)； (2)從A班的樣本數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取一個(gè)不超過(guò)19的數(shù)據(jù)記為a，從B班的樣本數(shù)據(jù)中隨機(jī)提取一個(gè)不超過(guò)21的數(shù)據(jù)記為b，求a>b的概率． 解]　(1)A班樣本數(shù)據(jù)的平均值為(9＋11＋14＋20＋31)＝17.3分 由此估計(jì)A班學(xué)生每周平均上網(wǎng)時(shí)間17小時(shí)； B班樣本數(shù)據(jù)的平均值為(11＋12＋21＋25＋26)＝19， 由此估計(jì)B班學(xué)生每周平均上網(wǎng)時(shí)間較長(zhǎng).6分 (2)A班的樣本數(shù)據(jù)中不超過(guò)19的數(shù)據(jù)a有3個(gè)，分別為9,11,14，B班的樣本數(shù)據(jù)中不超過(guò)21的數(shù)據(jù)b也有3個(gè)，分別為11,12,21，從A班和B班的樣本數(shù)據(jù)中各隨機(jī)抽取一個(gè)共有：9種不同情況，分別為(9,11)，(9,12)，(9,21)，(11,11)，(11,21)，(11,21)，(14,11)，(14,12)，(14,21)， 其中a>b的情況有(14,11)，(14,12)兩種， 故a>b的概率P＝.12分 作莖葉圖時(shí)先要弄清“莖”和“葉”分別代表什么，根據(jù)莖葉圖，可以得到數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)，也可從圖中直接估計(jì)出兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)大小與穩(wěn)定性． 變式訓(xùn)練2]　(名師押題)某車間20名工人年齡數(shù)據(jù)如下表： (1)求這20名工人年齡的眾數(shù)與極差； (2)以十位數(shù)為莖，個(gè)位數(shù)為葉，作出這20名工人年齡的莖葉圖； (3)求這20名工人年齡的方差． 解]　(1)由題表中的數(shù)據(jù)易知，這20名工人年齡的眾數(shù)是30，極差為40－19＝21.2分 (2)這20名工人年齡的莖葉圖如下： 6分 (3)這20名工人年齡的平均數(shù)＝(191＋283＋293＋305＋314＋323＋401)＝30，8分 故方差s2＝ 1(19－30)2＋3(28－30)2＋3(29－30)2＋5(30－30)2＋4(31－30)2＋3(32－30)2＋1(40－30)2]＝(121＋12＋3＋0＋4＋12＋100)＝12.6.12分