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第一章 常用邏輯用語
一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．下列語句中，不能成為命題的是( )
A．指數函數是增函數嗎？ B．2 012>2 013
C．若a⊥b，則ab＝0 D．存在實數x0，使得x0<0
解析： 疑問句不能判斷真假，因此不是命題．D是命題，且是個特稱命題．
答案： A
2．已知命題：“若x≥0，y≥0，則xy≥0”，則原命題、逆命題、否命題、逆否命題這四個命題中，真命題的個數是( )
A．1個 B．2個
C．3個 D．4個
解析： 原命題是真命題，逆否命題為真命題，逆命題為“若xy≥0，則x≥0，y≥0”是假命題，則否命題為假命題．
答案： B
3．設a∈R，則“a＝1”是“直線l1：ax＋2y－1＝0與直線l2：x＋2y＋4＝0平行”的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
解析： 先求出兩直線平行的條件，再判斷與a＝1的關系．
若l1∥l2，則2a－2＝0，∴a＝1.故a＝1是l1∥l2的充要條件．
答案： C
4．命題p：x＋y≠3，命題q：x≠1且y≠2，那么命題p是命題q的( )
A．充分條件 B．必要條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
解析： pq，且qp．所以選D.
答案： D
5．下列命題中是全稱命題并且是真命題的是( )
A．每個二次函數的圖象與x軸都有兩個不同的交點
B．對任意非正數c，若a≤b＋c，則a≤b
C．存在一個菱形不是平行四邊形
D．存在一個實數x使不等式x2－3x＋7<0成立
解析： A，B為全稱命題，但A為假命題；B是真命題．
答案： B
6．下列命題是真命題的是( )
A．“若x＝0，則xy＝0”的逆命題
B．“若x＝0，則xy＝0”的否命題
C．若x>1，則x>2
D．“若x＝2，則(x－2)(x－1)＝0”的逆否命題
解析： A中逆命題為：若xy＝0，則x＝0，錯誤；選項B中，否命題為：若x≠0，則xy≠0，錯誤；選項C中，若x>1，則x>2，顯然不正確；D選項中，因為原命題正確，所以逆否命題正確．
答案： D
7．有下列命題：①2012年10月1日是國慶節(jié)，又是中秋節(jié)；②9的倍數一定是3的倍數；③方程x2＝1的解是x＝1.其中使用邏輯聯結詞的命題有( )
A．1個 B．2個
C．3個 D．0個
解析： ①中有“且”；②中沒有；③中有“或”．
答案： B
8．已知命題p：任意x∈R，使x2－x＋＜0，命題q：存在x∈R，使sin x＋cos x＝，則下列判斷正確的是( )
A．p是真命題 B．q是假命題
C．p是假命題 D．q是假命題
解析： ∵任意x∈R，x2－x＋＝2≥0恒成立，
∴命題p假，p真；
又sin x＋cos x＝sin，當sin＝1時，
sin x＋cos x＝，
∴q真，q假．
答案： D
9．給定下列命題：
①“x>1”是“x>2”的充分不必要條件；
②“若sin α≠，則α≠”；
③“若xy＝0，則x＝0且y＝0”的逆否命題；
④命題“?x0∈R，使x－x0＋1≤0”的否定．
其中假命題的序號是( )
A．①②③ B．②④
C．①③ D．②③④
解析： “x>1”是“x>2”的必要不充分條件，①錯誤；②的逆否命題為：若α＝，則sin α＝正確，故②正確；若xy＝0，則x＝0或y＝0，③錯誤；④正確．
答案： C
10．不等式(a＋x)(1＋x)<0成立的一個充分而不必要條件是－2
2
解析： 不等式變形為(x＋1)(x＋a)<0，因當－2－a，即a>2，故選D.
答案： D
11．下列說法錯誤的是( )
A．如果命題“p”與命題“p或q”都是真命題，那么命題q一定是真命題
B．命題p：?x0∈R，x＋2x0＋2≤0，則p：?x∈R，x2＋2x＋2>0
C．命題“若a，b都是偶數，則a＋b是偶數”的否命題是“若a，b都不是偶數，則a＋b不是偶數”
D．特稱命題“?x∈R，使－2x2＋x－4＝0”是假命題
解析： A中p是真命題，則p是假命題，p或q是真命題，∴q是真命題，故A正確．B中，特稱命題的否定是全稱命題，B正確．C中，命題的否命題應為“若a，b不都是偶數，則a＋b不是偶數”，故C錯誤．D中，方程－2x2＋x－4＝0無實根，D正確．
答案： C
12．下列命題中為真命題的是( )
A．若x≠0，則x＋≥2
B．“a＝1”是“直線x－ay＝0與直線x＋ay＝0互相垂直”的充要條件
C．直線a，b為異面直線的充要條件是直線a，b不相交
D．若命題p：“?x∈R，x2－x－1＞0”，則命題p的否定為：“?x∈R，x2－x－1≤0”
解析： 命題A為假命題；當x＜0時不成立；直線x－ay＝0與直線x＋ay＝0互相垂直的充要條件是a＝1，故B為假命題；顯然命題C也是假命題．
答案： D
二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分．請把正確答案填在題中橫線上)
13．“對頂角相等”的否定為________________，否命題為________________．
解析： “對頂角相等”的否定為“對頂角不相等”，否命題為“若兩個角不是對頂角，則它們不相等”．
答案： 對頂角不相等 若兩個角不是對頂角，則它們不相等
14．a＝3是“直線l1：ax＋2y＋3a＝0和直線l2：3x＋(a－1)y＝a－7平行且不重合”的________條件．
解析： 當a＝3時，l1：3x＋2y＋9＝0，l2：3x＋2y＋4＝0，∴l(xiāng)1∥l2.反之，若l1∥l2，則a(a－1)＝6，即a＝3或a＝－2，但a＝－2時，l1與l2重合．
答案： 充要
15．若“任意x∈R，x2－2x－m>0”是真命題，則實數m的取值范圍是________．
解析： 由Δ＝(－2)2－4(－m)<0，得m<－1.
答案： (－∞，－1)
16．下列說法中正確的是____________．(填序號)
①命題“若am2＜bm2，則a＜b”的逆命題是真命題；
②“a＞0”是“|a|＞0”的充分不必要條件；
③命題“p或q”為真命題，則命題“p”和命題“q”均為真命題；
④“b＝0”是“函數f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函數”的充要條件．
解析： 命題“若am2＜bm2，則a＜b”的逆命題為“若a＜b，則am2＜bm2”，當m＝0時，不成立，是假命題，故①不正確；
若a＞0，則|a|＞0，所以“a＞0”是“|a|＞0”的充分條件；若|a|＞0，則a＞0或a＜0，所以“a＞0”不是“|a|＞0”的必要條件．故②正確．
命題“p或q”為真命題，則命題“p”和“q”中至少有一個為真命題．故③不正確．
b＝0時f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函數．函數f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函數時b＝0，故④正確．
答案： ②④
三、解答題(本大題共6小題，共74分．解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)
17．(本小題滿分12分)寫出命題“若＋(y＋1)2＝0，則x＝2且y＝－1”的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷它們的真假．
解析： 逆命題：若x＝2且y＝－1，則＋(y＋1)2＝0，真命題．
否命題：若＋(y＋1)2≠0，則x≠2或y≠－1，真命題．
逆否命題：若x≠2或y≠－1，則＋(y＋1)2≠0，真命題．
18．(本小題滿分12分)寫出下列命題的否定，并判斷其真假．
(1)p：不論m取何實數，方程x2＋mx－1＝0必有實數根；
(2)p：存在一個實數x，使得3x<0；
(3)p：若an＝－2n＋1，則?n∈N，使Sn<0；
(4)p：有些偶數是質數．
解析： (1)這一命題可表述為p：對任意的實數m，方程x2＋mx－1＝0必有實數根．其否定為p：存在一個實數m，使方程x2＋mx－1＝0沒有實數根．因為該方程的判別式Δ＝m2＋4>0恒成立，故p為假命題．
(2)p：對于所有的實數x，都滿足3x≥0.顯然p為真命題．
(3)p：若an＝－2n＋1，則?n∈N，Sn≥0.(假)
(4)p：所有偶數都不是質數．(假)
19．(本小題滿分12分)設命題p：c20，且p∨q為真，p∧q為假，求實數c的取值范圍．
解析： 解不等式c2
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