(新課標(biāo))2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題七 選考部分 第2講 不等式選講練習(xí) 理 新人教A版

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1、第2講 不等式選講 1.(2019·昆明市質(zhì)量檢測(cè))已知函數(shù)f(x)=|2x-1|. (1)解不等式f(x)+f(x+1)≥4; (2)當(dāng)x≠0,x∈R時(shí),證明:f(-x)+f()≥4. 解:(1)不等式f(x)+f(x+1)≥4等價(jià)于|2x-1|+|2x+1|≥4, 等價(jià)于或或, 解得x≤-1或x≥1, 所以原不等式的解集是(-∞,-1]∪[1,+∞). (2)證明:當(dāng)x≠0,x∈R時(shí),f(-x)+f()=|-2x-1|+|-1|, 因?yàn)閨-2x-1|+|-1|≥|2x+|=2|x|+≥4,當(dāng)且僅當(dāng) ,即x=±1時(shí)等號(hào)成立,所以f(-x)+f()≥4. 2.(201

2、9·武漢市調(diào)研測(cè)試)已知函數(shù)f(x)=|2x+1|+|x-1|. (1)求不等式f(x)≥3的解集; (2)若直線y=x+a與y=f(x)的圖象所圍成的多邊形面積為,求實(shí)數(shù)a的值. 解:(1)由題意知f(x)=,由f(x)≥3可知: ①當(dāng)x≥1時(shí),3x≥3,即x≥1; ②當(dāng)-

3、邊形,則a>2. 易得直線y=x+a與y=f(x)的圖象交于C(,),D(-,)兩點(diǎn), 則|CD|=·|+|=a, 平行線AB與CD間的距離d==,|AB|=, 所以梯形ABCD的面積S=·=·(a-2)=(a>2), 即(a+2)(a-2)=12,所以a=4, 故所求實(shí)數(shù)a的值為4. 3.(2019·南昌市第一次模擬測(cè)試)已知函數(shù)f(x)=|x+m2|+|x-2m-3|. (1)求證:f(x)≥2; (2)若不等式f(2)≤16恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍. 解:(1)證明:因?yàn)閒(x)=|x+m2|+|x-2m-3|≥|(x+m2)-(x-2m-3)|,所以f(x)≥

4、|m2+2m+3|=(m+1)2+2≥2. (2)由已知,得f(2)=m2+2+|2m+1|, ①當(dāng)m≥-時(shí),f(2)≤16等價(jià)于m2+2m+3≤16,即(m+1)2≤14, 解得--1≤m≤-1,所以-≤m≤-1; ②當(dāng)m<-時(shí),f(2)≤16等價(jià)于m2-2m+1≤16, 解得-3≤m≤5,所以-3≤m<-. 綜上,實(shí)數(shù)m的取值范圍是[-3,-1]. 4.(2019·江西八所重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)已知不等式|ax-1|≤|x+3|的解集為{x|x≥-1}. (1)求實(shí)數(shù)a的值; (2)求+的最大值. 解:(1)|ax-1|≤|x+3|的解集為{x|x≥-1},即(1-a2)x2+

5、(2a+6)x+8≥0的解集為{x|x≥-1},當(dāng)1-a2≠0時(shí),不符合題意,舍去. 當(dāng)1-a2=0,即a=±1時(shí), x=-1為方程(2a+6)x+8=0的一解,經(jīng)檢驗(yàn)a=-1不符合題意,舍去,a=1符合題意. 綜上,a=1. (2)(+)2=16+2=16+2,當(dāng)t==4時(shí),(+)2有最大值32.又+≥0,所以+的最大值為4. 5.(2019·石家莊市模擬(一))設(shè)函數(shù)f(x)=|1-x|-|x+3|. (1)求不等式f(x)≤1的解集; (2)若函數(shù)f(x)的最大值為m,正實(shí)數(shù)p,q滿足p+2q=m,求+的最小值. 解:(1)不等式可化為 或或,解得x≥-, 所以f(x

6、)≤1的解集為{x|x≥-}. (2)法一:因?yàn)閨1-x|-|x+3|≤|1-x+x+3|=4, 所以m=4,p+2q=4,所以(p+2)+2q=6, +=(+)(p+2+2q)=(4++)≥(4+2)=, 當(dāng)且僅當(dāng)p+2=2q=3,即時(shí)取“=”, 所以+的最小值為. 法二:因?yàn)閨1-x|-|x+3|≤|1-x+x+3|=4, 所以m=4,p+2q=4,所以p=4-2q,q∈(0,2), +=+===, 因?yàn)閝∈(0,2),所以當(dāng)q=時(shí),+取得最小值. 6.(2019·成都第一次診斷性檢測(cè))已知函數(shù)f(x)=|2x-1|+|+1|. (1)求不等式f(x)-3<0的解集;

7、 (2)若關(guān)于x的方程f(x)-m2-2m-=0無(wú)實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)m的取值范圍. 解:(1)由題意,知f(x)=|2x-1|+|+1|= 由f(x)-3<0,可得或 或,解得-4; (2)對(duì)于任意正數(shù)m,n,求使得不等式f(x)≤++2nm恒成立的x的取值集合M. 解:(1)當(dāng)x≤0

8、時(shí),不等式化為-2x+1-x>4,所以x<-1; 當(dāng)04,解得x>3,無(wú)解; 當(dāng)x≥1時(shí),不等式化為2x+x-1>4,所以x>, 綜上,不等式f(x)>4的解集為(-∞,-1)∪(,+∞). (2)因?yàn)椋?mn≥+2mn≥4,當(dāng)且僅當(dāng)m=n=1時(shí)“=”成立, 所以2|x|+|x-1|≤4,由(1)知x的取值集合M為[-1,]. 8.(2019·沈陽(yáng)市質(zhì)量監(jiān)測(cè)(一))設(shè)a>b>0,且ab=2,記的最小值為M. (1)求M的值,并寫出此時(shí)a,b的值; (2)解關(guān)于x的不等式:|3x+3|+|x-2|>M. 解:(1)因?yàn)閍>b>0,所以a-b>0,>0, 根據(jù)基本不等式有==a-b+≥4, 當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào),所以M的值為4,此時(shí)a=+1,b=-1. (2)當(dāng)x≤-1時(shí),原不等式等價(jià)于-(3x+3)+(2-x)>4,解得x<-; 當(dāng)-14,解得-4,解得x≥2. 綜上所述,原不等式的解集為(-∞,-)∪(-,+∞). - 5 -

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