2020版高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第十三單元 第67講 不等式的證明練習(xí) 理 新人教A版

第67講不等式的證明 1.設(shè)a,b,c是正實(shí)數(shù),且a+b+c=9,求2a+2b+2c的最小值.2.2018·深圳耀華實(shí)驗(yàn)學(xué)校模擬 若a>0,b>0,a+b=1.求證:(1)4a+1b9;(2)2a+1+2b+122.3.已知定義在R上的函數(shù)f(x)=|x+1|+|x-2|的最小值為a.(1)求a的值;(2)若p,q,r是正實(shí)數(shù),且滿足p+q+r=a,求證:p2+q2+r23.4.2018·武昌調(diào)研 設(shè)函數(shù)f(x)=|x-2|+2x-3,記f(x)-1的解集為M.(1)求M;(2)當(dāng)xM時(shí),證明:xf(x)2-x2f(x)0.5.2018·甘肅臨澤一中月考 已知函數(shù)f(x)=m-|x-2|,mR,且f(x+1)0的解集為0,2.(1)求m的值;(2)若a,b,cR,且1a+12b+13c=m,求證:a+2b+3c9.6.2018·衡水模擬 已知函數(shù)f(x)=|x-3|.(1)求不等式f(x)<x+1的解集M;(2)設(shè)a,bM,證明:(a2+1)(b2+1)>2a2+2b2.7.2018·寧夏銀川一中月考 已知函數(shù)f(x)=|x|-|x-1|.(1)若f(x)|m-1|的解集非空,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;(2)若正數(shù)x,y滿足x2+y2=M,M為(1)中m可取到的最大值,求證:x+y2xy.8.設(shè)函數(shù)f(x)=x-|x+2|-|x-3|-m,若對(duì)任意xR,1m-4f(x)恒成立.(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍;(2)求證:logm+1(m+2)>logm+2(m+3).6課時(shí)作業(yè)(六十七)1.解:(a+b+c)2a+2b+2c=(a)2+(b)2+(c)2·2a2+2b2+2c2a·2a+b·2b+c·2c2=18,且a+b+c=9,2a+2b+2c2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào),2a+2b+2c的最小值為2.2.證明:(1)a>0,b>0,a+b=1,4a+1b=(a+b)4a+1b=4+4ba+ab+15+24ba·ab=9,當(dāng)且僅當(dāng)a2=4b2時(shí),等號(hào)成立.(2)(分析法)欲證2a+1+2b+122,只需證2a+1+2b+1+2(2a+1)(2b+1)8,a>0,b>0,a+b=1,只需證(2a+1)(2b+1)2,由均值不等式可得(2a+1)(2b+1)(2a+1)+(2b+1)2=2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立,故不等式2a+1+2b+122成立.3.解:(1)因?yàn)閨x+1|+|x-2|(x+1)-(x-2)|=3,當(dāng)且僅當(dāng)-1x2時(shí),等號(hào)成立,所以f(x)的最小值等于3,即a=3.(2)證明:由(1)知p+q+r=3,又因?yàn)閜,q,r是正實(shí)數(shù),所以(p2+q2+r2)(12+12+12)(p×1+q×1+r×1)2=(p+q+r)2=9,當(dāng)且僅當(dāng)p=q=r=1時(shí),等號(hào)成立,即p2+q2+r23.4.解:(1)由已知,得f(x)=x-1,x2,3x-5,x>2.當(dāng)x2時(shí),由f(x)=x-1-1,解得x0,此時(shí)x0;當(dāng)x>2時(shí),由f(x)=3x-5-1,解得x43,顯然不成立.故f(x)-1的解集為M=(-,0.(2)證明:當(dāng)xM時(shí),f(x)=x-1,于是xf(x)2-x2f(x)=x(x-1)2-x2(x-1)=-x2+x=-x-122+14.令g(x)=-x-122+14,x(-,0,則函數(shù)g(x)在(-,0上是增函數(shù),g(x)g(0)=0.故當(dāng)xM時(shí),xf(x)2-x2f(x)0.5.解:(1)由f(x+1)0,得m-|x-1|0,顯然m>0,則1-mx1+m.f(x+1)0 的解集為0,2,1+m=2且1-m=0,m=1.(2)證明:由(1)可知1a+12b+13c=1,則a+2b+3c=(a+2b+3c)1a+12b+13c=1+2ba+3ca+a2b+1+3c2b+a3c+2b3c+1=3+2ba+a2b+3ca+a3c+3c2b+2b3c3+6=9,當(dāng)且僅當(dāng)a=2b=3c時(shí)等號(hào)成立,即a=3,b=32,c=1時(shí)等號(hào)成立.6.解:(1)當(dāng)x3時(shí),由|x-3|<x+1,得x-3<x+1,所以x3;當(dāng)x<3時(shí),由|x-3|<x+1,得3-x<x+1,解得x>1,所以1<x<3.綜上可知,不等式f(x)<x+1的解集為M=x|x>1.(2)因?yàn)?a2+1)(b2+1)-(2a2+2b2)=(ab)2+a2+b2+1-2a2-2b2=(ab)2-a2-b2+1=(a2-1)(b2-1),又因?yàn)閍,bM,所以a>1,b>1,所以a2>1,b2>1,即a2-1>0,b2-1>0,所以(a2-1)(b2-1)>0,所以原不等式(a2+1)(b2+1)>2a2+2b2成立.7.解:(1)由題可得f(x)=-1,x<0,2x-1,0x1,1,x>1,所以f(x)max=1,所以|m-1|1,解得0m2,所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為0,2.(2)證明:由(1)知,M=2,所以x2+y2=2.因?yàn)閤>0,y>0,所以要證x+y2xy,只需證(x+y)24x2y2,即證2(xy)2-xy-10,即證(2xy+1)(xy-1)0.因?yàn)?xy+1>0,所以只需證xy1,因?yàn)?xyx2+y2=2(當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1時(shí)取等號(hào)),所以xy1成立,所以x+y2xy成立.8.解:(1)對(duì)任意xR,1m-4f(x)恒成立,m+1mx-|x+2|-|x-3|+4恒成立.令g(x)=x-|x+2|-|x-3|+4,則g(x)=3x+3,x<-2,x-1,-2x3,-x+5,x>3,函數(shù)g(x)在(-,3上是增函數(shù),在(3,+)上是減函數(shù),g(x)max=g(3)=2,m+1mg(x)max=2,即m+1m-20,m2-2m+1m=(m-1)2m0,m>0,綜上,實(shí)數(shù)m的取值范圍是(0,+).(2)證明:由m>0知,m+3>m+2>m+1>1,即lg(m+3)>lg(m+2)>lg(m+1)>lg1=0.要證logm+1(m+2)>logm+2(m+3),只需證lg(m+2)lg(m+1)>lg(m+3)lg(m+2),即證lg(m+1)·lg(m+3)<lg(m+2)2,又lg(m+1)·lg(m+3)<lg(m+1)+lg(m+3)22=lg(m+1)(m+3)24<lg(m2+4m+4)24=lg(m+2)2,logm+1(m+2)>logm+2(m+3)成立.