（浙江專用）2020版高考數(shù)學大一輪復習 第八章 立體幾何 考點規(guī)范練36 空間幾何體及其三視圖和直觀圖、表面積與體積

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1、考點規(guī)范練36　空間幾何體及其三視圖和直觀圖、表面積與體積 基礎鞏固組 1.已知某幾何體的正視圖與側(cè)視圖都是直角邊長為1的等腰直角三角形,且體積為13,則該幾何體的俯視圖可以是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 答案B 解析由三視圖及體積為13,可知該幾何體為一四棱錐,故俯視圖為B,故選B. 2.(2017浙江高考)某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的體積(單位:cm3)是(　　) A.π2+1 B.π2+3 C.3π2+1 D.3π2+3 答案A 解析V=13×3×π×122+12×2×1=π2+1,選A. 3.某幾何體的三視圖如圖所

2、示,則該幾何體的表面積為(　　) A.(9+5)π B.(9+25)π C.(10+5)π D.(10+25)π 答案A 解析由三視圖可以知道這是一個圓柱上面挖去一個小圓錐的幾何體,圓柱的底面積為π,圓柱的側(cè)面積為2π×4=8π,圓錐的母線長為22+1=5,側(cè)面積為5π,所以總的側(cè)面積為5π+π+8π=(9+5)π.所以A選項是正確的. 4.如圖,在多面體ABCDEF中,已知ABCD是邊長為1的正方形,且△ADE、△BCF均為正三角形,EF∥AB,EF=2,則該多面體的體積為(　　) A.23 B.33 C.43 D.32 答案A 解析如圖,過AD和BC分別作EF的直截

3、面ADM及截面BCG,面ADM∥面BCG,O為BC的中點,在△BCF中求得FO=32,又可推得FG=12,∵OG⊥EF,∴GO=22,S△BCG=24. ∴VBCG-ADM=24,2VF-BCG=212. ∴VABCDEF=24+212=23.故選A. 5. 如圖,在棱長為2的正四面體A-BCD中,平面α與棱AB,AD,CD,BC分別相交于點E,F,G,H,則四邊形EFGH的周長的最小值是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案D 解析把三棱錐表面展開如圖,連接EE', 交BC,CD,AD于點H,G,F,此時所得的四邊形EFGH的周長最小,可知其值為4.故選

4、D. 6.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為　　　　　,表面積為　　　　　.? 答案12+2π3　38+π 解析由三視圖可知,該幾何體是由兩部分組成,上面是一個半球,下面是一個長方體.∴該幾何體的體積=12×43×π×12+4×3×1=12+2π3;其表面積=2×(3×1+3×4+1×4)-π×12+12×4π×12=38+π. 7.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的體積為36,點E,F分別為棱B1B,C1C上的點(異于端點),且EF∥BC,則四棱錐A1-AEFD的體積為　　　　　.? 答案12 解析過點A1作AE的垂線,垂足為M,則易證A1M⊥面AEFD,

5、所以VA1-AEFD=13×A1M×AD×AE=13×AD×2S△A1AE=13×AD×A1A×AB=13VABCD-A1B1C1D1=12. 8.已知三棱錐S-ABC,滿足SA,SB,SC兩兩垂直,且SA=SB=SC=2,Q是三棱錐S-ABC外接球上一動點,則點Q到平面ABC的距離的最大值為　　　　　.? 答案433 解析由題意知,可將三棱錐S-ABC放入正方體中,其長、寬、高分別為2,則到面ABC距離最大的點應該在過球心且和面ABC垂直的直徑上,因為正方體的外接球直徑和正方體的體對角線長相等,所以2r=23.故到面ABC距離的最大值為23(2r)=23(23)=433. 能力提升組

6、 9.(2018浙江高考)某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的體積(單位:cm3)是(　　) A.2 B.4 C.6 D.8 答案C 解析由三視圖可知該幾何體為直四棱柱. ∵S底=12×(1+2)×2=3,h=2,∴V=Sh=3×2=6. 10.如圖是一個幾何體的三視圖,則該幾何體的表面積為(　　) A.83 B.43 C.42+23+4 D.42+23+6 答案D 解析由三視圖可以知道該幾何體為側(cè)放的四棱錐,棱錐的底面為矩形ABCD,底面與一個側(cè)面PBC垂直, PB=PC=2,AB=2. SABCD=2×22=42, S△PBC=S△PC

7、D=S△PBA=12×2×2=2,∵在△PAD中AP=PD=AD=22, ∴S△PAD=34×(22)2=23, 故所求幾何體的表面積為42+6+23. 11.已知S,A,B,C是球O表面上的點,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,SA=AB=1,BC=2,則球O的表面積等于(　　) A.4π B.3π C.2π D.π 答案A 解析由∠SAC=∠SBC=90°得到球心O是SC的中點,SC為球的直徑,SC=2,所以R=1,S=4π. 12.(2018浙江高三模擬)已知四棱錐P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,其中ABCD為正方形,△PAD為等腰直角三角形,PA=PD=2,則四棱錐

8、P-ABCD外接球的表面積為(　　) A.10π B.4π C.16π D.8π 答案D 解析因為△PAD為等腰直角三角形,PA=PD=2,所以AD=AB=2.所以點P到平面ABCD的距離為1.因為底面正方形的中心O到邊AD的距離也為1,所以頂點P與底面正方形中心O的距離PO=2.所以底面正方形的外接圓的半徑為2.所以正方形ABCD的中心O是球心,球O的半徑為2.故所求幾何體外接球的表面積S=4π×(2)2=8π,應選D. 13.(2018浙江高三模擬)已知點A,B,C是球O的球面上三點,AB=2,AC=23,∠ABC=60°,且棱錐O-ABC的體積為463,則球O的表面積為(　　)

9、 A.10π B.24π C.36π D.48π 答案D 解析在△ABC中,由正弦定理得ACsin∠ABC=ABsin∠ACB,即23sin60°=2sin∠ACB,所以sin∠ACB=12.因為AB

10、(如圖所示),∠ABC=45°,AB=AD=1,DC⊥BC,則這塊菜地的面積為　　　　　.? 答案2+22 解析如圖1,在直觀圖中,過點A作AE⊥BC,垂足為E. 在Rt△ABE中,AB=1,∠ABE=45°,∴BE=22. 又四邊形AECD為矩形,AD=EC=1.∴BC=BE+EC=22+1.由此還原為原圖形如圖2所示,是直角梯形A'B'C'D'. 在梯形A'B'C'D'中,A'D'=1,B'C'=22+1,A'B'=2. ∴這塊菜地的面積S=12(A'D'+B'C')·A'B'=12×1+1+22×2=2+22. 15.某幾何體的三視圖如圖所示,且該幾何體的體積是3 cm

11、3,則正視圖中的x的值是　　　　　 cm,該幾何體的表面積是　　　　　 cm2.? 答案2　53+37+42 解析由三視圖可知,該幾何體是底面為直角梯形的四棱錐,其直觀圖如圖所示,由棱錐的體積公式得13×12×(1+2)×3x=3?x=2,側(cè)面ADS,CDS,ABS為直角三角形,側(cè)面BCS是以BC為底的等腰三角形,所以該幾何體的表面積為S=12[(1+2)×3+2×2+3×2+1×7+2×7]=53+37+42. 16.如圖,網(wǎng)絡紙上小正方形的邊長為1,粗實線及粗虛線畫出的是某多面體的三視圖,則該多面體外接球的表面積為　　　　　.? 答案414π 解析根據(jù)多面體的三視圖,

12、可得該幾何體的直觀圖,如圖所示. 該多面體為四棱錐,底面AA1C1C為矩形,且平面AA1C1C⊥平面ABC,把該四棱錐補成以面ABC為底面的三棱柱,如圖所示,則三棱柱的外接球即是該四棱錐的外接球.在底面ABC中, AB=2,AC=BC=5,cos∠ACB=35,sin∠ACB=45, △ABC外接圓的半徑r=12·ABsin∠ACB=54,設外接球的半徑為R,則R2=r2+1=542+1=4116,即R=414,因此該多面體外接球的表面積為4π×4142=414π. 17.某一正三棱錐的高為1,底面邊長為26,在該正三棱錐內(nèi)有一個球與其四個面相切,求球的表面積與體積. 解如圖

13、,球O是正三棱錐P-ABC的內(nèi)切球,O到正三棱錐四個面的距離都是球的半徑R. PH是正三棱錐的高,即PH=1. E是BC邊的中點,H在AE上, ∵△ABC的邊長為26, ∴HE=36×26=2.∴PE=3,可以得到S△PAB=S△PAC=S△PBC=12BC·PE=32.S△ABC=34(26)2=63.∵VP-ABC=VO-PAB+VO-PAC+VO-PEC+VO-ABC, ∴13×63×1=13×32×R×3+13×63×R,得R=2323+3=6-2.∴S球=4πR2=4π(6-2)2=8(5-26)π. ∴V球=43πR3=43π(6-2)3. 18.在正四棱錐V-ABC

14、D內(nèi)有一半球,其底面與正四棱錐的底面重合,且與正四棱錐的四個側(cè)面相切,若半球的半徑為2,則當正四棱錐的體積最小時,其高等于多少? 解如圖所示,設頂點V在底面ABCD上的射影為點O,并設正四棱錐的高VO的長為x,底面正方形的邊長為2a,過點O作平行于AB的直線交BC于點F,作OM⊥VF于點M,則OM=2,VF=x2+a2.在Rt△VOF中,有ax=2x2+a2,得a2=4x2x2-4.所以正四棱錐V-ABCD的體積為V(x)=13·4a2x=163×x3x2-4(x>2),V'(x)=163×x2(x2-12)(x2-4)2.令V'(x)=0,得x=23,當x∈(2,23)時,V'(x)<0;當x∈(23,+∞)時,V'(x)>0,故當x=23時,正四棱錐的體積最小. 8