2020高考數(shù)學(xué)刷題首選卷 第五章 不等式、推理與證明、算法初步與復(fù)數(shù) 考點(diǎn)測(cè)試39 數(shù)學(xué)歸納法 理（含解析）

《2020高考數(shù)學(xué)刷題首選卷 第五章 不等式、推理與證明、算法初步與復(fù)數(shù) 考點(diǎn)測(cè)試39 數(shù)學(xué)歸納法 理（含解析）》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020高考數(shù)學(xué)刷題首選卷 第五章 不等式、推理與證明、算法初步與復(fù)數(shù) 考點(diǎn)測(cè)試39 數(shù)學(xué)歸納法 理（含解析）（9頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、考點(diǎn)測(cè)試39　數(shù)學(xué)歸納法 高考概覽 考綱研讀 1．了解數(shù)學(xué)歸納法的原理 2．能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題 一、基礎(chǔ)小題 1．在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對(duì)角線為n(n－3)條時(shí)，第一步檢驗(yàn)第一個(gè)值n0等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．0 答案　C 解析　邊數(shù)最少的凸n邊形是三角形． 2．用數(shù)學(xué)歸納法證明“1＋a＋a2＋…＋an＝，a≠1，n∈N*”，在驗(yàn)證n＝1時(shí)，左邊是(　　) A．1 B．1＋a C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3 答案　B 解析　當(dāng)n＝1時(shí)，代入原式有左邊＝1＋a．故選B． 3．對(duì)于不等式≤n＋1

2、(n∈N*)，某學(xué)生的證明過(guò)程如下： ①當(dāng)n＝1時(shí)，≤1＋1，不等式成立． ②假設(shè)n＝k(k∈N*)時(shí)，不等式成立，即≤k＋1，則n＝k＋1時(shí)，＝<＝＝(k＋1)＋1．所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式成立． 上述證法(　　) A．過(guò)程全都正確 B．n＝1檢驗(yàn)不正確 C．歸納假設(shè)不正確 D．從n＝k到n＝k＋1的推理不正確 答案　D 解析　n＝1的驗(yàn)證及歸納假設(shè)都正確，但從n＝k到n＝k＋1的推理中沒(méi)有使用歸納假設(shè)，而通過(guò)不等式的放縮法直接證明，不符合數(shù)學(xué)歸納法的證題要求，故選D． 4．利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1＋＋＋…＋

3、，左邊增加了(　　) A．1項(xiàng) B．k項(xiàng) C．2k－1項(xiàng) D．2k項(xiàng) 答案　D 解析　1＋＋＋…＋－1＋＋＋…＋＝＋＋…＋，共增加了2k項(xiàng)． 5．某個(gè)命題與自然數(shù)n有關(guān)，若n＝k(k∈N*)時(shí)命題成立，那么可推得當(dāng)n＝k＋1時(shí)該命題也成立，現(xiàn)已知n＝5時(shí)，該命題不成立，那么可以推得(　　) A．n＝6時(shí)該命題不成立 B．n＝6時(shí)該命題成立 C．n＝4時(shí)該命題不成立 D．n＝4時(shí)該命題成立 答案　C 解析　假設(shè)n＝4時(shí)該命題成立，由題意可得n＝5時(shí)，該命題成立，而n＝5時(shí)，該命題不成立，所以n＝4時(shí)，該命題不成立，而n＝5，該命題不成立，不能推得n＝6該命題是否成立，故

4、選C． 6．用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋＋＋…＋>(n∈N*)成立，其初始值至少應(yīng)取(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 答案　B 解析　左邊＝1＋＋＋…＋＝＝2－，代入驗(yàn)證可知n的最小值是8．故選B． 7．下列代數(shù)式(其中k∈N*)能被9整除的是(　　) A．6＋6·7k B．2＋7k－1 C．2(2＋7k＋1) D．3(2＋7k) 答案　D 解析　①當(dāng)k＝1時(shí)，顯然只有3(2＋7k)能被9整除． ②假設(shè)當(dāng)k＝n(n∈N*)時(shí)，命題成立，即3(2＋7n)能被9整除，那么3(2＋7n＋1)＝21(2＋7n)－36， 這就是說(shuō)，k＝n＋1時(shí)命題也成立． 由①②可知

5、，命題對(duì)任何k∈N*都成立．故選D． 8．設(shè)f(n)＝＋＋…＋，n∈N＋，那么f(n＋1)－f(n)＝(　　) A． B． C．＋ D．－ 答案　D 解析　f(n＋1)－f(n)＝＋＋…＋＋－－－…－＝＋－＝－． 9．用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是(　　) A．假使n＝2k＋1時(shí)正確，再推n＝2k＋3正確(k∈N*) B．假使n＝2k－1時(shí)正確，再推n＝2k＋1正確(k∈N*) C．假使n＝k時(shí)正確，再推n＝k＋1正確(k∈N*) D．假使n≤k(k≥1)時(shí)正確，再推n＝k＋2時(shí)正確(k∈N*) 答案　B 解析　因?yàn)閚為正奇數(shù)

6、，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法證題的步驟，第二步應(yīng)先假設(shè)第k個(gè)正奇數(shù)也成立，本題即假設(shè)n＝2k－1正確，再推第k＋1個(gè)正奇數(shù)，即n＝2k＋1正確． 10．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n·3n－1＝3n(na－b)＋c對(duì)一切n∈N*都成立，則a，b，c的值為(　　) A．a(chǎn)＝，b＝c＝ B．a(chǎn)＝b＝c＝ C．a(chǎn)＝0，b＝c＝ D．不存在這樣的a，b，c 答案　A 解析　∵等式對(duì)一切n∈N*均成立，∴n＝1，2，3時(shí)等式成立，即整理得解得a＝，b＝c＝． 11．在數(shù)列{an}中，a1＝且Sn＝n(2n－1)an，通過(guò)計(jì)算a2，a3，a4，猜想an的表達(dá)式是________． 答案　

7、an＝ 解析　因?yàn)镾n＝n(2n－1)an，當(dāng)n＝2，3，4時(shí)，得出a2＝，a3＝，a4＝． a1＝＝，a2＝＝，a3＝＝， a4＝＝． ∴an＝． 12．已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，用數(shù)學(xué)歸納法證明f(2n)>時(shí)，f(2k＋1)－f(2k)＝________． 答案?。? 解析　∵f(2k＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋…＋，f(2k)＝1＋＋＋…＋， ∴f(2k＋1)－f(2k)＝＋＋…＋． 二、高考小題 本考點(diǎn)在近三年高考中未涉及此題型． 三、模擬小題 13．(2018·山東淄博質(zhì)檢)設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿足：當(dāng)f(k)≥k＋1

8、成立時(shí)，總能推出f(k＋1)≥k＋2成立，那么下列命題總成立的是(　　) A．若f(1)<2成立，則f(10)<11成立 B．若f(3)≥4成立，則當(dāng)k≥1時(shí)，均有f(k)≥k＋1成立 C．若f(2)<3成立，則f(1)≥2成立 D．若f(4)≥5成立，則當(dāng)k≥4時(shí)，均有f(k)≥k＋1成立 答案　D 解析　當(dāng)f(k)≥k＋1成立時(shí)，總能推出f(k＋1)≥k＋2成立，說(shuō)明如果當(dāng)k＝n時(shí)，f(n)≥n＋1成立，那么當(dāng)k＝n＋1時(shí)，f(n＋1)≥n＋2也成立，所以如果當(dāng)k＝4時(shí)，f(4)≥5成立，那么當(dāng)k≥4時(shí)，f(k)≥k＋1也成立． 一、高考大題 1．(2017·浙江高考)

9、已知數(shù)列{xn}滿足：x1＝1，xn＝xn＋1＋ln (1＋xn＋1)(n∈N*)． 證明：當(dāng)n∈N*時(shí)， (1)00． 當(dāng)n＝1時(shí)，x1＝1>0． 假設(shè)n＝k時(shí)，xk>0， 那么n＝k＋1時(shí)， 若xk＋1≤0，則00． 因此xn>0(n∈N*)． 所以xn＝xn＋1＋ln (1＋xn＋1)>xn＋1． 因此0

10、＋1－4xn＋1＋2xn ＝x－2xn＋1＋(xn＋1＋2)ln (1＋xn＋1)． 記函數(shù)f(x)＝x2－2x＋(x＋2)ln (1＋x)(x≥0)， f′(x)＝＋ln (1＋x)>0(x>0)， 函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)≥f(0)＝0， 因此x－2xn＋1＋(xn＋1＋2)ln (1＋xn＋1) ＝f(xn＋1)≥0， 故2xn＋1－xn≤(n∈N*)． (3)因?yàn)閤n＝xn＋1＋ln (1＋xn＋1)≤xn＋1＋xn＋1＝2xn＋1， 所以xn≥． 由≥2xn＋1－xn得－≥2>0， 所以－≥2≥…≥2n－1＝2n－2， 故xn≤．

11、綜上，≤xn≤(n∈N*)． 2．(2015·江蘇高考)已知集合X＝{1，2，3}，Yn＝{1，2，3，…，n}(n∈N*)，設(shè)Sn＝{(a，b)|a整除b或b整除a，a∈X，b∈Yn}．令f(n)表示集合Sn所含元素的個(gè)數(shù)． (1)寫(xiě)出f(6)的值； (2)當(dāng)n≥6時(shí)，寫(xiě)出f(n)的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明． 解　(1)f(6)＝13． (2)當(dāng)n≥6時(shí)， f(n)＝(t∈N*)． 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： ①當(dāng)n＝6時(shí)，f(6)＝6＋2＋＋＝13，結(jié)論成立； ②假設(shè)n＝k(k≥6)時(shí)結(jié)論成立，那么n＝k＋1時(shí)，Sk＋1在Sk的基礎(chǔ)上新增加的元素在(1，k＋1)，(2，k＋

12、1)，(3，k＋1)中產(chǎn)生，分以下情形討論： a．若k＋1＝6t，則k＝6(t－1)＋5，此時(shí)有 f(k＋1)＝f(k)＋3＝k＋2＋＋＋3 ＝(k＋1)＋2＋＋，結(jié)論成立； b．若k＋1＝6t＋1，則k＝6t，此時(shí)有 f(k＋1)＝f(k)＋1＝k＋2＋＋＋1＝(k＋1)＋2＋＋，結(jié)論成立； c．若k＋1＝6t＋2，則k＝6t＋1，此時(shí)有 f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋＋＋2 ＝(k＋1)＋2＋＋，結(jié)論成立； d．若k＋1＝6t＋3，則k＝6t＋2，此時(shí)有 f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋＋＋2 ＝(k＋1)＋2＋＋，結(jié)論成立； e．若k＋1＝6t＋4，則k

13、＝6t＋3，此時(shí)有 f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋＋＋2 ＝(k＋1)＋2＋＋，結(jié)論成立； f．若k＋1＝6t＋5，則k＝6t＋4，此時(shí)有 f(k＋1)＝f(k)＋1＝k＋2＋＋＋1 ＝(k＋1)＋2＋＋，結(jié)論成立． 綜上所述，結(jié)論對(duì)滿足n≥6的自然數(shù)n均成立． 二、模擬大題 3．(2018·常德月考)設(shè)a>0，f(x)＝，令a1＝1，an＋1＝f(an)，n∈N*． (1)寫(xiě)出a2，a3，a4的值，并猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論． 解　(1)∵a1＝1，∴a2＝f(a1)＝f(1)＝； a3＝f(a2)＝＝； a4＝f(a3)＝

14、＝． 猜想an＝(n∈N*)． (2)證明：①易知，n＝1時(shí)，猜想正確． ②假設(shè)n＝k(k∈N*)時(shí)猜想正確，即ak＝， 則ak＋1＝f(ak)＝＝ ＝＝． 這說(shuō)明，n＝k＋1時(shí)猜想正確． 由①②知，對(duì)于任何n∈N*，都有an＝． 4．(2018·福建三明月考)已知xi>0(i＝1，2，3，…，n)，我們知道(x1＋x2)＋≥4成立． (1)求證：(x1＋x2＋x3)＋＋≥9； (2)同理我們也可以證明出(x1＋x2＋x3＋x4)＋＋＋≥16．由上述幾個(gè)不等式，請(qǐng)你猜測(cè)一個(gè)與x1＋x2＋…＋xn和＋＋…＋(n≥2，n∈N*)有關(guān)的不等式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明． 解　(1)證

15、法一：(x1＋x2＋x3)＋＋ ≥3·3＝9． 證法二：(x1＋x2＋x3)＋＋ ＝3＋＋＋＋＋＋ ≥3＋2＋2＋2＝9． (2)猜想(x1＋x2＋…＋xn)＋＋…＋， ≥n2(n≥2，n∈N*)． 證明如下： ①當(dāng)n＝2時(shí)，由已知得猜想成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，猜想成立，即 (x1＋x2＋…＋xk)＋＋…＋≥k2， 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)， (x1＋x2＋…＋xk＋xk＋1)＋＋…＋＋ ＝(x1＋x2＋…＋xk)＋＋…＋ ＋(x1＋x2＋…＋xk) ＋xk＋1＋＋…＋＋1 ≥k2＋(x1＋x2＋…＋xk) ＋xk＋1＋＋…＋＋1 ＝k2＋＋＋＋＋… ＋＋＋1≥k2＋2＋2＋…＋＋1 ＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2， 所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)原式成立． 結(jié)合①②可知，猜想成立． 9