（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何 考點(diǎn)規(guī)范練37 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

考點(diǎn)規(guī)范練37空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系基礎(chǔ)鞏固組1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是線段BC,CD1的中點(diǎn),則直線A1B與直線EF的位置關(guān)系是()A.相交B.異面C.平行D.垂直答案A解析如圖所示,直線A1B與直線外一點(diǎn)E確定的平面為A1BCD1,EF平面A1BCD1,且兩直線不平行,故兩直線相交.2.若空間中四條兩兩不同的直線l1,l2,l3,l4,滿足l1l2,l2l3,l3l4,則下列結(jié)論一定正確的是()A.l1l4B.l1l4C.l1與l4既不垂直也不平行D.l1與l4的位置關(guān)系不確定答案D解析如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1,取l1為BB1,l2為BC,l3為AD,l4為CC1,則l1l4,可知選項(xiàng)A錯(cuò)誤;取l1為BB1,l2為BC,l3為AD,l4為C1D1,則l1l4,故B錯(cuò)誤,則C也錯(cuò)誤,故選D.3.(2018浙江高三模擬)給定下列兩個(gè)關(guān)于異面直線的命題:命題(1):若平面上的直線a與平面上的直線b為異面直線,直線c是與的交線,則c至多與a,b中的一條相交;命題(2):不存在這樣的無(wú)窮多條直線,它們中的任意兩條都是異面直線.那么()A.命題(1)正確,命題(2)不正確B.命題(2)正確,命題(1)不正確C.兩個(gè)命題都正確D.兩個(gè)命題都不正確答案D解析如圖所示,當(dāng)c可以與a,b都相交,但交點(diǎn)不是同一個(gè)點(diǎn)時(shí),平面上的直線a與平面上的直線b為異面直線,因此(1)是假命題;對(duì)于(2),可以取無(wú)窮多個(gè)平行平面,在每個(gè)平面上取一條直線,且使這些直線兩兩不同向,則這些直線中任意兩條是異面直線,從而(2)是假命題;故選D.4.已知直線a,b分別在兩個(gè)不同的平面,內(nèi).則“直線a和直線b相交”是“平面和平面相交”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案A解析若直線a,b相交,設(shè)交點(diǎn)為P,則Pa,Pb.又因?yàn)閍,b,所以P,P.故,相交.反之,若,相交,設(shè)交線為l,當(dāng)a,b都與直線l不相交時(shí),則有ab.顯然a,b可能相交,也可能異面或平行.綜上,“直線a,b相交”是“平面,相交”的充分不必要條件.5.已知正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為BB1,CC1的中點(diǎn),那么異面直線AE與D1F所成角的余弦值為()A.45B.35C.23D.57答案B解析連接DF,則AEDF,D1FD為異面直線AE與D1F所成的角.設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a,則D1D=a,DF=52a,D1F=52a,cosD1FD=52a2+52a2-a22·52a·52a=35.6.正方體ABCD-A1B1C1D1的12條棱中,與棱AA1是異面直線且互相垂直的棱有條. 答案4解析與AA1異面且垂直的有B1C1,BC,CD,C1D1.7.如圖所示,已知正方體ABCD-A1B1C1D1,點(diǎn)E,F分別是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心,則EF和CD所成的角是. 答案60°解析連接A1D,AD1,則F恰好是它們的交點(diǎn),同理E是A1C1,B1D1的交點(diǎn).連接EF,AB1,正方體ABCD-A1B1C1D1中,B1BD1D,且B1B=D1D,四邊形BB1D1D是平行四邊形,可得BDB1D1.因此,FED1(或其補(bǔ)角)就是EF和BD所成的角.設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,則FED1中,D1E=D1F=EF=22,FED1是等邊三角形,可得FED1=60°.由此可得EF和BD所成的角等于60°.8.如圖,在四面體ABCD中,E,F分別為AB,CD的中點(diǎn),過(guò)EF任作一個(gè)平面分別與直線BC,AD相交于點(diǎn)G,H,則下列結(jié)論正確的是. 對(duì)于任意的平面,都有直線GF,EH,BD相交于同一點(diǎn);存在一個(gè)平面0,使得GFEHBD;存在一個(gè)平面0,使得點(diǎn)G在線段BC上,點(diǎn)H在線段AD的延長(zhǎng)線上;對(duì)于任意的平面,都有SEFG=SEFH.答案解析逐一判斷.當(dāng)點(diǎn)G,H分別是BC和AD的中點(diǎn)時(shí),直線GF,EH,BD兩兩相互平行,所以錯(cuò)誤,正確;點(diǎn)G在BC上時(shí),GF與BD的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)I一定在BD延長(zhǎng)線上,連接EI,與AD的交點(diǎn)H一定在線段AD上,所以錯(cuò)誤;過(guò)點(diǎn)D作DPAB交EI于點(diǎn)P,因?yàn)镮DIB=DPBE=DPAE(相似),所以線段GCBC=DHAD,SGCFSBCD=SDFHSACD,所以四面體EFGC與ECFH的體積相等.所以EFG與EFH的面積相等,正確.故正確結(jié)論的序號(hào)是.能力提升組9.給出下列四個(gè)命題:分別與兩條異面直線都相交的兩條直線一定是異面直線;若一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的垂線,則這兩個(gè)平面相互垂直;垂直于同一直線的兩條直線相互平行;若兩個(gè)平面垂直,則一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個(gè)平面也不垂直.其中為真命題的是()A.和B.和C.和D.和答案D解析分別與兩條異面直線都相交的兩條直線,可能相交也可能異面,故錯(cuò)誤;根據(jù)面面垂直的判定定理,當(dāng)一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的垂線,那么這兩個(gè)平面一定相互垂直,故正確;垂直于同一直線的兩條直線可能平行,也可能相交,也可能異面,故錯(cuò)誤;由面面垂直的性質(zhì)定理,當(dāng)兩個(gè)平面垂直,那么一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個(gè)平面也不垂直,故正確.故選D.10.如圖,在空間四邊形ABCD中,E,F分別是AB,AD的中點(diǎn),G,H分別在BC,CD上,且BGGC=DHHC=12,則下列說(shuō)法正確的是()A.EG,FH,AC交于一點(diǎn)B.EF,GH,BD交于一點(diǎn)C.EFGH為平行四邊形D.AC平面EFGH答案A解析G,H不是BC,CD的中點(diǎn),EFGH.又EFGH,EG與FH必相交,設(shè)其交點(diǎn)為M,EG平面ABC,HF平面ACD,M平面ABC,且M平面ACD.M在平面ABC與平面ACD的交線上.又平面ABC平面ACD=AC,MAC.故EG與HF的交點(diǎn)在直線AC上.11.在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,正三角形ABC的頂點(diǎn)A,B分別在xOy平面和z軸上移動(dòng).若AB=2,則點(diǎn)C到原點(diǎn)O的最遠(yuǎn)距離為()A.3-1B.2C.3+1D.3答案C解析連接OA,取AB的中點(diǎn)E,連接OE,CE,根據(jù)題意可得:RtAOB中,斜邊AB=2,OE=12AB=1.又正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2,CE=32AB=3,對(duì)圖形加以觀察,當(dāng)點(diǎn)A,B分別在xOy平面和z軸上移動(dòng)時(shí),可得當(dāng)O,E,C三點(diǎn)共線時(shí),點(diǎn)C到原點(diǎn)O的距離最遠(yuǎn),且最遠(yuǎn)距離等于3+1.故選C.12.如圖,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1平面ABCD,ABCD,DCB=90°,AB=AD=AA1=2DC,Q為棱CC1上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)直線AQ的平面分別與棱BB1,DD1交于點(diǎn)P,R,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.對(duì)于任意的點(diǎn)Q,都有APQRB.對(duì)于任意的點(diǎn)Q,四邊形APQR不可能為平行四邊形C.存在點(diǎn)Q,使得ARP為等腰直角三角形D.存在點(diǎn)Q,使得直線BC平面APQR答案C解析ABCD,AA1DD1,平面ABB1A1平面CDD1C1,平面APQR平面ABB1A1=AP,平面APQR平面CDD1C1=RQ,APQR,故A正確.四邊形ABCD是直角梯形,ABCD,平面BCC1B1與平面ADD1A1不平行,平面APQR平面BCC1B1=PQ,平面APQR平面ADD1A1=AR,PQ與AR不平行,故四邊形APQR不可能為平行四邊形,故B正確.延長(zhǎng)CD至M,使得DM=CM,則四邊形ABCM是矩形,BCAM.當(dāng)R,Q,M三點(diǎn)共線時(shí),AM平面APQR,BC平面APQR,故D正確.故選C.13.(2017浙江溫州模擬)如圖,在四邊形ABCD中,AB=BD=DA=2,BC=CD=2.現(xiàn)將ABD沿BD折起,當(dāng)二面角A-BD-C處于6,56過(guò)程中,直線AB與CD所成角的余弦值取值范圍是()A.-528,28B.28,528C.0,28D.0,528答案D解析如圖所示,取BD中點(diǎn)E,連接AE,CE,AEC即為二面角A-BD-C的平面角,而AC2=AE2+CE2-2AE·CE·cosAEC=4-23cosAEC,AEC6,56,AC1,7,AB·CD=22cos<AB,CD>=AB·(BD-BC)=-2+AB·BC·AB2+BC2-AC22AB·BC=1-AC22-52,12,設(shè)異面直線AB,CD所成的角為,0cos122×52=528,故選D.14.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別為棱C1D1,C1C的中點(diǎn),則直線BN與MB1是直線(填“相交”或“平行”或“異面”);直線MN與AC所成的角的大小為. 答案異面60°解析(1)M,B,B1三點(diǎn)共面,且在平面MBB1中,點(diǎn)N平面MBB1,BMB1,因此直線BN與MB1是異面直線;(2)連接D1C,因?yàn)镈1CMN,所以直線MN與AC所成的角就是D1C與AC所成的角,且角為60°.15.如圖,長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形,點(diǎn)E在側(cè)棱AA1上,滿足C1EB=90°,則異面直線BE與C1B1所成的角為,側(cè)棱AA1的長(zhǎng)的最小值為. 答案90°2解析連接BC1,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,CB平面ABB1A1,CBE=90°.又C1B1BC,異面直線BE與C1B1所成的角為90°.設(shè)AA1=x,AE=m(m0),所以BE2=1+m2,EC12=(x-m)2+2,BC12=1+x2,因?yàn)镃1EB=90°,所以BC12=EC12+BE2,即1+x2=(x-m)2+2+1+m2,即m2-mx+1=0,所以x=m+1m2當(dāng)且僅當(dāng)m=1m,即m=1時(shí)等號(hào)成立.16.(2018浙江桐鄉(xiāng)一中)在三棱錐A-BCD中,ADBC,AD=BC=2,AB=CD=4,則直線AB與CD所成角的大小為. 答案45°解析取BD的中點(diǎn)G,連接EG,FG,ABD中,E,G分別為AB,BD的中點(diǎn),EGAD且EG=12AD.同理可得FGBC,且FG=12BC,EF與FG所成的直角或銳角就是異面直線EF與BC所成的角.ADBC且AD=BC,EFG中,EGGF且EG=GF.EGF=45°,即異面直線EF與BC所成角等于45°.故答案為45°.17.已知正方形ABCD和矩形ADEF,DE平面ABCD,G是AF的中點(diǎn).(1)求證:EBAC;(2)若直線BE與平面ABCD成45°角,求異面直線GE與AC所成角的余弦值.(1)證明在矩形ADEF中,EDAD.平面ADEF平面ABCD,且平面ADEF平面ABCD=AD,ED平面ABCD.EDAC.(2)解由(1)知:ED平面ABCD,EBD是直線BE與平面ABCD所成的角,即EBD=45°.設(shè)AB=a,則DE=BD=2a,取DE的中點(diǎn)M,連接AM.G是AF的中點(diǎn),AMGE.MAC是異面直線GE與AC所成角或其補(bǔ)角.連接BD交AC于點(diǎn)O.AM=CM=a2+22a2=62a,O是AC的中點(diǎn),MOAC.cosMAC=AOAM=22a62a=33.異面直線GE與AC所成角的余弦值為33.18.(2018北京高考)如圖,ABC是等腰直角三角形CAB=90°,AC=2a,E,F分別為AC,BC的中點(diǎn),沿EF將CEF折起,得到如圖所示的四棱錐C'-ABFE.(1)求證:AB平面AEC'(2)當(dāng)四棱錐C'-ABFE體積取最大值時(shí),若G為BC'中點(diǎn),求異面直線GF與AC'所成角.(1)證明因?yàn)锳BC是等腰直角三角形,CAB=90°,E,F分別為AC,BC的中點(diǎn),所以EFAE,EFC'E.又因?yàn)锳EC'E=E,所以EF平面AEC'.由于EFAB,所以有AB平面AEC'.(2)解取AC'中點(diǎn)D,連接DE,EF,FG,GD,由于GD為ABC'中位線,以及EF為ABC中位線,所以四邊形DEFG為平行四邊形.直線GF與AC'所成角就是DE與AC'所成角.所以四棱錐C'-ABFE體積取最大值時(shí),C'E垂直于底面ABFE.此時(shí)AEC'為等腰直角三角形,ED為中線,所以直線EDAC'.所以異面直線GF與AC'所成角為90°.9