《2020高考數(shù)學刷題首選卷 第五章 不等式、推理與證明、算法初步與復數(shù) 考點測試39 復數(shù) 文(含解析)》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《2020高考數(shù)學刷題首選卷 第五章 不等式、推理與證明、算法初步與復數(shù) 考點測試39 復數(shù) 文(含解析)(10頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、考點測試39 復數(shù)
高考概覽
考綱研讀
1.理解復數(shù)的基本概念
2.理解復數(shù)相等的充要條件
3.了解復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義
4.會進行復數(shù)代數(shù)形式的四則運算
5.了解復數(shù)代數(shù)形式的加、減運算的幾何意義
一、基礎小題
1.設z1=2+bi,z2=a+i,當z1+z2=0時,復數(shù)a+bi=( )
A.1+i B.2+i C.3 D.-2-i
答案 D
解析 ∵z1+z2=(2+bi)+(a+i)=(2+a)+(b+1)i=0,∴∴∴a+bi=-2-i,故選D.
2.若(1+i)+(2-3i)=a+bi(a,b∈R,i是虛數(shù)單位),則a,b的值分別
2、等于( )
A.3,-2 B.3,2 C.3,-3 D.-1,4
答案 A
解析 由于(1+i)+(2-3i)=3-2i,所以3-2i=a+bi(a,b∈R),由復數(shù)相等定義,a=3,且b=-2,故選A.
3.若復數(shù)z滿足z+(3-4i)=1,則z的虛部是( )
A.-2 B.4 C.3 D.-4
答案 B
解析 z=1-(3-4i)=-2+4i,所以z的虛部是4,故選B.
4.如圖,在復平面內,點A表示復數(shù)z,由圖中表示z的共軛復數(shù)的點是( )
A.A B.B
C.C D.D
答案 B
解析 表示復數(shù)z的點A與表示z的共軛復數(shù)的點關于x軸
3、對稱,∴B點表示.選B.
5.已知復數(shù)z=1-i,則=( )
A.2 B.-2 C.2i D.-2i
答案 A
解析?。剑?,故選A.
6.已知z=(i是虛數(shù)單位),則復數(shù)z的實部是( )
A.0 B.-1 C.1 D.2
答案 A
解析 因為z===i,所以復數(shù)z的實部為0,故選A.
7.復數(shù)=( )
A.--i B.-+i
C.-i D.+i
答案 C
解析?。剑?
===-i.
8.設i是虛數(shù)單位,復數(shù)為純虛數(shù),則實數(shù)a為( )
A.2 B.-2 C.- D.
答案 A
解析 解法一:因為=
=為純虛數(shù),所以2-a=0,a
4、=2.
解法二:令=mi(m≠0),∴1+ai=(2-i)mi=m+2mi.∴∴a=2.
9.在復平面內,向量對應的復數(shù)是2+i,向量對應的復數(shù)是-1-3i,則向量對應的復數(shù)為( )
A.1-2i B.-1+2i
C.3+4i D.-3-4i
答案 D
解析?。剑剑?-3i-2-i=-3-4i,故選D.
10.設z是復數(shù),則下列命題中的假命題是( )
A.若z2≥0,則z是實數(shù) B.若z2<0,則z是虛數(shù)
C.若z是虛數(shù),則z2≥0 D.若z是純虛數(shù),則z2<0
答案 C
解析 設z=a+bi(a,b∈R),z2=a2-b2+2abi,由z2≥0,得即或所以
5、a=0時b=0,b=0時a∈R.故z是實數(shù),所以A為真命題;由于實數(shù)的平方不小于0,所以當z2<0時,z一定是虛數(shù),且為純虛數(shù),故B為真命題;由于i2=-1<0,故C為假命題,D為真命題.
11.已知是復數(shù)z的共軛復數(shù),若z·=2(+i),則z=( )
A.-1-i B.-1+i C.1+i D.1-i
答案 C
解析 設z=a+bi(a,b∈R),由z·=2(+i),有(a+bi)(a-bi)=2(a-bi+i),解得a=b=1,所以z=1+i,故選C.
12.在復平面內,復數(shù)z對應的點是Z(1,-2),則復數(shù)z的共軛復數(shù)=________.
答案 1+2i
解析 由復
6、數(shù)z在復平面內的坐標有z=1-2i,所以共軛復數(shù)=1+2i.
二、高考小題
13.(2017·全國卷Ⅲ)設復數(shù)z滿足(1+i)z=2i,則|z|=( )
A. B. C. D.2
答案 C
解析 解法一:∵(1+i)z=2i,∴z====1+i.∴|z|==.
解法二:∵(1+i)z=2i,∴|1+i|·|z|=|2i|,即·|z|=2,∴|z|=.
14.(2018·全國卷Ⅰ)設z=+2i,則|z|=( )
A.0 B. C.1 D.
答案 C
解析 因為z=+2i=+2i=+2i=i,所以|z|==1,故選C.
15.(2018·全國卷Ⅱ)=( )
7、
A.--i B.-+i
C.--i D.-+i
答案 D
解析 ∵==,∴選D.
16.(2018·全國卷Ⅲ)(1+i)(2-i)=( )
A.-3-i B.-3+i
C.3-i D.3+i
答案 D
解析 (1+i)(2-i)=2-i+2i-i2=3+i,故選D.
17.(2018·浙江高考)復數(shù)(i為虛數(shù)單位)的共軛復數(shù)是( )
A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i
答案 B
解析 ∵==1+i,∴的共軛復數(shù)為1-i.
18.(2018·北京高考)在復平面內,復數(shù)的共軛復數(shù)對應的點位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C
8、.第三象限 D.第四象限
答案 D
解析 ∵==+i,∴其共軛復數(shù)為-i,又-i在復平面內對應的點,-在第四象限,故選D.
19.(2017·北京高考)若復數(shù)(1-i)(a+i)在復平面內對應的點在第二象限,則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.(-∞,1) B.(-∞,-1)
C.(1,+∞) D.(-1,+∞)
答案 B
解析 ∵復數(shù)(1-i)(a+i)=a+1+(1-a)i在復平面內對應的點在第二象限,∴∴a<-1.故選B.
20.(2017·山東高考)已知a∈R,i是虛數(shù)單位.若z=a+i,z·=4,則a=( )
A.1或-1 B.或-
C.- D.
答案
9、 A
解析 ∵z=a+i,∴=a-i.又∵z·=4,∴(a+i)(a-i)=4,∴a2+3=4,∴a2=1,∴a=±1.故選A.
21.(2017·全國卷Ⅰ)設有下面四個命題:
p1:若復數(shù)z滿足∈R,則z∈R;
p2:若復數(shù)z滿足z2∈R,則z∈R;
p3:若復數(shù)z1,z2滿足z1z2∈R,則z1=2;
p4:若復數(shù)z∈R,則∈R.
其中的真命題為( )
A.p1,p3 B.p1,p4 C.p2,p3 D.p2,p4
答案 B
解析 對于命題p1,設z=a+bi(a,b∈R),由==∈R,得b=0,則z∈R成立,故正確;對于命題p2,設z=a+bi(a,b∈R),
10、由z2=(a2-b2)+2abi∈R,得a·b=0,則a=0或b=0,復數(shù)z為實數(shù)或純虛數(shù),故錯誤;對于命題p3,設z1=a+bi(a,b∈R),z2=c+di(c,d∈R),由z1·z2=(ac-bd)+(ad+bc)i∈R,得ad+bc=0,不一定有z1=2,故錯誤;對于命題p4,設z=a+bi(a,b∈R),則由z∈R,得b=0,所以=a∈R成立,故正確.故選B.
22.(2018·天津高考)i是虛數(shù)單位,復數(shù)=________.
答案 4-i
解析?。剑剑?-i.
23.(2016·天津高考)已知a,b∈R,i是虛數(shù)單位.若(1+i)·(1-bi)=a,則的值為________
11、.
答案 2
解析 由(1+i)(1-bi)=a,得1+b+(1-b)i=a,則解得所以=2.
24.(2017·浙江高考)已知a,b∈R,(a+bi)2=3+4i(i是虛數(shù)單位),則a2+b2=________,ab=________.
答案 5 2
解析 解法一:∵(a+bi)2=a2-b2+2abi,a,b∈R,
∴??
∴a2+b2=2a2-3=5,ab=2.
解法二:由解法一知ab=2,
又|(a+bi)2|=|3+4i|=5,∴a2+b2=5.
三、模擬小題
25.(2018·鄭州質檢一)復數(shù)(i為虛數(shù)單位)的值為( )
A.-1-3i B.-1+3i
12、
C.1+3i D.1-3i
答案 A
解析?。剑剑?-3i,故選A.
26.(2018·唐山模擬)復數(shù)z=的共軛復數(shù)為( )
A.1+2i B.1-2i C.2-2i D.-1+2i
答案 B
解析 因為z===1+2i,所以=1-2i.
27.(2018·沈陽質檢一)已知i為虛數(shù)單位,復數(shù)的共軛復數(shù)在復平面內對應的點位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案 B
解析 因為==--i,所以其共軛復數(shù)為-+i,在復平面內所對應的點為-,,在第二象限,故選B.
28.(2018·長春質檢二)已知復數(shù)z=1+i(i是虛數(shù)單位)
13、,則z2+z=( )
A.1-2i B.1+3i C.1-3i D.1+2i
答案 B
解析 z2+z=(1+i)2+1+i=1+2i+i2+1+i=1+3i.故選B.
29.(2018·湖北八市聯(lián)考)設復數(shù)z=(i為虛數(shù)單位),則下列命題錯誤的是( )
A.|z|=
B.=1-i
C.z的虛部為i
D.z在復平面內對應的點位于第一象限
答案 C
解析 依題意,有z==1+i,則其虛部為1,故選C.
30.(2018·石家莊質檢二)已知復數(shù)z滿足zi=i+m(i為虛數(shù)單位,m∈R),若z的虛部為1,則復數(shù)z在復平面內對應的點在( )
A.第一象限 B.第二
14、象限
C.第三象限 D.第四象限
答案 A
解析 依題意,設z=a+i(a∈R),則由zi=i+m,得ai-1=i+m,從而故z=1+i,在復平面內對應的點為(1,1),在第一象限,故選A.
31.(2018·太原模擬)設復數(shù)z滿足=i(i為虛數(shù)單位),則z的共軛復數(shù)為( )
A.i B.-i C.2i D.-2i
答案 A
解析 由=i,整理得(1+i)z=1-i,z===-i,所以z的共軛復數(shù)為i.故選A.
32.(2018·南昌一模)歐拉公式eix=cosx+isinx(i為虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學家歐拉發(fā)現(xiàn)的,它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復數(shù),建立了三角函數(shù)和
15、指數(shù)函數(shù)的關系,它在復變函數(shù)論里非常重要,被譽為“數(shù)學中的天橋”,根據(jù)歐拉公式可知,ei表示的復數(shù)位于復平面內的( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案 A
解析 由歐拉公式ei=cos+isin=+i,所以ei表示的復數(shù)位于復平面內的第一象限.選A.
33.(2018·衡陽三模)若復數(shù)z滿足z+i=(i為虛數(shù)單位),則復數(shù)z的虛部為( )
A.2 B.2i C.-2 D.-2i
答案 C
解析 由z+i=,得z+i=-i,z=-2i,故復數(shù)z的虛部為-2,故選C.
34.(2018·青島模擬)在復平面內,設復數(shù)z1,z2對應的點關于
16、虛軸對稱,z1=1+2i(i是虛數(shù)單位),則z1z2=( )
A.5 B.-5 C.-1-4i D.-1+4i
答案 B
解析 由題意z2=-1+2i,所以z1z2=(1+2i)(-1+2i)=-1+4i2=-5.故選B.
一、高考大題
本考點在近三年高考中未涉及此題型.
二、模擬大題
1.(2018·成都診斷)已知關于t的一元二次方程t2+(2+i)t+2xy+(x-y)i=0(x,y∈R).
(1)當方程有實根時,求點(x,y)的軌跡方程;
(2)求方程的實根的取值范圍.
解 (1)設實根為m,
則m2+(2+i)m+2xy+(x-y)i=0,
即(m2
17、+2m+2xy)+(m+x-y)i=0.
根據(jù)復數(shù)相等的充要條件得
由②得m=y(tǒng)-x,
代入①得(y-x)2+2(y-x)+2xy=0,
即(x-1)2+(y+1)2=2?、?
故點(x,y)的軌跡方程為(x-1)2+(y+1)2=2.
(2)由(1)知點(x,y)的軌跡是一個圓,圓心為(1,-1),半徑r=,
設方程的實根為m,
則直線m+x-y=0與圓(x-1)2+(y+1)2=2有公共點,
所以≤,即|m+2|≤2,即-4≤m≤0.
故方程的實根的取值范圍是[-4,0].
2.(2018·九江高二質檢)已知M={1,(m2-2m)+(m2+m-2)i},P={-1,1,4i},若M∪P=P,求實數(shù)m的值.
解 ∵M∪P=P,∴M?P.
即(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1或(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i.
當(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1時,
有解得m=1;
當(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i時,
有
解得m=2.
綜上可知m=1或m=2.
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