（名師導學）2020版高考數(shù)學總復習 第五章 平面向量、復數(shù) 第30講 平面向量的數(shù)量積練習 理（含解析）新人教A版

第30講平面向量的數(shù)量積夯實基礎【p65】【學習目標】1理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義；2了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關系；3掌握數(shù)量積的坐標表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算；4能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角及判斷兩個平面向量的垂直關系；5會用向量方法解決一些簡單的平面幾何問題及力學問題【基礎檢測】1向量a(1，1)，b(1，2)，則(2ab)·a()A1 B0 C1 D2【解析】法一：a(1，1)，b(1，2)，a22，a·b3，從而(2ab)·a2a2a·b431.法二：a(1，1)，b(1，2)，2ab(2，2)(1，2)(1，0)，從而(2ab)·a(1，0)·(1，1)1.【答案】C2已知向量a，b滿足|a|，|b|2，a與b的夾角為.若a(ab)，則實數(shù)()A1 B. C. D2【解析】a，a·0，即a2a·b0，3×2××cos0，解得.【答案】C3已知點A(1，1)，B(1，2)，C(2，1)，D(3，4)，則向量在方向上的投影為()A.B.CD【解析】由題意知(2，1)，(5，5)，則在方向上的投影為|·cos，.【答案】A4已知向量a，b，其中|a|，|b|2，且(ab)a，則向量a與b的夾角是()A. B. C.D.【解析】(ab)a，a·(ab)0，即a2a·b0，|a|2|a|b|cos 0，22cos 0，cos ，所以.【答案】B5若等邊ABC的邊長為2，平面內(nèi)一點M滿足，則·_【解析】因為···×12×12×12×2.【答案】2【知識要點】1兩向量的夾角已知非零向量a，b，作a，b，則AOB叫做a與b的夾角a與b的夾角的取值范圍是_0，_當a與b同向時，它們的夾角為_0_；當a與b反向時，它們的夾角為_；當夾角為90°時，我們說a與b垂直，記作ab.2向量數(shù)量積的定義已知兩個非零向量a與b，我們把_|a|b|cos_叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b|a|b|cos .規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積為0，即0·a0.3向量數(shù)量積的幾何意義向量的投影：|a|cos 叫做向量a在b方向上的投影，當為銳角時，它是正值；當為鈍角時，_它是負值_；當為直角時，它是零a·b的幾何意義：數(shù)量積a·b等于_a的長度|a|_與b在a方向上的投影|b|cos 的乘積4平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標表示已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，為向量a，b的夾角.結(jié)論幾何表示坐標表示模|a|a|_數(shù)量積a·b|a|·|b|cos a·bx1x2y1y2夾角cos cos ab的充要條件a·b0x1x2y1y20|a·b|與|a|b|的關系|a·b|a|·|b|(當且僅當ab時等號成立)|x1x2y1y2|·5.平面向量數(shù)量積的運算律(1)a·bb·a.(2)(a)·b(a·b)a·(b)(R)(3)(ab)·ca·cb·c.典例剖析【p65】考點1平面向量的數(shù)量積的運算(1)已知向量a(1，1)，b(2，x)，若a·b1，則x()A1 BC.D1【解析】a·b1×2(1)×x2x1，x1.【答案】D(2)已知e1，e2是夾角為的兩個單位向量，ae12e2，bke1e2，若a·b0，則實數(shù)k的值為_【解析】因為a·b(e12e2)·(ke1e2)ke(12k)(e1·e2)2e，且|e1|e2|1，e1·e2，所以k(12k)·20，解得k.【答案】(3)已知向量與的夾角為120°，且|3，|2，若，且，則實數(shù)的值為_【解析】向量與的夾角為120°，且|3，|2，·|·|cos 120°2×3×3.，且，···0，即··|2|20，33490，解得.【答案】(4)正方形ABCD邊長為2，中心為O，直線l經(jīng)過中心O，交AB于M，交CD于N, P為平面上一點，且2(1)，則·的最小值是()AB1 CD2【解析】由題意可得：·(4242)22，設2，則(1)，(1)1，Q，B，C三點共線當MN與BD重合時，最大，且max2，據(jù)此：(·)min2.【答案】C【點評】向量數(shù)量積的2種運算方法方法運用提示適用題型定義法當已知向量的模和夾角時，可利用定義法求解，即a·b|a|·|b|cos適用于平面圖形中的向量數(shù)量積的有關計算問題坐標法當已知向量的坐標時，可利用坐標法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則a·bx1x2y1y2適用于已知相應向量的坐標求解數(shù)量積的有關計算問題考點2平面向量的夾角與垂直問題已知a(1，2)，b(3，4)，cab(R)(1)為何值時，|c|最小？此時c與b的位置關系如何？(2)為何值時，c與a的夾角最??？此時c與a的位置關系如何？【解析】(1)c(13，24)，|c|2(13)2(24)2510252254，當時， |c|最小，此時c，b·c(3，4)·0，bc，當時， |c|最小，此時bc.(2)設c與a的夾角為，則cos ，要c與a的夾角最小，則cos 最大，0，故cos 的最大值為1，此時0，cos 1，1，解之得0，c(1，2)0時，c與a的夾角最小，此時c與a平行【點評】本題主要考查向量的數(shù)量積和坐標運算求解兩個向量之間的夾角的步驟：第一步，先計算出兩個向量的數(shù)量積；第二步，分別求出這兩個向量的模；第三步，根據(jù)公式cosa，b，求解出這兩個向量夾角的余弦值；第四步，根據(jù)兩個向量夾角的范圍在0，內(nèi)及其余弦值，求出這兩個向量的夾角其中當向量的夾角為銳角時a·b>0，且兩向量不共線，當向量的夾角為鈍角時a·b<0，且兩向量不共線考點3平面向量的模及其應用(1)已知a，b是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量c滿足(ac)·(bc)0，則|c|的最大值是()A1 B2 C.D.【解析】由(ac)·(bc)0，得a·b(ab)·cc20，因為a與b垂直，所以a·b0，進而可得c2(ab)·c，即|c|2|ab|c|cos ，又由a、b為互相垂直的兩個單位向量可知|ab|.所以|c|cos ，|c|，即|c|的最大值為.【答案】C(2)已知|a|4，e為單位向量，當a、e的夾角為時，ae在ae上的投影為()A5 B.C.D.【解析】由題設，(ae)·(ae)421215，所以.【答案】D【點評】解答本題的關鍵是準確理解向量在另一個向量上的投影的概念求解時先求兩個向量ae和ae的模及數(shù)量積的值，然后再運用向量的射影的概念，運用公式進行計算，從而使得問題獲解在平面直角坐標系中，O為原點，A(1，0)，B(0，)，C(3，0)(1)求向量，夾角的大??；(2)若動點D滿足|1，求|的最大值【解析】(1)因為A(1，0)，B(0，)，C(3，0)，所以(4，0)，(3，)，所以cos，所以向量，的夾角為30°.(2)因為C的坐標為(3，0)且|CD|1，所以動點D的軌跡為以C為圓心的單位圓，則D的坐標滿足參數(shù)方程(為參數(shù)且0，2)，所以設D的坐標為(3cos ，sin )(0，2)，則|.因為2cos sin 的最大值為，所以|的最大值為1.【點評】平面向量數(shù)量積求向量的模的策略a2a·a|a|2或|a|.|a±b|.若a(x，y)，則|a|.方法總結(jié)【p66】1要準確理解兩個向量的數(shù)量積的定義及幾何意義，熟練掌握向量數(shù)量積的五個重要性質(zhì)及三個運算規(guī)律向量的數(shù)量積的運算不同于實數(shù)乘法的運算律，數(shù)量積不滿足結(jié)合律：(a·b)·ca·(b·c)；消去律：a·ba·c/ bc；a·b0/ a0或b0，但滿足交換律和分配律2公式a·b|a|b|cos ；a·bx1x2y1y2；|a|2a2x2y2的關系非常密切，必須能夠靈活綜合運用3通過向量的數(shù)量積，可以計算向量的長度，平面內(nèi)兩點間的距離，兩個向量的夾角，判斷相應的兩直線是否垂直4abx1y2x2y10與abx1x2y1y20要區(qū)分清楚走進高考【p66】1(2018·全國卷)已知向量a，b滿足|a|1，a·b1，則a·(2ab)()A4 B3 C2 D0【解析】因為a·(2ab)2a2a·b2|a|2(1)213.【答案】B2(2018·浙江)已知a，b，e是平面向量，e是單位向量若非零向量a與e的夾角為，向量b滿足b24e·b30，則|ab|的最小值是()A.1 B.1 C2 D2【解析】法一：設O為坐標原點，a，b(x，y)，e(1，0)，由b24e·b30得x2y24x30，即(x2)2y21，所以點B的軌跡是以C(2，0)為圓心，1為半徑的圓因為a與e的夾角為，所以不妨令點A在射線yx(x>0)上，如圖，數(shù)形結(jié)合可知|ab|min|1.法二：由b24e·b30得b24e·b3e2(be)·(b3e)0.設b，e，3e，所以be，b3e，所以·0，取EF的中點為C，則B在以C為圓心，EF為直徑的圓上，如圖設a，作射線OA，使得AOE，所以|ab|(a2e)(2eb)|a2e|2eb|1.【答案】A3(2017·山東)已知e1，e2是互相垂直的單位向量，若e1e2與e1e2的夾角為60°，則實數(shù)的值是_【解析】(e1e2)·(e1e2)ee1·e2e1·e2e，|e1e2|2，|e1e2|，2××cos 60°，解得.【答案】考點集訓【p210】A組題1在RtABC中，C90°，AC4，則·()A16 B8 C8 D16【解析】法一：因為cos A，所以·|·cos AAC216.法二：在上的投影為|cos A|，故·|·|cos AAC216.【答案】D2已知向量a(cos 75°，sin 75°)，b(cos 15°，sin 15°)，則向量a與向量b的夾角為()A90° B0°C45° D60°【解析】cos cos 75°cos 15°sin 75°sin 15°cos 60°，所以60°.【答案】D3已知向量a(1，0)，|b|，a與b的夾角為45°，若cab，dab，則c在d方向上的投影為()A. B C1 D1【解析】a·b|a|·|b|cos 45°1××1，|d|ab|1，c·da2b21，|c|cos 1.【答案】D4若向量|a|，|b|1，|c|，且a·b0，則a·cb·c的最大值是()A1 B.C.D3【解析】a·cb·c(ab)·c·cosab，c3，選D.【答案】D5在ABC中，已知|4，|1，SABC，則·的值為_【解析】SABC×4×1×sin A，sin A，cosA±，·4×1×±2.【答案】±26已知向量，的夾角是120°，且|2，|3，若，且，則實數(shù)的值是_【解析】，·0·0，即22·0，24，29，··cosBAC3，式變?yōu)椋?930，解得.【答案】7已知|a|4，|b|8，a與b的夾角是120°.(1)計算：|ab|，|4a2b|；(2)當k為何值時，(a2b)(kab)【解析】由已知得a·b4×8×16.(1)|ab|2a22a·bb2162×(16)6448，|ab|4.|4a2b|216a216a·b4b216×1616×(16)4×64768，|4a2b|16.(2)(a2b)(kab)，(a2b)·(kab)0，ka2(2k1)a·b2b20，即16k16(2k1)2×640，k7.即k7時，a2b與kab垂直8已知平面上三點A，B，C，(2k，3)，(2，4)(1)若A，B，C三點不能構成三角形，求實數(shù)k應滿足的條件；(2)若ABC為直角三角形，求k的值【解析】(1)由A，B，C三點不能構成三角形，得A，B，C在同一直線上，即向量與平行，4(2k)2×30，解得k.(2)(2k，3)，(k2，3)，(k，1)若ABC為直角三角形，則當A是直角時，即·0，2k40，解得k2；當B是直角時，即·0，k22k30，解得k3或k1；當C是直角時，即·0，162k0，解得k8.綜上得k的值為2，1，3，8.B組題1在等腰ABC中，BAC120°，ABAC2，2，3，則·的值為()ABC.D.【解析】在等腰ABC中，BAC120°，ABAC2，2，3，··|2|2·×4×4×2×2×.【答案】A2在RtABC中，CACB3，M，N是斜邊AB上的兩個動點，且MN，則·的取值范圍是()A. B.C. D.【解析】以C為坐標原點，CA所在直線為x軸建立平面直角坐標系，則A(3，0)，B(0，3)，AB所在直線的方程為1，則y3x.設M(a，3a)，N(b，3b)，且0a3，0b3，不妨設ab，MN，(ab)2(ba)22，ab1，ab1，0b2，·(a，3a)·(b，3b)2ab3(ab)92(b22b3)2(b1)24，又0b2，當b0或b2時有最大值6；當b1時有最小值4，·的取值范圍是4，6【答案】D3已知向量(6，1)，(x，y)，(2，3)(1)若，求x與y之間的關系式；(2)在(1)的條件下，若，求x，y的值及四邊形ABCD的面積【解析】(1)(x4，y2)，(x4，2y)，又且(x，y)，x(2y)y(x4)0，即x2y0.(2)由于(x6，y1)，(x2，y3)，又，·0，即(x6)(x2)(y1)(y3)0.聯(lián)立，化簡得y22y30.解得y3或y1.故當y3時，x6，此時(0，4)，(8，0)，S四邊形ABCD|·|16；當y1時，x2，此時(8，0)，(0，4)，S四邊形ABCD|·|16.4已知向量a，b夾角為，|b|2，且對任意xR，有|bxa|ab|.求|tba|tb|(tR)的最小值【解析】向量a，b夾角為，|b|2，對任意xR，有|bxa|ab|，兩邊平方整理可得x2a22xa·b(a22a·b)0，則4(a·b)24a2(a22a·b)0，即有(a2a·b)20，即a2a·b，則(ab)a，由向量a，b夾角為，|b|2，由a2a·b|a|·|b|·cos，即有|a|1，則|ab|，畫出a，b，建立平面直角坐標系，如圖所示則A(1，0)，B(0，)，a(1，0)，b(1，)|tba|2表示P(t，0)與M，N的距離之和的2倍，當M，P，N共線時，取得最小值2|MN|.即有2|MN|2.備課札記17