（浙江專用）備戰(zhàn)2020年高考數學 考點一遍過 考點05 二次函數與冪函數（含解析）

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1、1考點考點 0 05 5 二次函數與冪函數二次函數與冪函數（1）了解冪函數的概念.掌握冪函數的圖象和性質.（2）了解冪函數的變化特征.（3）能將一些簡單的實際問題轉化為二次函數或冪函數問題，并給予解決.一、一、二次函數二次函數1二次函數的概念二次函數的概念形如的函數叫做二次函數.2表示形式表示形式(1)一般式：f(x)=ax2bxc(a0).(2)頂點式：f(x)=a(xh)2k(a0)，其中(h，k)為拋物線的頂點坐標.(3)兩根式：f(x)=a(xx1)(xx2)(a0)，其中 x1，x2是拋物線與 x 軸交點的橫坐標.3二次函數的圖象與性質二次函數的圖象與性質函數解析式圖象(拋物線)定義

2、域R值域對稱性函數圖象關于直線對稱2頂點坐標奇偶性當 b=0 時是偶函數，當 b0 時是非奇非偶函數單調性在上是減函數；在上是增函數.在上是增函數；在上是減函數.最值當時，當時，4常用結論常用結論(1)函數 f(x)=ax2bxc(a0)的圖象與 x 軸交點的橫坐標是方程 ax2bxc=0 的實根.(2)若 x1，x2為 f(x)=0 的實根，則 f(x)在 x 軸上截得的線段長應為|x1x2|=.(3)當且()時，恒 有 f(x)0()；當且()時，恒 有f(x)0 時，圖象過原點，在第一象限的圖象上升；當101cbBabcCcabDbca【答案】A6【解析】因為在上是增函數，所以又因為在上

3、是減函數，所以.【名師點睛】同底數的兩個數比較大小，考慮用指數函數的單調性；同指數的兩個數比較大小，考慮用冪函數的單調性，有時需要取中間量.3已知，則下列結論成立的是ABCD考向三二次函數的圖象與性質高考對二次函數圖象與性質進行單獨考查的頻率較低，常與一元二次方程、一元二次不等式等知識交匯命題，考查二次函數圖象與性質的應用，以選擇題、填空題的形式呈現，有時也出現在解答題中，解題時要準確運用二次函數的圖象與性質，掌握數形結合的思想方法.常見類型及解題策略：1圖象識別問題圖象識別問題辨析二次函數的圖象應從開口方向、對稱軸、頂點坐標以及圖象與坐標軸的交點等方面著手討論或逐項排除2二次函數最值問題的類

4、型及處理思路二次函數最值問題的類型及處理思路(1)類型：a.對稱軸、區(qū)間都是給定的；b.對稱軸動、區(qū)間固定；c.對稱軸定、區(qū)間變動(2)解決這類問題的思路：抓住“三點一軸”數形結合，三點是指區(qū)間的兩個端點和中點，一軸指的是對稱軸，結合配方法，根據函數的單調性及分類討論的思想即可完成3解決一元二次方程根的分布問題的方法解決一元二次方程根的分布問題的方法常借助于二次函數的圖象數形結合來解，一般從：a.開口方向；b.對稱軸位置；c.判別式；d.端點函數值符號四個方面分析4求解與二次函數有關的不等式恒成立問題求解與二次函數有關的不等式恒成立問題往往先對已知條件進行化簡，轉化為下面兩種情況：(1)ax2

5、bxc0，a0 恒成立的充要條件是.7(2)ax2bxcA 在區(qū)間 D 上恒成立，此時就等價于在區(qū)間 D上 f(x)minA，接下來求出函數 f(x)的最小值；若不等式 f(x)B 在區(qū)間 D 上恒成立，則等價于在區(qū)間 D 上f(x)maxB，求出函數 f(x)的最大值即可.典例典例 4 4 若函數在定義域內是增函數，則實數的最小值為_.【答案】【解析】的定義域為，因為在上為增函數，故在上恒成立，且不恒為零.在上恒成立等價于在上恒成立，故即，而當，當且僅當時有，故不恒為零.的最小值為.故填.【名師點睛】一般地，若在區(qū)間上可導，且，則在上為單調增（減）函數；反之，若在區(qū)間上可導且為單調增（減）函

6、數，則且不恒為零4“”是“函數在區(qū)間上為增函數”的A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件8典例典例 5 5 已知函數，若對于任意的都有，則實數的取值范圍為.【答案】【解析】據題意解得5已知 a，b，cR，函數 f(x)ax2bxc若 f(0)f(4)f(1)，則Aa0，4ab0Ba0，4ab0Ca0，2ab0Da0，2ab01若冪函數f(x)的圖象過點(2,2)，則函數y=f(x)+1x的最大值為A1BC2D2已知，則的大小關系是ABCD3冪函數的圖象經過點，則ABCD24函數的大致圖象是9ABCD5已知冪函數f（x）=xa（a是常數），則A的定義域為 R RB在上單

7、調遞增C的圖象一定經過點D的圖象有可能經過點6已知：冪函數在上單調遞增；則是的A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件7已知冪函數的圖象過點，則函數在區(qū)間上的最小值是AB0CD8設，則、的大小關系為ABCD9已知點在冪函數的圖象上，設則的大小關系為ABCD10已知函數（其中，且）在區(qū)間上單調遞增，則函數10的定義域為ABCD11已知函數既是二次函數又是冪函數，函數是上的奇函數，函數，則A0B2018C4036D403712已知函數，則函數的最小值是_13對冪函數有以下結論（1）的定義域是；（2）的值域是；（3）的圖象只在第一象限；（4）在上遞減；（5）是奇函數則所有正確

8、結論的序號是_14已知二次函數 f x的最小值為 1,且 2,03f xfxf（1）求 f x的解析式；（2）在區(qū)間1,1上,yf x的圖象恒在221yxm的圖象上方，試確定實數m的取值范圍1115已知函數329()6.2f xxxxa（1）對任意實數,()x fxm恒成立，求的最大值；（2）若函數恰有一個零點，求的取值范圍.1（2019 年高考北京文數）下列函數中，在區(qū)間（0，+）上單調遞增的是A12yxBy=2xC12logyxD1yx2（2017 年高考浙江卷）若函數f(x)=x2+ax+b在區(qū)間0，1上的最大值是M，最小值是m，則MmA與a有關，且與b有關B與a有關，但與b無關12C與

9、a無關，且與b無關D與a無關，但與b有關3（2017 年高考山東卷理科）已知當0,1x時，函數21ymx的圖象與yxm的圖象有且只有一個交點，則正實數m的取值范圍是A0,12 3,B 0,13,C0,22 3,D0,23,4（2016 年高考新課標 III 卷理科）已知432a，254b，1325c，則AbacBabcCbcaDcab5（2016 年高考浙江卷文科）已知函數f(x)=x2+bx，則“b 2x+2m+1在 1,1上恒成立，化簡得m x23x+1,設g(x)=x23x+1,則g(x)在區(qū)間 1,1上單調遞減，則g(x)在區(qū)間 1,1上的最小值為g(1)=1,則有m 1,故m的取值范

10、圍為(,1)15【答案】（1）；（2）.【解析】（1），恒成立，故，即的最大值為.（2），或；，18在和上單調遞增，在上單調遞減，恰有一個零點，或20a即2a 或52a.故的取值范圍是5(,2)(,)2.直通高考直通高考1【答案】A【解析】易知函數122,logxyyx，1yx在區(qū)間上單調遞減，函數12yx在區(qū)間上單調遞增.故選 A.【名師點睛】本題考查簡單的指數函數、對數函數、冪函數的單調性，注重對重要知識、基礎知識的考查，蘊含數形結合思想，屬于容易題.2【答案】B【解析】因為最值在2(0),(1)1,()24aafb fab fb 中取，所以最值之差一定與b無關，選 B【名師點睛】對于二次

11、函數的最值或值域問題，通常先判斷函數圖象對稱軸與所給自變量閉區(qū)間的關系，結合圖象，當函數圖象開口向上時，若對稱軸在區(qū)間的左邊，則函數在所給區(qū)間內單調遞增；若對稱軸在區(qū)間的右邊，則函數在所給區(qū)間內單調遞減；若對稱軸在區(qū)間內，則函數圖象頂點的縱坐標為最小值，區(qū)間端點距離對稱軸較遠的一端取得函數的最大值3【答案】B【解析】當01m時，11m，2(1)ymx在0,1x時單調遞減，且22(1)(1),1ymxm，yxm在0,1x時單調遞增，且,1yxmmm，此時有且僅有一個交點；當1m時，101m，2(1)ymx在1,1m上單調遞增，所以要有且僅有一個交點，需2(1)13mmm，選 B.194【答案】A

12、【解析】因為422335244ab，1223332554ca，所以bac，故選 A【技巧點撥】比較指數的大小常常根據三個數的結構聯系相關的指數函數與對數函數、冪函數的單調性來判斷，如果兩個數指數相同，底數不同，則考慮冪函數的單調性；如果指數不同，底數相同，則考慮指數函數的單調性；如果涉及對數，則聯系對數的單調性來解決5【答案】A【解析】由題意知222()()24bbf xxbxx，最小值為24b.令2txbx，則2222()()(),244bbbf f xf ttbttt，當0b 時，()f f x的最小值為24b，所以“”能推出“的最小值與的最小值相等”；當時，的最小值為 0，的最小值也為 0，所以“的最小值與的最小值相等”不能推出“”故選 A.6【答案】【解析】存在，使得，即有332|(2)(2)|3a ttatt，化為22|23642|3att，可得2222364233att，即22436433att，由223643(1)1 1ttt，可得403a.則實數a的最大值是.【名師點睛】本題考查函數的解析式及二次函數，結合函數的解析式可得，去絕對值化簡，結合二次函數的最值及不等式的性質可求解.20