2020版高考數(shù)學復習 第八單元 第48講 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系練習 理 新人教A版

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1、第48講 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 1.已知a>0,b>0,則直線y=bax+3與雙曲線x2a2-y2b2=1的交點個數(shù)是 (　　) A.1 B.2 C.1或2 D.0 2.已知圓M過定點(2,0),且圓心M在拋物線y2=4x上運動,若y軸被圓M所截得的弦為AB,則|AB|= (　　) A.4 B.3 C.2 D.與點M的位置有關(guān) 3.已知點P是橢圓x25+y2=1上任意一點,F為橢圓的右焦點,Q(3,0),且|PQ|=2|PF|,則滿足條件的點 P的個數(shù)為 (　　) A.4 B.3 C.2 D.0 4.直線l:y=k(x-2)與雙曲線x2-y2=1右支相交

2、于A,B兩點,則直線l的傾斜角α的取值范圍是　　　　. ? 5.與拋物線y2=x有且僅有一個公共點,并且過點(1,1)的直線方程為　　　　　　. ? 6.已知拋物線C:y2=4x,若過點P(-2,0)作直線與拋物線C交于A,B兩點,且直線的斜率為k,則k的取值范圍是 (　　) A.-22,0∪0,22 B.-22,22 C.-32,32 D.-32,0∪0,32 7.[2018·江西上饒模擬] 已知直線l過點P(3,-2)且與橢圓C:x220+y216=1相交于A,B兩點,則使得P為弦AB中點的直線的斜率為 (　　) A.-35 B.-65 C.65 D.35 8

3、.[2018·山東聊城一模] 已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點F2到漸近線的距離為4,且在雙曲線C上到點F2的距離為2的點有且僅有1個,則這個點到雙曲線C的左焦點F1的距離為 (　　) A.2 B.4 C.6 D.8 9.若AB是過橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)中心的一條弦,M是橢圓上任意一點,且直線AM,BM與兩坐標軸均不平行,kAM,kBM分別表示直線AM,BM的斜率,則kAM·kBM= (　　) A.-c2a2 B.-b2a2 C.-c2b2 D.-a2b2 10.[2018·貴州黔東南州一聯(lián)] 把離心率e=5+12的雙曲線C:x2

4、a2-y2b2=1(a>0,b>0)稱為黃金雙曲線.若以原點O為圓心,虛半軸長為半徑畫圓,則圓O與黃金雙曲線C (　　) A.無交點 B.有1個交點 C.有2個交點 D.有4個交點 11.[2018·江西六校聯(lián)考] 若拋物線x2=2py(p>0)在點(1,2)處的切線也與圓x2+y2-2x+2y+2-a=0(a>0)相切,則實數(shù)a的值為　　　　.? 12.[2018·安徽皖南八校聯(lián)考] 已知F為拋物線C:y2=4x的焦點,E為其準線與x軸的交點,過F的直線l交拋物線C于A,B兩點,M為線段AB的中點,且|ME|=11,則|AB|=　　　　.? 13.設x∈R,y∈R,i,j分別為

5、平面直角坐標系xOy內(nèi)x,y軸正方向上的單位向量,若向量a=(x+1)i+yj,b=(x-1)i+yj,且|a|+|b|=6. (1)求點M(x,y)的軌跡C的方程. (2)過點(0,1)作直線l與曲線C交于A,B兩點,若點P滿足OP=OA+OB,問是否存在直線l使得四邊形OAPB是矩形?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請說明理由. 14.[2018·黑龍江齊齊哈爾二模] 設拋物線的頂點為坐標原點,焦點F在y軸的正半軸上,A是拋物線上的一點,以A為圓心,2為半徑的圓與y軸相切,切點為F. (1)求拋物線的標準方程; (2)設直線m在y軸上的截距為6,且與拋物線

6、交于P,Q兩點,連接QF并延長交拋物線的準線于點R,當直線PR恰與拋物線相切時,求直線m的方程. 15.[2018·遼寧大連模擬] 已知橢圓x23+y22=1的左、右焦點分別為F1,F2,過F1的直線l1與過F2的直線l2交于點P,設P點的坐標為(x0,y0),若l1⊥l2,則下列結(jié)論中不正確的是 (　　) A.x023+y022>1 B.x023+y022<1 C.3x02+2y02>1 D.x03+y02<1 16.已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(b>a>0)的右焦點為F,O為坐標原點,若存在直線l過點F交雙曲線C的右支于A,B兩點,使OA·O

7、B=0,則雙曲線的離心率的取值范圍是　　　　　　.? 課時作業(yè)(四十八) 1.A　[解析] 因為直線y=bax+3與雙曲線的漸近線y=bax平行,所以它與雙曲線只有1個交點. 2.A　[解析] 設圓心坐標為a24,a,因為圓M過定點(2,0),所以其半徑r=(a24-2)?2+(a-0)2,可知圓M的方程為x-a242+(y-a)2=a24-22+(a-0)2,令x=0,可得y2-2ay+a2-4=0,設A(x1,y1),B(x2,y2),可知y1+y2=2a,y1y2=a2-4,則|AB|=|y1-y2|=(y1+y2)2-4y1y2=4a2-4a2+16=4,故選A. 3.C　

8、[解析] 設P(x,y),則-51,而直線l的斜率存在,所以α∈π4,π2∪π2,3π4. 5.x-2y+1

9、=0或y=1　[解析] 易知所求直線的斜率存在,設過點(1,1)的直線方程為y=k(x-1)+1,與拋物線方程y2=x聯(lián)立,得k2x2+(2k-2k2-1)x+k2-2k+1=0.當k=0時,方程有一個解,此時所求直線方程為y=1;當k≠0時,由Δ=(2k-2k2-1)2-4k2(k2-2k+1)=0,整理得4k2-4k+1=0,解得k=12,此時所求直線方程為x-2y+1=0. 故所求的直線方程為x-2y+1=0或y=1. 6.A　[解析] 易知直線的方程為y=k(x+2),與拋物線方程y2=4x聯(lián)立,得k2x2+4(k2-1)x+4k2=0.當k=0時,不符合題意;當k≠0時,Δ=16(

10、k2-1)2-4k2·4k2>0,得k2<12,∴k∈-22,0∪0,22.綜上可知,k的取值范圍是-22,0∪0,22,故選A. 7.C　[解析] 設A(x1,y1),B(x2,y2),則由題意知x1≠x2,可得x1220+y1216=1,x2220+y2216=1,兩式作差得x12-x2220+y12-y2216=0,即(x1+x2)(x1-x2)20+(y1+y2)(y1-y2)16=0.又因為x1+x2=6,y1+y2=-4,y1-y2x1-x2=kAB,所以620+-416·kAB=0,所以kAB=65,故選C. 8.D　[解析] 易知雙曲線的焦點到漸近線的距離為b,所以b=4.

11、雙曲線C上到點F2的距離為2的點有且僅有1個,即雙曲線右頂點到右焦點的距離為2,故c-a=2,由c2=a2+b2=a2+16,解得c=5,a=3,所以右頂點到左焦點的距離為a+c=3+5=8,故選D. 9.B　[解析] 設A(x1,y1),M(x0,y0),則B(-x1,-y1),故kAM·kBM=y0-y1x0-x1·y0+y1x0+x1=y02-y12x02-x12=-b2a2x02+b2+b2a2x12-b2x02-x12=-b2a2. 10.D　[解析] 由題意知5+12=ca,所以ba2=ca2-1=6+254-1=5+12,因為ba2=5+12>1,所以ba>1,所以b>a,所

12、以圓O與黃金雙曲線C的左、右兩支各有2個交點,即圓O與黃金雙曲線C有4個交點,故選D. 11.917　[解析] 由拋物線x2=2py(p>0)過點(1,2),可得p=14,∴拋物線方程為x2=12y,可化為y=2x2,從而由y'=4x知切線斜率k=4,∴切線方程為y-2=4(x-1),即4x-y-2=0.∵圓的方程可化為(x-1)2+(y+1)2=a(a>0),且切線也與圓相切,∴|4-(-1)-2|17=a,得a=917. 12.6　[解析] 根據(jù)題意可知直線l的斜率存在,拋物線的焦點坐標是(1,0),設直線l:y=k(x-1),將直線方程與拋物線方程聯(lián)立,消元后可得k2x2-(2k2+

13、4)x+k2=0,設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=2k2+4k2,y1+y2=k(x1+x2)-2k=4k,從而可得Mk2+2k2,2k,易知E(-1,0),由|ME|=11,可得k2+2k2+12+4k2=11,解得k2=2,故|AB|=x1+x2+p=2+4k2+2=6. 13.解:(1)由題意知,點M(x,y)到點F1(-1,0),F2(1,0)的距離之和為6,且6>|F1F2|=2, 所以點M的軌跡是以F1,F2為焦點,長軸長為6的橢圓,其方程為x29+y28=1. (2)不存在滿足題意的直線l.理由如下: 易知直線l的斜率存在.設直線l的方程為y=kx+1

14、,與x29+y28=1聯(lián)立,得(9k2+8)x2+18kx-63=0. 設A(x1,y1),B(x2,y2), 則x1+x2=-18k9k2+8,x1x2=-639k2+8. 因為OP=OA+OB,所以四邊形OAPB為平行四邊形,若平行四邊形OAPB為矩形,則OA⊥OB, 所以OA·OB=x1x2+y1y2=(k2+1)x1x2+k(x1+x2)+1=0,即(k2+1)·-639k2+8-18k29k2+8+1=0,即-72k2=55,此方程無解,所以滿足條件的直線l不存在. 14.解:(1)設拋物線的標準方程為x2=2py(p>0), ∵以A為圓心,2為半徑的圓與y軸相切,切點為

15、F,∴p=2, ∴該拋物線的標準方程為x2=4y. (2)由題知直線m的斜率存在,設其方程為y=kx+6, 由y=kx+6,x2=4y,消去y整理得x2-4kx-24=0, 顯然Δ=16k2+96>0. 設Px1,x124,Qx2,x224,則x1+x2=4k,x1·x2=-24, 拋物線在點Px1,x124處的切線方程為y-x124=x12(x-x1), 令y=-1,得x=x12-42x1,則點Rx12-42x1,-1, 由Q,F,R三點共線得kQF=kFR, ∴x224-1x2=-1-1x12-42x1,即(x12-4)(x22-4)+16x1x2=0, 整理得(x1x

16、2)2-4[(x1+x2)2-2x1x2]+16+16x1x2=0, ∴(-24)2-4[(4k)2-2×(-24)]+16+16×(-24)=0, 解得k2=14,即k=±12, ∴所求直線m的方程為y=12x+6或y=-12x+6. 15.A　[解析] 由題意可得橢圓的半焦距c=3-2=1,且由l1⊥l2可知點P(x0,y0)(x0≠±1)在以線段F1F2為直徑的圓上,則x02+y02=1,∴x023+y022=2x02+3y026≤3x02+3y026=12,3x02+2y02≥2x02+2y02=2>1,故A的結(jié)論不正確,B,C的結(jié)論正確.∵F1(-1,0),F2(1,0),∴

17、|x0|<1,|y0|<1,∴x03+y02≤|x0|3+|y0|2≤|x0|+|y0|2<1,故D的結(jié)論正確.故選A. 16.5+12,3　[解析]①當直線l的斜率不存在時,不妨取Ac,b2a,Bc,-b2a,∵OA·OB=0,∴c2-b4a2=0,∴e=1+52; ②當直線l的斜率存在時,焦點為F(c,0),設直線l:y=k(x-c),A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立直線方程和雙曲線的方程,可得(b2-a2k2)x2+2ca2k2x-a2k2c2-a2b2=0,則Δ=4c2a4k4+4(b2-a2k2)(a2k2c2+a2b2)>0,x1+x2=-2ca2k2b2-a2k2,x1x2=-a2k2c2-a2b2b2-a2k2,則y1y2=k2[x1x2+c2-c(x1+x2)]=k2·a2b2-b2c2a2k2-b2,∵OA·OB=0,∴x1x2+y1y2=0,即a2b2+a2k2c2+k2(a2b2-b2c2)=0,即k2=a2b2b4-a4-a2b2,又直線l過點F交雙曲線C的右支于A,B兩點,∴a2b2b4-a4-a2b2>b2a2(b>a),∴b4-a4-a2b2>0,a4>b4-a4-a2b2,b>a,∴3>e>1+52.綜上,雙曲線的離心率的取值范圍是5+12,3. 6