2020高考數(shù)學(xué)刷題首選卷 第五章 不等式、推理與證明、算法初步與復(fù)數(shù) 考點(diǎn)測(cè)試37 直接證明與間接證明 文(含解析)

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1、考點(diǎn)測(cè)試37 直接證明與間接證明 高考概覽 考綱研讀 1.了解直接證明的兩種基本方法——分析法和綜合法;了解分析法和綜合法的思考過程和特點(diǎn) 2.了解反證法的思考過程和特點(diǎn) 一、基礎(chǔ)小題 1.命題“對(duì)于任意角θ,cos4θ-sin4θ=cos2θ”的證明:“cos4θ-sin4θ=(cos2θ-sin2θ)·(cos2θ+sin2θ)=cos2θ-sin2θ=cos2θ”過程應(yīng)用了(  ) A.分析法 B.綜合法 C.綜合法、分析法綜合使用 D.間接證明法 答案 B 解析 因?yàn)樽C明過程是“從左往右”,即由條件?結(jié)論. 2.用反證法證明結(jié)論“三角形內(nèi)角至少有一

2、個(gè)不大于60°”,應(yīng)假設(shè)(  ) A.三個(gè)內(nèi)角至多有一個(gè)大于60° B.三個(gè)內(nèi)角都不大于60° C.三個(gè)內(nèi)角都大于60° D.三個(gè)內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60° 答案 C 解析 “三角形內(nèi)角至少有一個(gè)不大于60°”即“三個(gè)內(nèi)角至少有一個(gè)小于等于60°”,其否定為“三角形內(nèi)角都大于60°”.故選C. 3.若a,b,c是不全相等的實(shí)數(shù),求證:a2+b2+c2>ab+bc+ca. 證明過程如下: ∵a,b,c∈R,∴a2+b2≥2ab, b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac. 又∵a,b,c不全相等, ∴以上三式至少有一個(gè)“=”不成立. ∴將以上三式相加得2(a2+b2+c2)

3、>2(ab+bc+ac). ∴a2+b2+c2>ab+bc+ca. 此證法是(  ) A.分析法 B.綜合法 C.分析法與綜合法并用 D.反證法 答案 B 解析 由已知條件入手證明結(jié)論成立,滿足綜合法的定義. 4.分析法又稱執(zhí)果索因法,若用分析法證明:“設(shè)a>b>c,且a+b+c=0,求證0 B.a(chǎn)-c>0 C.(a-b)(a-c)>0 D.(a-b)(a-c)<0 答案 C 解析 

4、-c2>0 ?(a-c)(2a+c)>0?(a-c)(a-b)>0. 5.若P=+,Q=+,a≥0,則P,Q的大小關(guān)系是(  ) A.P>Q B.P=Q C.P

5、要求的應(yīng)當(dāng)是(  ) 窗口 1 2 6 7 11 12 … … 過道 3 4 5 8 9 10 13 14 15 … … … 窗口 A.48,49 B.62,63 C.75,76 D.84,85 答案 D 解析 由已知圖形中座位的排序規(guī)律可知,被5除余1的數(shù)和能被5整除的座位號(hào)靠窗,由于兩旅客希望座位連在一起,且有一個(gè)靠窗,分析答案中的4組座位號(hào)知,只有D符合條件. 7.有6名選手參加演講比賽,觀眾甲猜測(cè):4號(hào)或5號(hào)選手得第一名;觀眾乙猜測(cè):3號(hào)選手不可能得第一名;觀眾丙猜測(cè):1

6、,2,6號(hào)選手中的一位獲得第一名;觀眾丁猜測(cè):4,5,6號(hào)選手都不可能獲得第一名.比賽后發(fā)現(xiàn)沒有并列名次,且甲、乙、丙、丁中只有1人猜對(duì)比賽結(jié)果,此人是(  ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 答案 D 解析 若1,2號(hào)得第一名,則乙丙丁都對(duì),若3號(hào)得第一名,則只有丁對(duì),若4,5號(hào)得第一名,則甲乙都對(duì),若6號(hào)得第一名,則乙丙都對(duì),因此只有丁猜對(duì).故選D. 8.記S=+++…+,則S與1的大小關(guān)系是________. 答案 S<1 解析 ∵<,<,…, =<, ∴S=+++…+<++…+=1. 二、高考小題 9.(2019·山東高考)用反證法證明命題“設(shè)a,b為實(shí)數(shù),則

7、方程x3+ax+b=0至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí),要做的假設(shè)是(  ) A.方程x3+ax+b=0沒有實(shí)根 B.方程x3+ax+b=0至多有一個(gè)實(shí)根 C.方程x3+ax+b=0至多有兩個(gè)實(shí)根 D.方程x3+ax+b=0恰好有兩個(gè)實(shí)根 答案 A 解析 “方程x3+ax+b=0至少有一個(gè)實(shí)根”的否定是“方程x3+ax+b=0沒有實(shí)根”. 三、模擬小題 10.(2019·山東濟(jì)南模擬)用反證法證明:若整系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理數(shù)根,那么a,b,c中至少有一個(gè)是偶數(shù).用反證法證明時(shí),下列假設(shè)正確的是(  ) A.假設(shè)a,b,c都是偶數(shù) B.假設(shè)a,b,c都不是偶

8、數(shù) C.假設(shè)a,b,c至多有一個(gè)偶數(shù) D.假設(shè)a,b,c至多有兩個(gè)偶數(shù) 答案 B 解析 “至少有一個(gè)”的否定為“都不是”,故選B. 11.(2018·寧夏銀川調(diào)研)設(shè)a,b,c是不全相等的正數(shù),給出下列判斷: ①(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≠0; ②a>b,a

9、數(shù),則a+,b+,c+三個(gè)數(shù)(  ) A.都大于2 B.都小于2 C.至少有一個(gè)不大于2 D.至少有一個(gè)不小于2 答案 D 解析 假設(shè)a+,b+,c+都小于2,則有a++b++c+<6. 因?yàn)閍,b,c都是正數(shù), 所以a++b++c+ =++ ≥2+2+2=6, 這與a++b++c+<6矛盾, 故假設(shè)不成立,所以a+,b+,c+至少有一個(gè)不小于2.故選D. 13.(2018·山東煙臺(tái)模擬)設(shè)a>b>0,m=-,n=,則m,n的大小關(guān)系是________. 答案 n>m 解析 解法一(取特殊值法):取a=2,b=1,則m?a

10、+2·+a-b?2·>0,顯然成立. 一、高考大題 1.(2018·北京高考)設(shè)n為正整數(shù),集合A={α|α=(t1,t2,…,tn),tk∈{0,1},k=1,2,…,n}.對(duì)于集合A中的任意元素α=(x1,x2,…,xn)和β=(y1,y2,…,yn),記M(α,β)=[(x1+y1-|x1-y1|)+(x2+y2-|x2-y2|)+…+(xn+yn-|xn-yn|)]. (1)當(dāng)n=3時(shí),若α=(1,1,0),β=(0,1,1),求M(α,α)和M(α,β)的值; (2)當(dāng)n=4時(shí),設(shè)B是A的子集,且滿足:對(duì)于B中的任意元素α,β,當(dāng)α,β相同時(shí),M(α,β)是奇數(shù);當(dāng)α,β

11、不同時(shí),M(α,β)是偶數(shù).求集合B中元素個(gè)數(shù)的最大值; (3)給定不小于2的n,設(shè)B是A的子集,且滿足:對(duì)于B中的任意兩個(gè)不同的元素α,β,M(α,β)=0.寫出一個(gè)集合B,使其元素個(gè)數(shù)最多,并說明理由. 解 (1)因?yàn)棣粒?1,1,0),β=(0,1,1), 所以M(α,α)=[(1+1-|1-1|)+(1+1-|1-1|)+(0+0-|0-0|)]=2, M(α,β)=[(1+0-|1-0|)+(1+1-|1-1|)+(0+1-|0-1|)]=1. (2)設(shè)α=(x1,x2,x3,x4)∈B, 則M(α,α)=x1+x2+x3+x4. 由題意知x1,x2,x3,x4∈{0,

12、1},且M(α,α)為奇數(shù), 所以x1,x2,x3,x4中1的個(gè)數(shù)為1或3. 所以B?{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1),(0,1,1,1),(1,0,1,1),(1,1,0,1),(1,1,1,0)}. 將上述集合中的元素分成如下四組: (1,0,0,0),(1,1,1,0);(0,1,0,0),(1,1,0,1);(0,0,1,0),(1,0,1,1);(0,0,0,1),(0,1,1,1). 經(jīng)驗(yàn)證,對(duì)于每組中兩個(gè)元素α,β均有M(α,β)=1. 所以每組中的兩個(gè)元素不可能同時(shí)是集合B的元素. 所以集合B中元素的個(gè)數(shù)不超過4.

13、 又集合{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)}滿足條件, 所以集合B中元素個(gè)數(shù)的最大值為4. (3)設(shè)Sk={(x1,x2,…,xn)|(x1,x2,…,xn)∈A, xk=1,x1=x2=…=xk-1=0}(k=1,2,…,n), Sn+1={(x1,x2,…,xn)|x1=x2=…=xn=0}, 所以A=S1∪S2∪…∪Sn+1. 對(duì)于Sk(k=1,2,…,n-1)中的不同元素α,β,經(jīng)驗(yàn)證,M(α,β)≥1. 所以Sk(k=1,2,…,n-1)中的兩個(gè)元素不可能同時(shí)是集合B的元素. 所以B中元素的個(gè)數(shù)不超過n+1. 取ek=(

14、x1,x2,…,xn)∈Sk且xk+1=…=xn=0(k=1,2,…,n-1). 令B={e1,e2,…,en-1}∪Sn∪Sn+1,則集合B的元素個(gè)數(shù)為n+1,且滿足條件. 故B是一個(gè)滿足條件且元素個(gè)數(shù)最多的集合. 2.(2018·江蘇高考)記f′(x),g′(x)分別為函數(shù)f(x),g(x)的導(dǎo)函數(shù),若存在x0∈R,滿足f(x0)=g(x0)且f′(x0)=g′(x0),則稱x0為函數(shù)f(x)與g(x)的一個(gè)“S點(diǎn)”. (1)證明:函數(shù)f(x)=x與g(x)=x2+2x-2不存在“S點(diǎn)”; (2)若函數(shù)f(x)=ax2-1與g(x)=ln x存在“S點(diǎn)”,求實(shí)數(shù)a的值; (3)

15、已知函數(shù)f(x)=-x2+a,g(x)=,對(duì)任意a>0,判斷是否存在b>0,使函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)存在“S點(diǎn)”,并說明理由. 解 (1)證明:函數(shù)f(x)=x,g(x)=x2+2x-2, 則f′(x)=1,g′(x)=2x+2, 由f(x)=g(x)且f′(x)=g′(x), 得此方程組無(wú)解. 因此,f(x)=x與g(x)=x2+2x-2不存在“S點(diǎn)”. (2)函數(shù)f(x)=ax2-1,g(x)=ln x, 則f′(x)=2ax,g′(x)=, 設(shè)x0為f(x)與g(x)的“S點(diǎn)”,由f(x0)=g(x0)且f′(x0)=g′(x0),得 即(*) 得

16、ln x0=-,即x0=e-,則a==. 當(dāng)a=時(shí),x0=e-滿足方程組(*), 即x0為f(x)與g(x)的“S點(diǎn)”,因此,a的值為. (3)f′(x)=-2x,g′(x)=,x≠0, f′(x0)=g′(x0)?bex0=->0?x0∈(0,1), f(x0)=g(x0)?-x+a==-? a=x-, 令h(x)=x2--a=, x∈(0,1),a>0, 設(shè)m(x)=-x3+3x2+ax-a,x∈(0,1),a>0, 則m(0)=-a<0,m(1)=2>0?m(0)·m(1)<0, 又m(x)的圖象在(0,1)上連續(xù)不斷, ∴m(x)在(0,1)上有零點(diǎn),則h(x)

17、在(0,1)上有零點(diǎn).因此,對(duì)任意a>0,存在b>0,使函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)存在“S點(diǎn)”. 二、模擬大題 3.(2018·貴州安順調(diào)研)已知函數(shù)f(x)=3x-2x,求證:對(duì)于任意的x1,x2∈R,均有≥f. 證明 要證明≥f, 即證明≥3-2·, 因此只要證明-(x1+x2)≥3-(x1+x2), 即證明≥3, 因此只要證明≥, 由于x1,x2∈R時(shí),3x1>0,3x2>0, 由基本不等式知≥(當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2時(shí),等號(hào)成立)顯然成立, 故原結(jié)論成立. 4.(2018·山東臨沂三校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足an+Sn=2. (

18、1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)求證:數(shù)列{an}中不存在三項(xiàng)按原來(lái)順序成等差數(shù)列. 解 (1)當(dāng)n=1時(shí),a1+S1=2a1=2,則a1=1. 又an+Sn=2,所以an+1+Sn+1=2, 兩式相減得an+1=an,所以{an}是首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列,所以an=. (2)證明:(反證法)假設(shè)存在三項(xiàng)按原來(lái)順序成等差數(shù)列,記為ap+1,aq+1,ar+1(p

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