（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 第6講 雙曲線練習(xí)（含解析）

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1、第6講 雙曲線 [基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)] 1．若雙曲線－＝1(a>0，b>0)的離心率為，則其漸近線方程為(　　) A．y＝±2x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 解析：選B.由條件e＝，即＝，得＝＝1＋＝3，所以＝，所以雙曲線的漸近線方程為y＝±x.故選B. 2．已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線為y＝kx(k＞0)，離心率e＝k，則雙曲線方程為(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 解析：選C.由已知得， 所以a2＝4b2. 3．(2019·杭州學(xué)軍中學(xué)高三質(zhì)檢)雙曲線M：x2－＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，記|F1F2|＝2c，以

2、坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，c為半徑的圓與曲線M在第一象限的交點(diǎn)為P，若|PF1|＝c＋2，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為(　　) A． B． C． D． 解析：選A.由點(diǎn)P在雙曲線的第一象限可得|PF1|－|PF2|＝2，則|PF2|＝|PF1|－2＝c，又|OP|＝c，∠F1PF2＝90°，由勾股定理可得(c＋2)2＋c2＝(2c)2，解得c＝1＋.易知△POF2為等邊三角形，則xP＝＝，選項(xiàng)A正確． 4．(2019·杭州中學(xué)高三月考)已知F1、F2分別是雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)，若F2關(guān)于漸近線的對(duì)稱點(diǎn)恰落在以F1為圓心，OF1為半徑的圓上，則雙曲線C的離心率為(　　) A． B

3、．3 C． D．2 解析：選D.由題意，F(xiàn)1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)，一條漸近線方程為y＝x，則F2到漸近線的距離為＝b. 設(shè)F2關(guān)于漸近線的對(duì)稱點(diǎn)為M，F(xiàn)2M與漸近線交于A，所以|MF2|＝2b，A為F2M的中點(diǎn)，又O是F1F2的中點(diǎn)，所以O(shè)A∥F1M，所以∠F1MF2為直角， 所以△MF1F2為直角三角形， 所以由勾股定理得4c2＝c2＋4b2， 所以3c2＝4(c2－a2)，所以c2＝4a2， 所以c＝2a，所以e＝2. 故選D. 5．(2017·高考全國(guó)卷Ⅰ)已知F是雙曲線C：x2－＝1的右焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)，且PF與x軸垂直，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1，3)，則△APF的

4、面積為(　　) 解析：選D.法一：由題可知，雙曲線的右焦點(diǎn)為F(2，0)，當(dāng)x＝2時(shí)，代入雙曲線C的方程，得4－＝1，解得y＝±3，不妨取點(diǎn)P(2，3)，因?yàn)辄c(diǎn)A(1，3)，所以AP∥x軸，又PF⊥x軸，所以AP⊥PF，所以S△APF＝|PF|·|AP|＝×3×1＝.故選D. 法二：由題可知，雙曲線的右焦點(diǎn)為F(2，0)，當(dāng)x＝2時(shí)，代入雙曲線C的方程，得4－＝1，解得y＝±3，不妨取點(diǎn)P(2，3)，因?yàn)辄c(diǎn)A(1，3)，所以＝(1，0)，＝(0，－3)，所以·＝0，所以AP⊥PF，所以S△APF＝|PF|·|AP|＝×3×1＝.故選D. 6．(2019·浙江高中學(xué)科基礎(chǔ)測(cè)試)已知雙曲線－

5、＝1(a＞0，b＞0)與拋物線y2＝20x有一個(gè)公共的焦點(diǎn)F，且兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)為P，若|PF|＝17，則雙曲線的離心率為(　　) A． B． C． D． 解析：選B.由題意知F(5，0)，不妨設(shè)P點(diǎn)在x軸的上方，由|PF|＝17知點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為17－5＝12，則其縱坐標(biāo)為＝4，設(shè)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)為F1(－5，0)，則|PF1|＝＝23，所以2a＝|PF1|－|PF|＝23－17＝6，所以a＝3，所以e＝＝，故選B. 7．(2019·寧波市余姚中學(xué)高三期中)已知曲線＋＝1，當(dāng)曲線表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓時(shí)k的取值范圍是________；當(dāng)曲線表示雙曲線時(shí)k的取值范圍是________．

6、 解析：當(dāng)曲線表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓時(shí)，k2－k＞2， 所以k＜－1或k＞2； 當(dāng)曲線表示雙曲線時(shí)，k2－k＜0， 所以0＜k＜1. 答案：k＜－1或k＞2　0＜k＜1 8．(2019·金華十校聯(lián)考)已知l是雙曲線C：－＝1的一條漸近線，P是l上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的兩個(gè)焦點(diǎn)，若·＝0，則P到x軸的距離為________． 解析：F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)，不妨設(shè)l的方程為y＝x，則可設(shè)P(x0，x0)，由·＝(－－x0，－x0)·(－x0，－x0)＝3x－6＝0，得x0＝±，故P到x軸的距離為|x0|＝2. 答案：2 9．(2019·瑞安四校聯(lián)考)設(shè)雙曲線－＝1(a>0

7、，b>0)的兩條漸近線與直線x＝分別交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)為該雙曲線的右焦點(diǎn)．若60°<∠AFB<90°，則該雙曲線的離心率的取值范圍是________． 解析：雙曲線－＝1的兩條漸近線方程為y＝±x，x＝時(shí)，y＝±，不妨設(shè)A，B，因?yàn)?0°<∠AFB<90°，所以

8、PF1F2的面積為×2|y0|＝12.故y＝，將P點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程得x＝，不妨設(shè)點(diǎn)P，則＝，＝，可得·＝0，即PF1⊥PF2，故∠F1PF2＝. 答案： 11．已知橢圓D：＋＝1與圓M：x2＋(y－5)2＝9，雙曲線G與橢圓D有相同焦點(diǎn)，它的兩條漸近線恰好與圓M相切，求雙曲線G的方程． 解：橢圓D的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(－5，0)，(5，0)， 因而雙曲線中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且c＝5. 設(shè)雙曲線G的方程為－＝1(a>0，b>0)， 所以漸近線方程為bx±ay＝0且a2＋b2＝25， 又圓心M(0，5)到兩條漸近線的距離為r＝3. 所以＝3，得a＝3，b＝4， 所以雙曲線G

9、的方程為－＝1. 12．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線方程為2x＋y＝0，且頂點(diǎn)到漸近線的距離為. (1)求此雙曲線的方程； (2)設(shè)P為雙曲線上一點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，且分別位于第一、二象限，若＝，求△AOB的面積． 解：(1)依題意得解得 故雙曲線的方程為－x2＝1. (2)由(1)知雙曲線的漸近線方程為y＝±2x，設(shè)A(m，2m)，B(－n，2n)，其中m>0，n>0，由＝得點(diǎn)P的坐標(biāo)為.將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入－x2＝1，整理得mn＝1. 設(shè)∠AOB＝2θ，因?yàn)閠an＝2，則tan θ＝，從而sin 2θ＝. 又|OA|＝m，|OB|＝n， 所以S

10、△AOB＝|OA||OB|sin 2θ＝2mn＝2. [能力提升] 1．(2019·舟山市普陀三中高三期中)過雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的右頂點(diǎn)A作斜率為－1的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為B、C.若＝，則雙曲線的離心率是(　　) A． B． C． D． 解析：選C.直線l：y＝－x＋a與漸近線l1：bx－ay＝0交于B， l與漸近線l2：bx＋ay＝0交于C，A(a，0)， 所以＝，＝， 因?yàn)椋剑? 所以b＝2a， 所以c2－a2＝4a2， 所以e2＝＝5，所以e＝，故選C. 2．(2019·寧波高考模擬)如圖，F(xiàn)1、F2是橢圓C1與雙曲線C2的公共焦

11、點(diǎn)，A、B分別是C1、C2在第二、四象限的公共點(diǎn)，若AF1⊥BF1，且∠AF1O＝，則C1與C2的離心率之和為(　　) A．2 B．4 C．2 D．2 解析：選A.F1、F2是橢圓C1與雙曲線C2的公共焦點(diǎn)，A、B分別是C1、C2在第二、四象限的公共點(diǎn)， 若AF1⊥BF1，且∠AF1O＝，可得A，B， 代入橢圓方程可得＋＝1，可得＋＝1， 可得e4－8e2＋4＝0，解得e＝－1. 代入雙曲線方程可得：－＝1， 可得：－＝1， 可得：e4－8e2＋4＝0，解得e＝＋1， 則C1與C2的離心率之和為2. 故選A. 3．設(shè)雙曲線x2－＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2.若點(diǎn)

12、P在雙曲線上，且△F1PF2為銳角三角形，則|PF1|＋|PF2|的取值范圍是__________． 解析：由題意不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上，現(xiàn)考慮兩種極限情況：當(dāng)PF2⊥x軸時(shí)，|PF1|＋|PF2|有最大值8；當(dāng)∠P為直角時(shí)，|PF1|＋|PF2|有最小值2.因?yàn)椤鱂1PF2為銳角三角形，所以|PF1|＋|PF2|的取值范圍為(2，8)． 答案：(2，8) 4．(2019·溫州十五校聯(lián)合體聯(lián)考)過點(diǎn)M(0，1)且斜率為1的直線l與雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的兩漸近線交于點(diǎn)A，B，且＝2，則直線l的方程為____________；如果雙曲線的焦距為2，則b的值為________

13、． 解析：直線l的方程為y＝x＋1，兩漸近線的方程為y＝±x.其交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，.由＝2，得xB＝2xA.若＝－，得a＝3b，由a2＋b2＝10b2＝10得b＝1，若－＝，得a＝－3b(舍去)． 答案：y＝x＋1　1 5．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的離心率為2，焦點(diǎn)到漸近線的距離等于，過右焦點(diǎn)F2的直線l交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)1為左焦點(diǎn)． (1)求雙曲線的方程； (2)若△F1AB的面積等于6，求直線l的方程． 解：(1)依題意，b＝，＝2?a＝1，c＝2，所以雙曲線的方程為x2－＝1. (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(1)知F2(2，0)． 易驗(yàn)證當(dāng)

14、直線l斜率不存在時(shí)不滿足題意，故可設(shè)直線l：y＝k(x－2)，由消元得(k2－3)x2－4k2x＋4k2＋3＝0，k≠±，x1＋x2＝，x1x2＝，y1－y2＝k(x1－x2)，△F1AB的面積S＝c|y1－y2|＝2|k|·|x1－x2|＝2|k|·＝12|k|·＝6.得k4＋8k2－9＝0，則k＝±1.所以直線l的方程為y＝x－2或y＝－x＋2. 6．已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線的方程為y＝x，右焦點(diǎn)F到直線x＝的距離為. (1)求雙曲線C的方程； (2)斜率為1且在y軸上的截距大于0的直線l與雙曲線C相交于B、D兩點(diǎn)，已知A(1，0)，若·＝1，證明：過A、B

15、、D三點(diǎn)的圓與x軸相切． 解：(1)依題意有＝，c－＝， 因?yàn)閍2＋b2＝c2，所以c＝2a，所以a＝1，c＝2，所以b2＝3，所以雙曲線C的方程為x2－＝1. (2)證明：設(shè)直線l的方程為y＝x＋m(m>0)，B(x1，x1＋m)，D(x2，x2＋m)，BD的中點(diǎn)為M， 由得2x2－2mx－m2－3＝0， 所以x1＋x2＝m，x1x2＝－， 又因?yàn)椤ぃ?，即(2－x1)(2－x2)＋(x1＋m)(x2＋m)＝1，所以m＝0(舍)或m＝2， 所以x1＋x2＝2，x1x2＝－，M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為＝1， 因?yàn)椤ぃ?1－x1)(1－x2)＋(x1＋2)(x2＋2)＝5＋2x1x2＋x1＋x2＝5－7＋2＝0，所以AD⊥AB， 所以過A、B、D三點(diǎn)的圓以點(diǎn)M為圓心，BD為直徑， 因?yàn)辄c(diǎn)M的橫坐標(biāo)為1，所以MA⊥x軸， 所以過A、B、D三點(diǎn)的圓與x軸相切． 8