（江蘇專版）2019年高考數(shù)學(xué) 母題題源系列 專題10 基本不等式的應(yīng)用（含解析）

專題10 基本不等式的應(yīng)用【母題來源一】【2019年江蘇】在平面直角坐標(biāo)系中，P是曲線上的一個動點，則點P到直線x+y=0的距離的最小值是 .【答案】4【解析】設(shè)P點的坐標(biāo)是，則點P到直線x+y=0的距離是，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，則點P到直線x+y=0的距離的最小值是4.故答案為【名師點睛】本題考查曲線上任意一點到已知直線的最小距離，滲透了直觀想象和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).利用基本不等式即可求解.【母題來源二】【2018年江蘇】在中，角所對的邊分別為，的平分線交于點D，且，則的最小值為_【答案】9【解析】由題意可知，,由角平分線性質(zhì)和三角形面積公式得，化簡得，因此當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，則的最小值為.【名師點睛】在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”（即條件要求字母為正數(shù)）、“定”不等式的另一邊必須為定值）、“等（等號取得的條件）的條件才能應(yīng)用，否則會出現(xiàn)錯誤.【母題來源三】【2017年江蘇】某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買噸，運費為6萬元/次，一年的總存儲費用為萬元要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則的值是_【答案】30【解析】總費用為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立【名師點睛】利用基本不等式求最值時要靈活運用以下兩個公式：，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號；，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號解題時要注意公式的適用條件、等號成立的條件，同時求最值時注意“1的妙用”【命題意圖】（1）了解基本不等式的證明過程.（2）會用基本不等式解決簡單的最大（小）值問題.【命題規(guī)律】基本不等式是高考考查的熱點，常以填空題的形式出現(xiàn)通常以不等式為載體綜合考查函數(shù)、方程、三角函數(shù)、立體幾何、解析幾何等問題主要有以下幾種命題方式：（1）應(yīng)用基本不等式判斷不等式是否成立或比較大小解決此類問題通常將所給不等式(或式子)變形，然后利用基本不等式求解（2）條件不等式問題通過條件轉(zhuǎn)化成能利用基本不等式的形式求解（3）求參數(shù)的值或范圍觀察題目特點，利用基本不等式確定相關(guān)成立條件，從而得到參數(shù)的值或范圍.【方法總結(jié)】利用基本不等式求最值的常用技巧：（1）若直接滿足基本不等式條件，則直接應(yīng)用基本不等式（2）若不直接滿足基本不等式條件，則需要創(chuàng)造條件對式子進行恒等變形，如構(gòu)造“1”的代換等常見的變形手段有拆、并、配.拆裂項拆項對分子的次數(shù)不低于分母次數(shù)的分式進行整式分離分離成整式與“真分式”的和，再根據(jù)分式中分母的情況對整式進行拆項，為應(yīng)用基本不等式湊定積創(chuàng)造條件并分組并項目的是分組后各組可以單獨應(yīng)用基本不等式，或分組后先由一組應(yīng)用基本不等式，再組與組之間應(yīng)用基本不等式得出最值配配式配系數(shù)有時為了挖掘出“積”或“和”為定值，常常需要根據(jù)題設(shè)條件采取合理配式、配系數(shù)的方法，使配式與待求式相乘后可以應(yīng)用基本不等式得出定值，或配以恰當(dāng)?shù)南禂?shù)后，使積式中的各項之和為定值.（3）若一次應(yīng)用基本不等式不能達到要求，需多次應(yīng)用基本不等式，但要注意等號成立的條件必須要一致.注：若可用基本不等式，但等號不成立，則一般是利用函數(shù)單調(diào)性求解.（4）基本不等式的常用變形ab2(a>0，b>0)，當(dāng)且僅當(dāng)ab時，等號成立a2b22ab，ab2(a，bR)，當(dāng)且僅當(dāng)ab時，等號成立2(a，b同號且均不為零)，當(dāng)且僅當(dāng)ab時，等號成立a2(a>0)，當(dāng)且僅當(dāng)a1時，等號成立；a2(a<0)，當(dāng)且僅當(dāng)a1時，等號成立1【江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)2019屆高三教學(xué)情況調(diào)研數(shù)學(xué)試題】已知，且，則的最小值是_【答案】【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.因此的最小值是2【江蘇省徐州市（蘇北三市（徐州、淮安、連云港）2019屆高三年級第一次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題】已知，且，則的最大值為_【答案】【解析】化為，即，解得：，所以的最大值為.故答案為.3【江蘇省南通市2019屆高三年級階段性學(xué)情聯(lián)合調(diào)研數(shù)學(xué)試題】設(shè)，向量a，若，則的最小值為_【答案】9【解析】因為，所以4x+（1x）y=0，又x0，y0，所以+=1，故x+y=（+）（x+y）=5+9當(dāng)且僅當(dāng)=，+=1同時成立，即x=3，y=6時，等號成立則（x+y）min=9故答案為94【江蘇省鎮(zhèn)江市2019屆高三考前模擬（三模）數(shù)學(xué)試題】在等腰中，則面積的最大值為_【答案】4【解析】以為軸，以的垂直平分線為軸，設(shè)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，則面積的最大值為4.故答案為45【江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市2019屆高三教學(xué)情況調(diào)查（二）數(shù)學(xué)試題】已知正實數(shù)，b滿足b1，則的最小值為_【答案】11【解析】因為，且都是正實數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.所以的最小值為.6【江蘇省揚州市2019屆高三第一學(xué)期期末檢測數(shù)學(xué)試題】已知正實數(shù)，滿足，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍為_【答案】【解析】由題意知x+4yxy0，即x+4yxy，等式兩邊同時除以xy得，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)x2y=6時，等號成立，所以，x+y的最小值為9因此，m9故答案為7【天津市部分區(qū)2019年高三質(zhì)量調(diào)查數(shù)學(xué)試題】已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則周長的最大值是_【答案】【解析】因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，因此，故周長的最大值是8【天津市南開區(qū)南開中學(xué)2019屆高三第五次月考數(shù)學(xué)試題】已知直線被圓截得的弦長為，則的最大值為_【答案】【解析】圓可化為，則圓心為,半徑為，又因為直線被圓截得的弦長為，所以直線過圓心,即，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，的最大值為.故答案為.9【河南省名校聯(lián)考2019屆高三聯(lián)考（四）數(shù)學(xué)試題】已知的內(nèi)角，的對邊分別為，且滿足.若，則當(dāng)取得最小值時，的外接圓的半徑為_【答案】【解析】由正弦定理得，由余弦定理得，即當(dāng)時，取得最小值為，此時，設(shè)外接圓半徑為，由正弦定理得，解得.故當(dāng)取得最小值時，的外接圓的半徑為.10【天津市河北區(qū)2019屆高三二模數(shù)學(xué)試題】已知首項與公比相等的等比數(shù)列中，滿足，則的最小值為_【答案】1【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則首項，由得，則，則（當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號），.故答案為1.11【江西省臨川一中2019屆高三年級考前模擬考試數(shù)學(xué)試題】如圖，點在的邊上，且，則的最大值為_【答案】【解析】因為，所以，因為，所以，即，整理得到，兩邊平方后有，所以，即，整理得到，設(shè)，所以，因為，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立，故答案為.9