廣西2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 考點(diǎn)規(guī)范練37 空間幾何體的表面積與體積 文

考點(diǎn)規(guī)范練37空間幾何體的表面積與體積一、基礎(chǔ)鞏固1.圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個(gè)幾何體,該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為16+20,則r=()A.1B.2C.4D.8答案B解析由條件及幾何體的三視圖可知該幾何體是由一個(gè)圓柱被過(guò)圓柱底面直徑的平面所截剩下的半個(gè)圓柱及一個(gè)半球拼接而成的.其表面積由一個(gè)矩形的面積、兩個(gè)半圓的面積、圓柱的側(cè)面積的一半及一個(gè)球的表面積的一半組成.S表=2r×2r+2×12r2+r×2r+12×4r2=5r2+4r2=16+20,解得r=2.2.(2018浙江,3)某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的體積(單位:cm3)是()A.2B.4C.6D.8答案C解析由三視圖可知該幾何體為直四棱柱.S底=12×(1+2)×2=3,h=2,V=Sh=3×2=6.3.如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1的六個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的半球面上,AB=AC,側(cè)面BCC1B1是半球底面圓的內(nèi)接正方形,則側(cè)面ABB1A1的面積為()A.22B.1C.2D.3答案C解析由題意知,球心在側(cè)面BCC1B1的中心O上,BC為ABC所在圓面的直徑,所以BAC=90°,ABC的外接圓圓心N是BC的中點(diǎn),同理A1B1C1的外心M是B1C1的中點(diǎn).設(shè)正方形BCC1B1的邊長(zhǎng)為x,在RtOMC1中,OM=x2,MC1=x2,OC1=R=1(R為球的半徑),所以x22+x22=1,即x=2,則AB=AC=1.所以側(cè)面ABB1A1的面積S=2×1=2.4.(2018安徽江南十校聯(lián)考)某幾何體的三視圖如圖所示,其中正視圖由矩形和等腰直角三角形組成,側(cè)視圖由半圓和等腰直角三角形組成,俯視圖的實(shí)線部分為正方形,則該幾何體的表面積為()A.3+42B.4(+2+1)C.4(+2)D.4(+1)答案A解析由三視圖知幾何體的上半部分是半圓柱,圓柱的底面半徑為1,高為2,其表面積為S1=12××2×2+×12=3,下半部分為正四棱錐,底面棱長(zhǎng)為2,斜高為2,其表面積S2=4×12×2×2=42,所以該幾何體的表面積為S=S1+S2=3+42.5.點(diǎn)A,B,C,D在同一個(gè)球的球面上,AB=BC=6,ABC=90°.若四面體ABCD體積的最大值為3,則這個(gè)球的表面積為()A.2B.4C.8D.16答案D解析由題意,知SABC=3,設(shè)ABC所在球的小圓的圓心為Q,則Q為AC的中點(diǎn),當(dāng)DQ與面ABC垂直時(shí),四面體ABCD的最大體積為13SABC·DQ=3,DQ=3,如圖,設(shè)球心為O,半徑為R,則在RtAQO中,OA2=AQ2+OQ2,即R2=(3)2+(3-R)2,R=2,則這個(gè)球的表面積為S=4×22=16.故選D.6.九章算術(shù)是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書中有如下問(wèn)題:“今有委米依垣內(nèi)角,下周八尺,高五尺.問(wèn):積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖,米堆為一個(gè)圓錐的四分之一),米堆底部的弧長(zhǎng)為8尺,米堆的高為5尺,問(wèn)米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺,圓周率約為3,估算出堆放的米有()A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛答案B解析設(shè)底面圓半徑為R,米堆高為h.米堆底部弧長(zhǎng)為8尺,14·2R=8,R=16.體積V=14×13·R2h=112××162×5.3,V3209(立方尺).堆放的米約為3209×1.6222(斛).7.(2018江蘇,10)如圖,正方體的棱長(zhǎng)為2,以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體的體積為. 答案43解析由題意知,多面體是棱長(zhǎng)均為2的八面體,它是由兩個(gè)有公共底面的正四棱錐組合而成的,正四棱錐的高為1,所以這個(gè)八面體的體積為2V正四棱錐=2×13×(2)2×1=43.8.已知棱長(zhǎng)為4的正方體被一平面截成兩個(gè)幾何體,其中一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積是. 答案32解析由三視圖,可得棱長(zhǎng)為4的正方體被平面AJGI截成兩個(gè)幾何體,且J,I分別為BF,DH的中點(diǎn),如圖,兩個(gè)幾何體的體積各占正方體的一半,則該幾何體的體積是12×43=32.9.已知三棱錐P-ABC內(nèi)接于球O,PA=PB=PC=2,當(dāng)三棱錐P-ABC的三個(gè)側(cè)面的面積之和最大時(shí),球O的表面積為. 答案12解析由題意三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱PA,PB,PC兩兩互相垂直,三棱錐P-ABC的三個(gè)側(cè)面的面積之和最大,三棱錐P-ABC的外接球就是它擴(kuò)展為正方體的外接球,求出正方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)為23,所以球O的直徑是23,半徑為3,球O的表面積為4×(3)2=12.10.在三棱柱ABC-A1B1C1中,BAC=90°,其正視圖和側(cè)視圖都是邊長(zhǎng)為1的正方形,俯視圖是直角邊的長(zhǎng)為1的等腰直角三角形,設(shè)點(diǎn)M,N,P分別是棱AB,BC,B1C1的中點(diǎn),則三棱錐P-A1MN的體積是. 答案124解析由題意,可得直三棱柱ABC-A1B1C1如圖所示.其中AB=AC=AA1=BB1=CC1=A1B1=A1C1=1.M,N,P分別是棱AB,BC,B1C1的中點(diǎn),MN=12,NP=1.SMNP=12×12×1=14.點(diǎn)A1到平面MNP的距離為AM=12,VP-A1MN=VA1-MNP=13×14×12=124.11.(2018重慶二診)已知邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C都在以O(shè)為球心的球面上,若球O的表面積為1483,則三棱錐O-ABC的體積為. 答案333解析設(shè)球的半徑為R,則4R2=1483,解得R2=373.設(shè)ABC所在平面截球所得的小圓的半徑為r,則r=23×32×2=233.故球心到ABC所在平面的距離為d=R2-r2=373-43=11,即為三棱錐O-ABC的高,所以VO-ABC=13SABC·d=13×34×22×11=333.12.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示.已知正視圖是底邊長(zhǎng)為1的平行四邊形,側(cè)視圖是一個(gè)長(zhǎng)為3、寬為1的矩形,俯視圖為兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形拼成的矩形.(1)求該幾何體的體積V;(2)求該幾何體的表面積S.解(1)由三視圖可知,該幾何體是一個(gè)平行六面體(如圖),其底面是邊長(zhǎng)為1的正方形,高為3,所以V=1×1×3=3.(2)由三視圖可知,該平行六面體中,A1D平面ABCD,CD平面BCC1B1,所以AA1=2,側(cè)面ABB1A1,CDD1C1均為矩形.S=2×(1×1+1×3+1×2)=6+23.二、能力提升13.如圖,在多面體ABCDEF中,已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形,且ADE,BCF均為正三角形,EFAB,EF=2,則該多面體的體積為()A.23B.33C.43D.32答案A解析如圖,分別過(guò)點(diǎn)A,B作EF的垂線,垂足分別為G,H,連接DG,CH,容易求得EG=HF=12,AG=GD=BH=HC=32,所以SAGD=SBHC=12×22×1=24.所以V=VE-ADG+VF-BHC+VAGD-BHC=2VE-ADG+VAGD-BHC=13×24×12×2+24×1=23.14.(2018湖南衡陽(yáng)一模)芻薨,中國(guó)古代算術(shù)中的一種幾何形體,九章算術(shù)中記載“芻薨者,下有褒有廣,而上有褒無(wú)廣.芻,草也.薨,屋蓋也.”翻譯為“底面有長(zhǎng)有寬為矩形,頂部只有長(zhǎng)沒(méi)有寬為一條棱,芻薨字面意思為茅草屋頂”.如圖為一芻薨的三視圖,其中正視圖為等腰梯形,側(cè)視圖為等腰三角形,若用茅草搭建它,則覆蓋的面積至少為()A.65B.75C.85D.95答案C解析由題意,得茅草覆蓋面積即為幾何體的側(cè)面積.由題意可知,該幾何體的側(cè)面為兩個(gè)全等的等腰梯形和兩個(gè)全等的等腰三角形.其中,等腰梯形的上底長(zhǎng)為2,下底長(zhǎng)為4,高為22+12=5;等腰三角形的底邊長(zhǎng)為2,高為22+12=5.故側(cè)面積為S=2×12×(2+4)×5+2×12×2×5=85.即需要茅草覆蓋的面積至少為85,故選C.15.(2018全國(guó),文12)設(shè)A,B,C,D是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn),ABC為等邊三角形且其面積為93,則三棱錐D-ABC體積的最大值為()A.123B.183C.243D.543答案B解析由ABC為等邊三角形且面積為93,設(shè)ABC邊長(zhǎng)為a,則S=12a·32a=93.a=6,則ABC的外接圓半徑r=32×23a=23<4.設(shè)球的半徑為R,如圖,OO1=R2-r2=42-(23)2=2.當(dāng)D在O的正上方時(shí),VD-ABC=13SABC·(R+|OO1|)=13×93×6=183,最大.故選B.16.如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,點(diǎn)E,F分別在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,過(guò)點(diǎn)E,F的平面與此長(zhǎng)方體的面相交,交線圍成一個(gè)正方形.(1)在圖中畫出這個(gè)正方形(不必說(shuō)明畫法和理由);(2)求平面把該長(zhǎng)方體分成的兩部分體積的比值.解(1)交線圍成的正方形EHGF如圖:(2)作EMAB,垂足為M,則AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.因?yàn)镋HGF為正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH=EH2-EM2=6,AH=10,HB=6.因?yàn)殚L(zhǎng)方體被平面分成兩個(gè)高為10的直棱柱,所以其體積的比值為兩棱柱底面積之比,即9779也正確.三、高考預(yù)測(cè)17.已知球的直徑SC=4,A,B是該球球面上的兩點(diǎn),AB=3,ASC=BSC=30°,則棱錐S-ABC的體積為()A.33B.23C.3D.1答案C解析如圖,過(guò)A作AD垂直SC于D,連接BD.因?yàn)镾C是球的直徑,所以SAC=SBC=90°.又ASC=BSC=30°,又SC為公共邊,所以SACSBC.因?yàn)锳DSC,所以BDSC.由此得SC平面ABD.所以VS-ABC=VS-ABD+VC-ABD=13SABD·SC.因?yàn)樵赗tSAC中,ASC=30°,SC=4,所以AC=2,SA=23.由于AD=SA·CASC=3.同理在RtBSC中也有BD=SB·CBSC=3.又AB=3,所以ABD為正三角形.所以VS-ABC=13SABD·SC=13×12×(3)2·sin60°×4=3,故選C.11