（全國(guó)通用）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題提分教程 第二編 專題七 選修4系列 第1講 坐標(biāo)系與參數(shù)方程練習(xí) 理

第1講坐標(biāo)系與參數(shù)方程考情研析高考中，該部分內(nèi)容常以直線、圓錐曲線(主要是圓、橢圓)幾何元素為載體，主要考查參數(shù)方程與普通方程互化、極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化；同時(shí)進(jìn)一步考查利用相應(yīng)方程形式或幾何意義解決元素位置關(guān)系、距離、面積等綜合問(wèn)題該部分試題難度一般不大.核心知識(shí)回顧1.極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(x，y)，極坐標(biāo)為(，)，則(，)(x，y)(x，y)(，)2常見圓的極坐標(biāo)方程(1)圓心在極點(diǎn)，半徑為r的圓：r(0<2)(2)圓心為M(a,0)，半徑為a的圓：2acos.(3)圓心為M，半徑為a的圓：2asin(0)3常見直線的極坐標(biāo)方程(1)直線過(guò)極點(diǎn)，直線的傾斜角為：(R)(2)直線過(guò)點(diǎn)M(a,0)，且垂直于極軸：cosa.(3)直線過(guò)點(diǎn)M，且平行于極軸：sina(0<<)4直線、圓與橢圓的參數(shù)方程熱點(diǎn)考向探究考向1 極坐標(biāo)方程及應(yīng)用例1(2019·全國(guó)卷)在極坐標(biāo)系中，O為極點(diǎn)，點(diǎn)M(0，0)(0>0)在曲線C：4sin上，直線l過(guò)點(diǎn)A(4,0)且與OM垂直，垂足為P.(1)當(dāng)0時(shí)，求0及l(fā)的極坐標(biāo)方程；(2)當(dāng)M在C上運(yùn)動(dòng)且P在線段OM上時(shí)，求P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程解(1)因?yàn)镸(0，0)在曲線C上，當(dāng)0時(shí)，04sin2.由已知得|OP|OA|cos2.設(shè)Q(，)為l上除P外的任意一點(diǎn)在RtOPQ中，cos|OP|2.經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)P在曲線cos2上，所以，l的極坐標(biāo)方程為cos2.(2)設(shè)P(，)，在RtOAP中，|OP|OA|cos4cos，即4cos.因?yàn)镻在線段OM上，且APOM，所以的取值范圍是.所以，P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程為4cos，.直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)方程的互化及應(yīng)用(1)直角坐標(biāo)方程化極坐標(biāo)方程時(shí)，通?？梢灾苯訉cos，ysin代入即可(2)極坐標(biāo)方程化直角坐標(biāo)方程時(shí)，一般需要構(gòu)造2，sin，cos，常用的技巧有式子兩邊同乘以，兩角和與差的正弦、余弦展開等(2019·武漢市高三調(diào)研)在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C1：sin()，C2：2.(1)求曲線C1，C2的直角坐標(biāo)方程；(2)曲線C1和C2的交點(diǎn)為M，N，求以MN為直徑的圓與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)解(1)由sin()得(sincoscossin)，將代入上式得xy1.即C1的直角坐標(biāo)方程為xy1，同理，由2可得3x2y21，C2的直角坐標(biāo)方程為3x2y21.(2)PMPN，先求以MN為直徑的圓，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，由得3x2(1x)21，即x2x10.考向2 參數(shù)方程及應(yīng)用例2(2019·四川省華文大教育聯(lián)盟高三第二次質(zhì)量檢測(cè))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))(1)求曲線C和直線l的普通方程；(2)直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|1，求直線l的方程解(1)對(duì)曲線C：消去參數(shù)，得x2y21.對(duì)直線l：消去參數(shù)t，當(dāng)cos0時(shí)，l：x2；當(dāng)cos0時(shí)，l：ytan(x2)(2)把代入x2y21中，得t24tcos30.因?yàn)?6cos212>0，所以cos2>.因?yàn)閠1t24cos，t1t23，|AB|t1t2|1，所以(t1t2)2(t1t2)24t1t216cos2121，所以cos2，所以tan2.所以tan±，即直線l的斜率為±.所以直線l的方程為yx或yx.參數(shù)方程化為普通方程消去參數(shù)的方法(1)代入消參法：將參數(shù)解出來(lái)代入另一個(gè)方程消去參數(shù)，直線的參數(shù)方程通常用代入消參法(2)三角恒等式法：利用sin2cos21消去參數(shù)，圓的參數(shù)方程和橢圓的參數(shù)方程都是運(yùn)用三角恒等式法(3)常見消參數(shù)的關(guān)系式：t·1；224；221.(2019·太原市高三模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為2cos.(1)若曲線C1方程中的參數(shù)是，且C1與C2有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求C1的普通方程；(2)已知點(diǎn)A(0,1)，若曲線C1方程中的參數(shù)是t,0<<，且C1與C2相交于P，Q兩個(gè)不同點(diǎn)，求的最大值解(1)2cos，曲線C2的直角坐標(biāo)方程為(x1)2y21，是曲線C1：的參數(shù)，C1的普通方程為x2(y1)2t2，C1與C2有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，|t|1或|t|1，C1的普通方程為x2(y1)2(1)2或x2(y1)2(1)2.(2)t是曲線C1：的參數(shù)，C1是過(guò)點(diǎn)A(0,1)的一條直線，設(shè)與點(diǎn)P，Q相對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別是t1，t2，把代入(x1)2y21得t22(sincos)t10，考向3 極坐標(biāo)與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用角度1極坐標(biāo)方程中極徑幾何意義的應(yīng)用例3在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C的方程為x24y4.(1)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求C的極坐標(biāo)方程；(2)直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))，l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|8，求l的斜率解(1)由xcos，ysin可得拋物線C的極坐標(biāo)方程2cos24sin40.(2)在(1)中建立的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為(R)，設(shè)A，B所對(duì)應(yīng)的極徑分別為1，2，將l的極坐標(biāo)方程代入C的極坐標(biāo)方程得2cos24sin40，因?yàn)閏os20(否則，直線l與拋物線C沒(méi)有兩個(gè)公共點(diǎn))，于是12，12，|AB|12| ，由|AB|8得cos2，tan±1，所以l的斜率為1或1.(1)幾何意義：極徑表示極坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)M到極點(diǎn)O的距離(2)應(yīng)用：一般應(yīng)用于過(guò)極點(diǎn)的直線與曲線相交，所得的弦長(zhǎng)問(wèn)題，需要用極徑表示出弦長(zhǎng)，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系解題(2019·哈爾濱市第三中學(xué)高三第一次模擬)已知曲線C1：xy和C2：(為參數(shù))以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，且兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位(1)把曲線C1和C2的方程化為極坐標(biāo)方程；(2)設(shè)C1與x，y軸交于M，N兩點(diǎn)，且線段MN的中點(diǎn)為P.若射線OP與C1，C2交于P，Q兩點(diǎn)，求P，Q兩點(diǎn)間的距離解(1)C2的參數(shù)方程為(為參數(shù))，其普通方程為1，又C1：xy，角度2直線參數(shù)方程中參數(shù)幾何意義的應(yīng)用例4(2019·山東高三模擬)在直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，為直線l的傾斜角)，點(diǎn)P和F的坐標(biāo)分別為(1,3)和(1,0)；以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸且取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為.(1)將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且·22，求的值解(1)由，得2sin24cos，即y24x，所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為y24x.(2)將代入y24x得，t2sin2(6sin4cos)t130(sin20)，由題意，得(6sin4cos)24×13sin2>0，(*)設(shè)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則t1t2，由點(diǎn)P在直線l上，得·|·|t1t2|，222|22×()226，所以26，即sin±，結(jié)合0，所以或，將代入(*)，可知不適合，適合綜上，.對(duì)直線參數(shù)方程(t為參數(shù))，其中M0(x0，y0)為定點(diǎn)，為直線傾斜角的理解(1)幾何意義：參數(shù)t的絕對(duì)值等于直線上動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)M0的距離，若t>0，則的方向向上；若t<0，則的方向向下；若t0，則點(diǎn)M與M0重合(2)應(yīng)用：一般應(yīng)用于過(guò)定點(diǎn)的直線與圓錐曲線交于A，B兩點(diǎn)，與弦長(zhǎng)|AB|及其相關(guān)的問(wèn)題，解決的方法是首先用t表示出弦長(zhǎng)，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造方程、函數(shù)式等解決問(wèn)題(2019·廣州市普通高中高三綜合測(cè)試)在直角坐標(biāo)系xOy中，傾斜角為的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為22cos8.(1)求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)若直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|4，求直線l的傾斜角解(1)因?yàn)橹本€l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，當(dāng)時(shí)，直線l的直角坐標(biāo)方程為x2.當(dāng)時(shí)，直線l的直角坐標(biāo)方程為ytan(x2)因?yàn)?x2y2，cosx，又因?yàn)?2cos8，所以x2y22x8.所以C的直角坐標(biāo)方程為x2y22x80.(2)因?yàn)榍€C的直角坐標(biāo)方程為x2y22x80，將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的方程整理，得t2(2sin2cos)t50.因?yàn)?2sin2cos)220>0，所以可設(shè)該方程的兩個(gè)根為t1，t2，則t1t2(2sin2cos)，t1t25.所以|AB|t1t2| 4.整理得(sincos)23，故2sin()±.因?yàn)?<，所以或，解得或，綜上所述，直線l的傾斜角為或.真題押題真題模擬1(2019·大慶市高三第三次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè))在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為4cos，射線l2的極坐標(biāo)方程為(0)(1)求直線l1的傾斜角及極坐標(biāo)方程；(2)若射線l2與l1交于點(diǎn)M，與圓C交于點(diǎn)N(異于原點(diǎn))，求|OM|·|ON|.解(1)消去方程中的參數(shù)t，整理得xy40，直線l1的普通方程為xy40.設(shè)直線l1的傾斜角為，則tan，0<，.把xcos，ysin代入xy40，可得直線l1的極坐標(biāo)方程為cossin4.(2)把代入l1的極坐標(biāo)方程中得|OM|1，把代入圓的極坐標(biāo)方程中得|ON|22，|OM|·|ON|128.2(2019·江蘇高考)在極坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)A，B，直線l的方程為sin3.(1)求A，B兩點(diǎn)間的距離；(2)求點(diǎn)B到直線l的距離解(1)設(shè)極點(diǎn)為O.在OAB中，A，B，由余弦定理，得|AB| .(2)因?yàn)橹本€l的方程為sin3，所以直線l過(guò)點(diǎn)，傾斜角為.又B，所以點(diǎn)B到直線l的距離為(3)×sin2.3(2019·郴州市高三第三次質(zhì)量檢測(cè))在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，0<)，點(diǎn)M(0，2)以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為4cos（）.(1)求曲線C2的直角坐標(biāo)方程，并指出其形狀；(2)曲線C1與曲線C2交于A，B兩點(diǎn)，若，求sin的值解(1)由4cos（），得4cos4sin，所以24cos4sin，即x2y24x4y，(x2)2(y2)28.所以曲線C2是以(2，2)為圓心，2為半徑的圓(2)將代入(x2)2(y2)28，整理得t24tcos40，設(shè)點(diǎn)A，B所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則t1t24cos，t1t24.解得cos2，則sin. 解(1)由題設(shè)可得，弧所在圓的極坐標(biāo)方程分別為2cos，2sin，2cos，所以M1的極坐標(biāo)方程為2cos，M2的極坐標(biāo)方程為2sin，M3的極坐標(biāo)方程為2cos.(2)設(shè)P(，)，由題設(shè)及(1)知若0，則2cos，解得；若，則2sin，解得或；若，則2cos，解得.綜上，P的極坐標(biāo)為或或或.金版押題5在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1的極坐標(biāo)方程為2(13sin2)4，曲線C2：(為參數(shù))(1)求曲線C1的直角坐標(biāo)方程和C2的普通方程；(2)極坐標(biāo)系中兩點(diǎn)A(1，0)，B都在曲線C1上，求的值解(1)由題意可得，曲線C1的直角坐標(biāo)方程為y21，C2的普通方程為(x2)2y24.(2)由點(diǎn)A，B在曲線C1上，得，則，因此.配套作業(yè)1(2019·廣西八市高三聯(lián)合考試)已知曲線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為4cos（）.(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)P(2,1)，直線l與曲線C交于點(diǎn)A，B，求|PA|·|PB|的值解(1)由4cos（），得4cos4sin，24cos4sin，又xcos，ysin，x2y24x4y，即曲線C的直角坐標(biāo)方程為(x2)2(y2)28.(2)將代入C的直角坐標(biāo)方程，得t2（t1）28，t2t70，設(shè)A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，t1t27.則|PA|·|PB|t1t2|7.2以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程是2sin5，射線OM：，在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù))(1)求圓C的普通方程及極坐標(biāo)方程；(2)射線OM與圓C的交點(diǎn)為O，P，與直線l的交點(diǎn)為Q，求線段PQ的長(zhǎng)解(1)由圓C的參數(shù)方程(為參數(shù))知，圓C的圓心為(0,2)，半徑為2，所以圓C的普通方程為x2(y2)24，將xcos，ysin代入x2(y2)24，得圓C的極坐標(biāo)方程為4sin.(2)設(shè)P(1，1)，則由解得12，1.設(shè)Q(2，2)，則由解得25，2，所以線段PQ的長(zhǎng)|PQ|12|3.3在平面直角坐標(biāo)系xOy中，傾斜角為的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程是cos24sin0.(1)寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)已知點(diǎn)P(1,0)若點(diǎn)M的極坐標(biāo)為，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)M且與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為Q，求|PQ|的值解(1)直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l的普通方程為ytan·(x1)由cos24sin0得2cos24sin0，即x24y0.曲線C的直角坐標(biāo)方程為x24y.(2)點(diǎn)M的極坐標(biāo)為，點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(0,1)tan1，直線l的傾斜角.直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))代入x24y，得t26t20.設(shè)A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2.Q為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)Q對(duì)應(yīng)的參數(shù)值為3.又點(diǎn)P(1,0)，則|PQ|3.4(2019·蘭州市高三二診)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為4sin.(1)求曲線C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程；(2)已知曲線C3的極坐標(biāo)方程為，0<<，R，點(diǎn)A是曲線C3與C1的交點(diǎn)，點(diǎn)B是曲線C3與C2的交點(diǎn)，且A，B均異于原點(diǎn)O，且|AB|4，求實(shí)數(shù)的值解(1)由曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))，消去參數(shù)得曲線C1的普通方程為(x2)2y24，因?yàn)榍€C2的極坐標(biāo)方程為4sin，所以24sin.所以C2的直角坐標(biāo)方程為x2y24y，整理得x2(y2)24.5在直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：(為參數(shù))，點(diǎn)P在直線l：xy40上，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系(1)求圓C和直線l的極坐標(biāo)方程；(2)射線OP交圓C于點(diǎn)R，點(diǎn)Q在射線OP上，且滿足|OP|2|OR|·|OQ|，求Q點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程解(1)圓C的極坐標(biāo)方程2，直線l的極坐標(biāo)方程為.(2)設(shè)P，Q，R的極坐標(biāo)分別為(1，)，(，)，(2，)，因?yàn)?，22，又因?yàn)閨OP|2|OR|·|OQ|，即·2，所以×，所以Q點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程為.6(2019·青島市高三一模)直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(其中為參數(shù))以O(shè)為極點(diǎn)，以x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為(R)，曲線C2：4sin.(1)求曲線C1的普通方程和極坐標(biāo)方程；(2)已知直線l與曲線C1和曲線C2分別交于M和N兩點(diǎn)(均異于點(diǎn)O)，求線段MN的長(zhǎng)解(1)因?yàn)榍€C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))，所以C1的普通方程為(x2)2(y1)25，在極坐標(biāo)系中，將代入得24cos2sin0，化簡(jiǎn)得，C1的極坐標(biāo)方程為4cos2sin.(2)因?yàn)橹本€l的極坐標(biāo)方程為(R)，且直線l與曲線C1和曲線C2分別交于M，N，7在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C的參數(shù)方程為(t>0，為參數(shù))以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為sin3.(1)當(dāng)t1時(shí)，求曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離的最大值；(2)若曲線C上的所有點(diǎn)都在直線l的下方，求實(shí)數(shù)t的取值范圍解(1)由sin3得sincos3，把xcos，ysin代入得直線l的直角坐標(biāo)方程為xy30，當(dāng)t1時(shí)，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，消去參數(shù)得曲線C的普通方程為x2y21，曲線C為圓，且圓心為O，則點(diǎn)O到直線l的距離d，曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離的最大值為1.(2)曲線C上的所有點(diǎn)均在直線l的下方，對(duì)任意的R，tcossin3<0恒成立，即cos()<3恒成立， <3，又t>0，0<t<2.實(shí)數(shù)t的取值范圍為(0,2)8(2019·安徽高三4月聯(lián)考)已知在極坐標(biāo)系中，曲線C1的極坐標(biāo)方程為cos（）m0.以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，曲線C2的參數(shù)方程為(為參數(shù))(1)求曲線C1的直角坐標(biāo)方程以及曲線C2的極坐標(biāo)方程；(2)若曲線C1，C2交于M，N兩點(diǎn)，且A(0，m)，|AM|·|AN|2，求m的值解(1)cos（）m0，(cossin)m0，則曲線C1的直角坐標(biāo)方程為xym0，(x1)2y22，x2y22x10，則曲線C2的極坐標(biāo)方程為22cos10.(2)由(1)得曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，代入x2y22x10中，整理得t2(m)tm210，2m24m6>0，解得3<m<1，設(shè)M，N對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則t1t2m21，由t的幾何意義得，|AM|AN|t1|t2|t1t2|m21|2，解得m±，又3<m<1，m.- 18 -