（魯京津瓊專用）2020版高考數(shù)學大一輪復習 第九章 平面解析幾何 第6講 雙曲線練習（含解析）

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1、第6講　雙曲線 一、選擇題 1.(2017·鄭州模擬)設(shè)雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的虛軸長為2，焦距為2，則雙曲線的漸近線方程為(　　) A.y＝±x B.y＝±x C.y＝±x D.y＝±2x 解析　因為2b＝2，所以b＝1，因為2c＝2，所以c＝，所以a＝＝，所以雙曲線的漸近線方程為y＝±x＝±x，故選B. 答案　B 2.(2015·廣東卷)已知雙曲線C：－＝1的離心率e＝，且其右焦點為F2(5，0)，則雙曲線C的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析　因為所求雙曲線的右焦點為F2(5，0)且離心率為e＝＝，

2、所以c＝5，a＝4，b2＝c2－a2＝9，所以所求雙曲線方程為－＝1，故選C. 答案　C 3.(2017·山西省四校聯(lián)考)已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)，右焦點F到漸近線的距離為2，點F到原點的距離為3，則雙曲線C的離心率e為(　　) A. B. C. D. 解析　∵右焦點F到漸近線的距離為2，∴F(c，0)到y(tǒng)＝x的距離為2，即＝2，又b＞0，c＞0，a2＋b2＝c2，∴＝b＝2，又∵點F到原點的距離為3，∴c＝3，∴a＝＝，∴離心率e＝＝＝. 答案　B 4.已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2－y2＝2的左、右焦點，點P在C上，|PF1|＝2|PF2|，則cos

3、∠F1PF2＝(　　) A. B. C. D. 解析　由x2－y2＝2，知a＝b＝，c＝2. 由雙曲線定義，|PF1|－|PF2|＝2a＝2， 又|PF1|＝2|PF2|， ∴|PF1|＝4，|PF2|＝2， 在△PF1F2中，|F1F2|＝2c＝4，由余弦定理，得 cos ∠F1PF2＝＝. 答案　C 5.(2017·成都調(diào)研)過雙曲線x2－＝1的右焦點且與x軸垂直的直線，交該雙曲線的兩條漸近線于A，B兩點，則|AB|＝(　　) A. B.2 C.6 D.4 解析　由題意知，雙曲線x2－＝1的漸近線方程為y＝±x，將x＝c＝2代入得y＝±2，即A

4、，B兩點的坐標分別為(2，2)，(2，－2)，所以|AB|＝4. 答案　D 二、填空題 6.(2016·江蘇卷)在平面直角坐標系xOy中，雙曲線－＝1的焦距是________. 解析　由已知，得a2＝7，b2＝3，則c2＝7＋3＝10，故焦距為2c＝2. 答案　2 7.(2016·北京卷)雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的漸近線為正方形OABC的邊OA，OC所在的直線，點B為該雙曲線的焦點，若正方形OABC的邊長為2，則a＝________. 解析　取B為雙曲線右焦點，如圖所示.∵四邊形OABC為正方形且邊長為2，∴c＝|OB|＝2， 又∠AOB＝， ∴＝tan＝1，即a＝b.

5、 又a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2. 答案　2 8.(2016·山東卷)已知雙曲線E：－＝1(a＞0，b＞0).若矩形ABCD的四個頂點在E上，AB，CD的中點為E的兩個焦點，且2|AB|＝3|BC|，則E的離心率是________. 解析　由已知得|AB|＝，|BC|＝2c，∴2×＝3×2c. 又∵b2＝c2－a2，整理得：2c2－3ac－2a2＝0，兩邊同除以a2得2－3－2＝0，即2e2－3e－2＝0，解得e＝2或e＝－1(舍去). 答案　2 三、解答題 9.(2017·安徽江南十校聯(lián)考)已知雙曲線的中心在原點，焦點F1，F(xiàn)2在坐標軸上，離心率為，且過點P(4，－).

6、(1)求雙曲線的方程； (2)若點M(3，m)在雙曲線上，求證：·＝0. (1)解　∵e＝， ∴可設(shè)雙曲線的方程為x2－y2＝λ(λ≠0). ∵雙曲線過點(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴雙曲線的方程為x2－y2＝6. (2)證明　法一　由(1)可知，a＝b＝， ∴c＝2，∴F1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0)， ∴kMF1＝，kMF2＝， kMF1·kMF2＝＝－. ∵點M(3，m)在雙曲線上，∴9－m2＝6，m2＝3， 故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2.∴·＝0. 法二　由(1)可知，a＝b＝，∴c＝2， ∴F1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0)，

7、＝(－2－3，－m)，＝(2－3，－m)， ∴·＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2， ∵點M(3，0)在雙曲線上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0， ∴·＝0. 10.已知橢圓C1的方程為＋y2＝1，雙曲線C2的左、右焦點分別是C1的左、右頂點，而C2的左、右頂點分別是C1的左、右焦點. (1)求雙曲線C2的方程； (2)若直線l：y＝kx＋與雙曲線C2恒有兩個不同的交點A和B，且·＞2(其中O為原點)，求k的取值范圍. 解　(1)設(shè)雙曲線C2的方程為－＝1(a＞0，b＞0)， 則a2＝3，c2＝4，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1. 故C2的方程為－y2＝1. (2

8、)將y＝kx＋代入－y2＝1， 得(1－3k2)x2－6kx－9＝0. 由直線l與雙曲線C2交于不同的兩點，得 ∴k2≠且k2＜1.① 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1＋x2＝，x1x2＝－. ∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋)(kx2＋) ＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋2＝. 又∵·＞2，得x1x2＋y1y2＞2， ∴＞2，即＞0， 解得＜k2＜3.② 由①②得＜k2＜1， 故k的取值范圍為∪. 11.過雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的右頂點作x軸的垂線，與C的一條漸近線相交于點A.若以C的右焦點為圓心、半徑為4的圓經(jīng)過A

9、，O兩點(O為坐標原點)，則雙曲線C的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析　由雙曲線方程知右頂點為(a，0)，不妨設(shè)其中一條漸近線方程為y＝x，因此可得點A的坐標為(a，b). 設(shè)右焦點為F(c，0)，由已知可知c＝4，且|AF|＝4，即(c－a)2＋b2＝16，所以有(c－a)2＋b2＝c2，又c2＝a2＋b2，則c＝2a，即a＝＝2，所以b2＝c2－a2＝42－22＝12.故雙曲線的方程為－＝1，故選A. 答案　A 12.若雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)上存在一點P滿足以|OP|為邊長的正方形的面積等于2ab(其中O為坐標原點)，則雙曲

10、線的離心率的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 解析　由條件，得|OP|2＝2ab，又P為雙曲線上一點，從而|OP|≥a，∴2ab≥a2，∴2b≥a，又∵c2＝a2＋b2≥a2＋＝a2，∴e＝≥. 答案　C 13.(2016·浙江卷)設(shè)雙曲線x2－＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，若點P在雙曲線上，且△F1PF2為銳角三角形，則|PF1|＋|PF2|的取值范圍是________. 解析　如圖，由已知可得a＝1，b＝，c＝2，從而|F1F2|＝4，由對稱性不妨設(shè)點P在右支上，設(shè)|PF2|＝m，則|PF1|＝m＋2a＝m＋2， 由于△PF1F2為銳角三角形， 結(jié)

11、合實際意義需滿足 解得－1＋＜m＜3，又|PF1|＋|PF2|＝2m＋2， ∴2＜2m＋2＜8. 答案　(2，8) 14.已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線方程為2x＋y＝0，且頂點到漸近線的距離為. (1)求此雙曲線的方程； (2)設(shè)P為雙曲線上一點，A，B兩點在雙曲線的漸近線上，且分別位于第一、二象限，若＝，求△AOB的面積. 解　(1)依題意得 解得 故雙曲線的方程為－x2＝1. (2)由(1)知雙曲線的漸近線方程為y＝±2x， 設(shè)A(m，2m)，B(－n，2n)，其中m＞0，n＞0， 由＝得點P的坐標為. 將點P的坐標代入－x2＝1， 整理得mn＝1.設(shè)∠AOB＝2θ， ∵tan＝2， 則tan θ＝，從而sin 2θ＝. 又|OA|＝m，|OB|＝n， ∴S△AOB＝|OA||OB|sin 2θ＝2mn＝2. 7