數(shù)學(xué)題型題型七 幾何圖形的相關(guān)證明及計(jì)算 類型五 構(gòu)造直角三角形

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1、例例 5 如圖，已知如圖，已知ABC中，中，ABC45，點(diǎn)，點(diǎn)E為為AC上的一上的一點(diǎn)，連接點(diǎn)，連接BE，在，在BC上找一點(diǎn)上找一點(diǎn)G，使得，使得AGAB，AG交交BE于于K.(1)若若ABE30，且，且EBCGAC,BK4，求，求AC的長(zhǎng)度；的長(zhǎng)度；(2)如圖，過(guò)點(diǎn)如圖，過(guò)點(diǎn)A作作DAAE交交BE于點(diǎn)于點(diǎn)D，過(guò)，過(guò)D、E分別向分別向AB所所在的直線作垂線，垂足分別為點(diǎn)在的直線作垂線，垂足分別為點(diǎn) M、N，且，且NEAM，若，若D為為BE的的 中中點(diǎn)，證明：點(diǎn)，證明：DG2AG.5(1)【思維教練思維教練】ABAG，ABG45，可得，可得BAG90，ABK30，已知，已知BK，可求，可求AB的

2、值，根據(jù)的值，根據(jù)AGB、GAC可求得可求得C，過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作作AHBC，在，在RtAHC中可求得中可求得AH的值，即可求得的值，即可求得AC長(zhǎng)度長(zhǎng)度【自主作答自主作答】(1)解：如解圖中，作解：如解圖中，作AHBG于點(diǎn)于點(diǎn)H.ABAG，ABC45，BAG90，在在RtABK中，中，BAK90，ABK30，BK4，AK BK2，AB 2 ，ABAG，BAG90，ABCAGB45，CBECAG15，2242312AGBCCAG，C30，在在RtAHC中，中，AHC90，C30，AC2AH，在在RtABH中，中，AHBH AB ，AC2 ；6622(2)【思維教練思維教練】D為為BE的中點(diǎn)，可考慮

3、連接的中點(diǎn)，可考慮連接EG構(gòu)造直角三構(gòu)造直角三角形，已知角形，已知DMAB，ENAB，可得一對(duì)直角，由，可得一對(duì)直角，由AMNE，可證可證MADNEA，根據(jù)角的等量代換可證，根據(jù)角的等量代換可證BADGAE，證明，證明DGE為等腰直角三角形，表示出為等腰直角三角形，表示出DG長(zhǎng)度，再在長(zhǎng)度，再在RtADG中，表示出中，表示出AG長(zhǎng)度，即可證明長(zhǎng)度，即可證明【自主作答自主作答】(2)證明：如解圖，連接證明：如解圖，連接EG.DMAB，ENBA，AMDNDAE90，MADNAE90，NAENEA90，MADNEA，在，在MAD和和NEA中，中，MADNEA(ASA)，ADAE，BAGDAE90，B

4、ADGAE，MADNEAAMNEAMDN 在在BAD和和GAE中，中，BADGAE(SAS)，BDEGDE，ABDAGE，AKBEKG，KEGKAB90，DGE為等腰直角三角形，設(shè)為等腰直角三角形，設(shè)ADAEa，ADEEDG45，ADG90，BAAGBADGAEADAE DEBDEGa，DGDE2a，在在RtADG中，中，AG a，DG2AG.22(2)aa5525DGaAGa(1)若三角形兩條邊相等，且一邊所對(duì)的角為若三角形兩條邊相等，且一邊所對(duì)的角為45，即為等腰直，即為等腰直角三角形，可考慮過(guò)直角頂點(diǎn)向斜邊作垂線構(gòu)造直角三角形；角三角形，可考慮過(guò)直角頂點(diǎn)向斜邊作垂線構(gòu)造直角三角形；(2)若遇到中點(diǎn)可想到若一條邊上的中線等于該邊的一半的三角若遇到中點(diǎn)可想到若一條邊上的中線等于該邊的一半的三角形為直角三角形，構(gòu)造直角三角形形為直角三角形，構(gòu)造直角三角形方方 法法點(diǎn)點(diǎn)撥撥