（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 計數(shù)原理與古典概率 3 第3講 二項式定理高效演練分層突破

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1、第3講　二項式定理 [基礎(chǔ)題組練] 1．(2020·金華十校期末調(diào)研)在(x2－4)5的展開式中，含x6的項的系數(shù)為(　　) A．20　　　　　 　　　　　 B．40 C．80 D．160 解析：選D.Tr＋1＝C(x2)5－r(－4)r＝(－4)rCx10－2r， 令10－2r＝6，解得r＝2， 所以含x6的項的系數(shù)為(－4)2C＝160. 2．(2020·臺州高三期末考試)已知在(－)n的展開式中，第6項為常數(shù)項，則n＝(　　) A．9 B．8 C．7 D．6 解析：選D.因為第6項為常數(shù)項，由C()n－5(－)5＝－()n－5C·xn－6，可得n－6＝0

2、，解得n＝6.故選D. 3．(2020·溫州市普通高中模考)在的展開式中，各項系數(shù)和與二項式系數(shù)和之比為64，則x3的系數(shù)為(　　) A．15 B．45 C．135 D．405 解析：選C.由題意＝64，n＝6，Tr＋1＝Cx6－r＝3rCx6－，令6－＝3，r＝2，32C＝135. 4．(2020·湖州市高三期末考試)若(x＋)(2x－)5的展開式中各項系數(shù)的和為2，則該展開式中常數(shù)項是(　　) A．－40 B．－20 C．40 D．20 解析：選C.令x＝1，(1＋a)×(2－1)5＝2，解得a＝1. 所以(2x－)5的通項公式 Tr＋1＝C(2x)5－

3、r(－)r＝(－1)r25－rCx5－2r， 令5－2r＝－1，5－2r＝1. 解得r＝3或2. 所以該展開式中常數(shù)項＝(－1)322C＋(－1)2×23C＝40. 5．(x2－x＋1)10的展開式中x3項的系數(shù)為(　　) A．－210 B．210 C．30 D．－30 解析：選A.(x2－x＋1)10＝[x2－(x－1)]10＝C(x2)10－C(x2)9(x－1)＋…－Cx2(x－1)9＋C(x－1)10， 所以含x3項的系數(shù)為：－CC＋C(－C)＝－210. 6．(x2＋x＋y)5的展開式中x5y2的系數(shù)為(　　) A．10 B．20 C．30 D．

4、60 解析：選C.(x2＋x＋y)5的展開式的通項為Tr＋1＝C(x2＋x)5－r·yr，令r＝2，則T3＝C(x2＋x)3y2，又(x2＋x)3的展開式的通項為C(x2)3－k·xk＝Cx6－k，令6－k＝5，則k＝1，所以(x2＋x＋y)5的展開式中，x5y2的系數(shù)為CC＝30，故選C. 7．已知(ax＋b)6的展開式中x4項的系數(shù)與x5項的系數(shù)分別為135與－18，則(ax＋b)6的展開式中所有項系數(shù)之和為(　　) A．－1 B．1 C．32 D．64 解析：選D.由二項展開式的通項公式可知x4項的系數(shù)為Ca4b2，x5項的系數(shù)為Ca5b，則由題意可得，解得a＋b＝±2

5、，故(ax＋b)6的展開式中所有項的系數(shù)之和為(a＋b)6＝64，選D. 8．在(1＋x)6(1＋y)4的展開式中，記xmyn項的系數(shù)為f(m，n)，則f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝(　　) A．45 B．60 C．120 D．210 解析：選C.因為f(m，n)＝CC，所以f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝CC＋CC＋CC＋CC＝120. 9．(2020·義烏調(diào)研測試)若(x2－a)的展開式中x6的系數(shù)為30，則a等于(　　) A. B. C．1 D．2 解析：選D.因為展開式的通項公式為Tr＋1＝Cx10－r·

6、＝Cx10－2r，所以(x2－a)的展開式中含x6的項為x2·Cx4－aCx6＝(C－aC)x6，則C－aC＝30，解得a＝2，故選D. 10．(2020·臺州模擬)(x＋2y)7的展開式中，系數(shù)最大的項是(　　) A．68y7 B．112x3y4 C．672x2y5 D．1 344x2y5 解析：選C.設(shè)第r＋1項系數(shù)最大， 則有 即 即解得 又因為r∈Z，所以r＝5.所以系數(shù)最大的項為T6＝Cx2·25y5＝672x2y5.故選C. 11．(2020·金華市東陽二中高三調(diào)研)在二項式的展開式中恰好第5項的二項式系數(shù)最大，則展開式中含x2項的系數(shù)是________．

7、 解析：因為在二項式的展開式中恰好第5項的二項式系數(shù)最大，所以n＝8， 展開式的通項公式為Tr＋1＝C·(－1)r·x8－2r， 令8－2r＝2，則r＝3，所以展開式中含x2項的系數(shù)是－C＝－56. 答案：－56 12．(2020·溫州中學(xué)高三?？?已知(1＋x＋x2)(n∈N*)的展開式中沒有常數(shù)項，且2≤n≤8，則n＝________． 解析：因為的通項公式為Tr＋1＝Cxn－r·x－3r＝Cxn－4r，故當n－4r＝0，－1，－2時存在常數(shù)項，即n＝4r，4r－1，4r－2，故n＝2，3，4，6，7，8時為常數(shù)項，所以當n＝5時沒有常數(shù)項符合題設(shè)． 答案：5 13．若直線

8、x＋ay－1＝0與2x－y＋5＝0垂直，則二項式的展開式中x4的系數(shù)為________． 解析：由兩條直線垂直，得1×2＋a×(－1)＝0，得a＝2，所以二項式為，其通項公式Tr＋1＝C(2x2)5－r·＝(－1)r25－rCx10－3r，令10－3r＝4，解得r＝2，所以二項式的展開式中x4的系數(shù)為23C＝80. 答案：80 14．已知(1＋x)5的展開式中xr(r∈Z且－1≤r≤5)的系數(shù)為0，則r＝________. 解析：依題意，(1＋x)5的展開式的通項公式為Tr＋1＝Cxr，故展開式為(x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1)，故可知展開式中x2的系數(shù)為0，故r＝2.

9、 答案：2 15．(2020·杭州市高考模擬)若(2x－)n的展開式中所有二項式系數(shù)和為64，則n＝________；展開式中的常數(shù)項是________． 解析：因為(2x－)n的展開式中所有二項式系數(shù)和為2n＝64，則n＝6；根據(jù)(2x－)n＝(2x－)6的展開式的通項公式為Tr＋1＝C·(－1)r·(2x)6－r·x－2r＝C·(－1)r·26－r·x6－3r， 令6－3r＝0，求得r＝2，可得展開式中的常數(shù)項是C·24＝240. 答案：6　240 16．(2020·浙江東陽中學(xué)高三檢測)已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，則a0＝________；(a0＋

10、a2＋a4＋a6)2－(a1＋a3＋a5＋a7)2＝________． 解析：由(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7， 觀察：可令x＝0得：(1－2×0)7＝a0＋a1×0＋…＋a7×0＝1，a0＝1. (a0＋a2＋a4＋a6)2－(a1＋a3＋a5＋a7)2＝(a0＋a1＋…＋a7)[a0＋a2＋a4＋a6－(a1＋a3＋a5＋a7)]， 則可令x＝1得： (1－2×1)7＝a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－1， 再可令x＝－1得： (1＋2×1)7＝a0－a1＋a2－a3＋…－a7＝37＝2 187， 可得：(a0＋a2＋a4＋a6)2－(a1＋a3＋a5＋a

11、7)2 ＝－1×2 187＝－2 187. 答案：1?。? 187 17．設(shè)f(x)是(x2＋)6展開式中的中間項，若f(x)≤mx在區(qū)間[，]上恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是________． 解析：(x2＋)6的展開式中的中間項為第四項，即f(x)＝C(x2)3()3＝x3，因為f(x)≤mx在區(qū)間[，]上恒成立，所以m≥x2在[，]上恒成立，所以m≥(x2)max＝5，所以實數(shù)m的取值范圍是 [5，＋∞)． 答案：[5，＋∞) [綜合題組練] 1．C＋C＋…＋C＋…＋C(n∈N*)的值為(　　) A．2n B．22n－1 C．2n－1 D．22n－1－1 解析

12、：選D.(1＋x)2n＝C＋Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2n. 令x＝1，得C＋C＋C＋…＋C＋C＝22n； 再令x＝－1，得C－C＋C－…＋(－1)rC＋…－C＋C＝0. 兩式相加，可得C＋C＋…＋C＝－1＝22n－1－1. 2．(2020·杭州七校聯(lián)考)若(x＋y)9按x的降冪排列的展開式中，第二項不大于第三項，且x＋y＝1，xy<0，則x的取值范圍是(　　) A. B. C. D．(1，＋∞) 解析：選D.二項式(x＋y)9的展開式的通項是 Tr＋1＝C·x9－r·yr. 依題意，有 由此得 解得x>1，即x的取值范圍為(1，＋∞)． 3．若的展開式中前

13、三項的系數(shù)分別為A，B，C，且滿足4A＝9(C－B)，則展開式為x2的系數(shù)為________． 解析：易得A＝1，B＝，C＝＝，所以有4＝9，即n2－7n－8＝0，解得n＝8或n＝－1(舍)．在中，因為通項Tr＋1＝Cx8－r＝·x8－2r，令8－2r＝2，得r＝3，所以展開式中x2的系數(shù)為. 答案： 4．已知(xtan θ＋1)5的展開式中x2的系數(shù)與的展開式中x3的系數(shù)相等，則tan θ＝________． 解析：的通項為Tr＋1＝C·x4－r·，令4－r＝3，則r＝1，所以的展開式中x3的系數(shù)是C·＝5，(xtan θ＋1)5的通項為TR＋1＝C·(xtan θ)5－R，令5－R

14、＝2，得R＝3，所以(xtan θ＋1)5的展開式中x2的系數(shù)是C·tan2θ＝5，所以tan2θ＝，所以tan θ＝±. 答案：± 5．(2020·臺州市書生中學(xué)高三期中)設(shè)m，n∈N，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n. (1)當m＝n＝5時，若f(x)＝a5(1－x)5＋a4(1－x)4＋…＋a1(1－x)＋a0，求a0＋a2＋a4的值； (2)f(x)展開式中x的系數(shù)是9，當m，n變化時，求x2系數(shù)的最小值． 解：(1)當m＝n＝5時，f(x)＝2(1＋x)5， 令x＝0，則f(0)＝a5＋a4＋…＋a1＋a0＝2， 令x＝2，則f(2)＝－a5＋a4－…－a1＋a0＝

15、2×35， 所以a0＋a2＋a4＝＝35＋1＝244. (2)由題意得f(x)展開式中x的系數(shù)是 C＋C＝m＋n＝9， x2系數(shù)為C＋C＝＋＝＝， 又＝＝， 因為m，n∈N，所以當m＝4或m＝5時最小，最小值為16. 6．(2020·金麗衢十二校聯(lián)考)已知. (1)若展開式中第5項，第6項與第7項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中二項式系數(shù)最大項的系數(shù)； (2)若展開式前三項的二項式系數(shù)和等于79，求展開式中系數(shù)最大的項． 解：(1)通項Tr＋1＝C·(2x)r＝22r－nCxr， 由題意知C，C，C成等差數(shù)列， 所以2C＝C＋C，所以n＝14或7. 當n＝14時，第8項的二項式系數(shù)最大，該項的系數(shù)為22×7－14C＝3 432； 當n＝7時，第4、5項的二項式系數(shù)相等且最大， 其系數(shù)分別為22×3－7C＝，22×4－7C＝70. (2)由題意知C＋C＋C＝79， 所以n＝12或n＝－13(舍)． 所以Tr＋1＝22r－12Cxr. 由得所以r＝10. 所以展開式中系數(shù)最大的項為T11＝22×10－12·Cx10＝(2x)10. 8