（江蘇專用）2020版高考數(shù)學一輪復習 加練半小時 專題9 平面解析幾何 第70練 橢圓的定義與標準方程 文（含解析）

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1、第70練 橢圓的定義與標準方程 [基礎保分練] 1.(2018·南京模擬)已知橢圓＋＝1上的一點P到橢圓一個焦點的距離為5，則點P到另一個焦點的距離為________. 2.橢圓E的焦點在x軸上，中心在原點，其短軸上的兩個頂點和兩個焦點恰為邊長是2的正方形的頂點，則橢圓E的標準方程為________. 3.已知橢圓＋＝1上一點M到焦點F1的距離為2，N為MF1的中點，O為坐標原點，則ON＝________. 4.(2019·鎮(zhèn)江模擬)已知P為橢圓C上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓的焦點，且F1F2＝2，若PF1與PF2的等差中項為F1F2，則橢圓C的標準方程為________

2、________. 5.在平面直角坐標系中，A(4,0)，B(－4,0)，且＝，則△ABC的頂點C的軌跡方程為__________________. 6.已知點M(，0)，橢圓＋y2＝1與直線y＝k(x＋)交于點A，B，則△ABM的周長為________. 7.設F1，F(xiàn)2為橢圓＋＝1的左、右焦點，點P在橢圓上，若線段PF1的中點在y軸上，則的值為________. 8.已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓＋＝1的左、右焦點，過點F2的直線交橢圓于A，B兩點.在△AF1B中，若有兩邊之和是10，則第三邊的長為________. 9.(2018·泰州模擬)已知橢圓＋＝1的焦點在x軸

3、上，且焦距為4，則m＝________. 10.在平面直角坐標系xOy中，P是橢圓＋＝1上的一個動點，點A(1,1)，B(0，－1)，則PA＋PB的最大值為________. [能力提升練] 1.P為橢圓C：＋＝1(a>b>0)的一個動點，F(xiàn)為橢圓C的一個焦點，PF的最大值為5，最小值為1，則橢圓C的短軸長為________. 2.已知P為橢圓＋y2＝1上任意一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點，則PF1·PF2的最大值為________. 3.已知橢圓E：＋＝1(a>b>0)的右焦點為F(3,0)，過點F的直線交E于A，B兩點.若AB的中點坐標為(1，－1)，則橢圓

4、E的方程為________. 4.(2018·南通模擬)橢圓＋＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P是橢圓上任意一點，則||·||的取值范圍是________. 5.已知橢圓＋＝1(m>0)的一個焦點是(0,1)，若橢圓上一點P與橢圓的兩個焦點F1，F(xiàn)2構成的△PF1F2的面積為，則點P的坐標是______________. 6.橢圓＋＝1(a>b>0)的上頂點為B，左焦點為F，直線BF與直線x＋y－3＝0垂直，垂足為M，且點B為線段MF的中點，則該橢圓方程為____________. 答案精析 基礎保分練 1.3　2.＋＝1　3.4 4.＋＝1或＋＝1 5.＋

5、＝1(y≠0)　6.8 7. 解析　橢圓＋＝1中，a＝3，b＝，c＝＝2， 由橢圓的定義可得PF1＋PF2＝2a＝6， 由中位線定理可得PF2⊥x軸， 令x＝2，可得y＝±·＝±， 即有PF2＝，PF1＝6－＝， 則＝. 8.6　9.13 10.5 解析　因為橢圓方程為＋＝1， 所以焦點坐標為B(0，－1)和B′(0,1)， 連結PB′，AB′，根據(jù)橢圓的定義，得PB＋PB′＝2a＝4， 可得PB＝4－PB′， 因為PA＋PB＝PA＋(4－PB′) ＝4＋(PA－PB′). 因為PA－PB′≤AB′， 所以PA＋PB≤4＋AB′＝4＋1＝5. 當且僅當點

6、P在AB′延長線上時，等號成立. 綜上所述，PA＋PB的最大值為5. 能力提升練 1.2 解析　F為橢圓C的一個焦點，所以PF的最大值為a＋c＝5， PF的最小值為a－c＝1， 所以a＝3，c＝2， 所以短軸長為2b＝2＝2. 2.4 解析　由橢圓＋y2＝1，可得a＝2， P是橢圓上任意一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩焦點. 由橢圓的定義，得PF1＋PF2＝2a， 設PF1＝m，PF2＝n，即m＋n＝2a＝4， 所以m＋n≥2，當且僅當m＝n時取等號. 所以mn≤4，即PF1·PF2的最大值為4. 故答案為4. 3.＋＝1 解析　因為直線AB過點F(3,0)和點(1

7、，－1)， 所以直線AB的方程為y＝(x－3)， 代入橢圓方程＋＝1， 消去y，得x2－a2x＋a2－a2b2＝0， 所以AB中點的橫坐標為 ＝1，即a2＝2b2， 又a2＝b2＋c2，c2＝9， 所以b2＝9，a2＝18， 即橢圓E的方程為＋＝1. 4.[3,4] 解析　由橢圓定義，知||＋|| ＝4， 且橢圓＋＝1的長軸長為4，焦距為2， 所以1≤||≤3.令||＝t， 則||＝4－t. 令f(t)＝||·||＝t(4－t)＝－t2＋4t，t∈[1,3]， 由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)f(t)在t＝2處取得最大值， 即f(t)max＝f(2)＝－22＋4×2

8、＝4， 函數(shù)f(t)在t＝1或t＝3處取得最小值， 由于f(1)＝f(3)＝3， 故f(t)min＝3，即||·||的取值范圍是[3,4]. 5.(±，0) 解析　由題意知焦點在y軸上， 所以a2＝3，b2＝m， 由b2＝a2－c2＝2，得m＝2， 由S＝F1F2×|xP|＝， 得xP＝±，代入橢圓方程得yP＝0， 故點P的坐標是(±，0). 6.＋＝1 解析　設F(－c,0)，B(0，b)，因為直線BF與x＋y－3＝0垂直， 得kBF＝＝1， 即b＝c，又點B為線段MF的中點，由中點坐標公式可得M(b,2b)，代入直線x＋y－3＝0， 可得b＝c＝， 又a2＝b2＋c2，則a＝2，所以橢圓方程為＋＝1， 故答案為＋＝1. 6