2019年高考數(shù)學(xué) 高考題和高考模擬題分項版匯編 專題08 數(shù)列 理（含解析）

專題08 數(shù)列1【2019年高考全國I卷理數(shù)】記為等差數(shù)列的前n項和已知，則ABCD【答案】A【解析】由題知，解得，,故選A【名師點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列通項公式與前n項和公式，滲透方程思想與數(shù)學(xué)計算等素養(yǎng)利用等差數(shù)列通項公式與前n項公式即可列出關(guān)于首項與公差的方程，解出首項與公差，再適當(dāng)計算即可做了判斷2【2019年高考全國III卷理數(shù)】已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前4項和為15，且，則A16B8C4D2【答案】C【解析】設(shè)正數(shù)的等比數(shù)列an的公比為，則，解得，故選C【名師點(diǎn)睛】本題利用方程思想求解數(shù)列的基本量，熟練應(yīng)用公式是解題的關(guān)鍵.3【2019年高考浙江卷】設(shè)a，bR，數(shù)列an滿足a1=a，an+1=an2+b，則A當(dāng)B當(dāng)C當(dāng)D當(dāng)【答案】A【解析】當(dāng)b=0時，取a=0，則.當(dāng)時，令，即.則該方程，即必存在，使得，則一定存在，使得對任意成立，解方程，得，當(dāng)時，即時，總存在，使得，故C、D兩項均不正確.當(dāng)時，則，.（）當(dāng)時，則，則，故A項正確.（）當(dāng)時，令，則，所以，以此類推，所以，故B項不正確.故本題正確答案為A.【名師點(diǎn)睛】遇到此類問題，不少考生會一籌莫展.利用函數(shù)方程思想，通過研究函數(shù)的不動點(diǎn)，進(jìn)一步討論的可能取值，利用“排除法”求解.4【2019年高考全國I卷理數(shù)】記Sn為等比數(shù)列an的前n項和若，則S5=_【答案】【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由已知，所以又，所以所以【名師點(diǎn)睛】準(zhǔn)確計算，是解答此類問題的基本要求本題由于涉及冪的乘方運(yùn)算、繁分式的計算，部分考生易出現(xiàn)運(yùn)算錯誤5【2019年高考全國III卷理數(shù)】記Sn為等差數(shù)列an的前n項和，則_.【答案】4【解析】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,因，所以，即，所以【名師點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)、基本量的計算滲透了數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)使用轉(zhuǎn)化思想得出答案6【2019年高考北京卷理數(shù)】設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若a2=3，S5=10，則a5=_，Sn的最小值為_【答案】 0，.【解析】等差數(shù)列中,得又,所以公差,由等差數(shù)列的性質(zhì)得時,時,大于0,所以的最小值為或,即為.【名師點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式求和公式等差數(shù)列的性質(zhì),難度不大,注重重要知識基礎(chǔ)知識基本運(yùn)算能力的考查.7【2019年高考江蘇卷】已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前n項和.若，則的值是_.【答案】16【解析】由題意可得：，解得：，則.【名師點(diǎn)睛】等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本計算問題，是高考必考內(nèi)容，解題過程中要注意應(yīng)用函數(shù)方程思想，靈活應(yīng)用通項公式、求和公式等，構(gòu)建方程（組），如本題，從已知出發(fā)，構(gòu)建的方程組.8【2019年高考全國II卷理數(shù)】已知數(shù)列an和bn滿足a1=1，b1=0，.（I）證明：an+bn是等比數(shù)列，anbn是等差數(shù)列；（II）求an和bn的通項公式.【答案】（I）見解析；（2），.【解析】（1）由題設(shè)得，即又因為a1+b1=l，所以是首項為1，公比為的等比數(shù)列由題設(shè)得，即又因為a1b1=l，所以是首項為1，公差為2的等差數(shù)列（2）由（1）知，所以，9【2019年高考北京卷理數(shù)】已知數(shù)列an，從中選取第i1項、第i2項、第im項（i1<i2<<im），若，則稱新數(shù)列為an的長度為m的遞增子列規(guī)定：數(shù)列an的任意一項都是an的長度為1的遞增子列（）寫出數(shù)列1，8，3，7，5，6，9的一個長度為4的遞增子列；（）已知數(shù)列an的長度為p的遞增子列的末項的最小值為，長度為q的遞增子列的末項的最小值為若p<q，求證：<；（）設(shè)無窮數(shù)列an的各項均為正整數(shù)，且任意兩項均不相等若an的長度為s的遞增子列末項的最小值為2s1，且長度為s末項為2s1的遞增子列恰有2s-1個（s=1，2，），求數(shù)列an的通項公式【答案】() 1,3,5,6（答案不唯一）；()見解析；()見解析.【解析】（）1，3，5，6.（答案不唯一）（）設(shè)長度為q末項為的一個遞增子列為.由p<q，得.因為的長度為p的遞增子列末項的最小值為，又是的長度為p的遞增子列，所以.所以·（）由題設(shè)知，所有正奇數(shù)都是中的項.先證明：若2m是中的項，則2m必排在2m1之前（m為正整數(shù)）.假設(shè)2m排在2m1之后.設(shè)是數(shù)列的長度為m末項為2m1的遞增子列，則是數(shù)列的長度為m+1末項為2m的遞增子列.與已知矛盾.再證明：所有正偶數(shù)都是中的項.假設(shè)存在正偶數(shù)不是中的項，設(shè)不在中的最小的正偶數(shù)為2m.因為2k排在2k1之前（k=1，2，m1），所以2k和不可能在的同一個遞增子列中.又中不超過2m+1的數(shù)為1，2，2m2，2m1，2m+1，所以的長度為m+1且末項為2m+1的遞增子列個數(shù)至多為.與已知矛盾.最后證明：2m排在2m3之后（m2為整數(shù)）.假設(shè)存在2m（m2），使得2m排在2m3之前，則的長度為m+1且末項為2m+l的遞增子列的個數(shù)小于.與已知矛盾.綜上，數(shù)列只可能為2，1，4，3，2m3，2m，2m1，.經(jīng)驗證，數(shù)列2，1，4，3，2m3，2m，2m1，符合條件.所以【名師點(diǎn)睛】“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解.但是，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬變才是制勝法寶.10【2019年高考天津卷理數(shù)】設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列已知（）求和的通項公式；（）設(shè)數(shù)列滿足其中（i）求數(shù)列的通項公式；（ii）求【答案】（）；（）（i）（ii）【解析】（）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為依題意得解得故所以，的通項公式為的通項公式為（）（i）所以，數(shù)列的通項公式為（ii）【名師點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式及其前項和公式等基礎(chǔ)知識考查化歸與轉(zhuǎn)化思想和數(shù)列求和的基本方法以及運(yùn)算求解能力11【2019年高考江蘇卷】定義首項為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“M數(shù)列”.（1）已知等比數(shù)列an滿足：，求證:數(shù)列an為“M數(shù)列”；（2）已知數(shù)列bn滿足:，其中Sn為數(shù)列bn的前n項和求數(shù)列bn的通項公式；設(shè)m為正整數(shù)，若存在“M數(shù)列”cn，對任意正整數(shù)k，當(dāng)km時，都有成立，求m的最大值【答案】（1）見解析；（2）bn=n；5.【解析】解：（1）設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，所以a10，q0.由，得，解得因此數(shù)列為“M數(shù)列”.（2）因為，所以由，得，則.由，得，當(dāng)時，由，得，整理得所以數(shù)列bn是首項和公差均為1的等差數(shù)列.因此，數(shù)列bn的通項公式為bn=n.由知，bk=k，.因為數(shù)列cn為“M數(shù)列”，設(shè)公比為q，所以c1=1，q>0.因為ckbkck+1，所以，其中k=1，2，3，m.當(dāng)k=1時，有q1；當(dāng)k=2，3，m時，有設(shè)f（x）=，則令，得x=e.列表如下：xe(e，+)+0f（x）極大值因為，所以取，當(dāng)k=1，2，3，4，5時，即，經(jīng)檢驗知也成立因此所求m的最大值不小于5若m6，分別取k=3，6，得3q3，且q56，從而q15243，且q15216，所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.綜上，所求m的最大值為5【名師點(diǎn)睛】本題主要考查等差和等比數(shù)列的定義、通項公式、性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查代數(shù)推理、轉(zhuǎn)化與化歸及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識探究與解決問題的能力12【2019年高考浙江卷】設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，數(shù)列滿足：對每個成等比數(shù)列（I）求數(shù)列的通項公式；（II）記證明：【答案】（I），；（II）證明見解析.【解析】（I）設(shè)數(shù)列的公差為d，由題意得，解得從而所以，由成等比數(shù)列得解得所以（II）我們用數(shù)學(xué)歸納法證明（i）當(dāng)n=1時，c1=0<2，不等式成立；（ii）假設(shè)時不等式成立，即那么，當(dāng)時，即當(dāng)時不等式也成立根據(jù)（i）和（ii），不等式對任意成立【名師點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)列求和、數(shù)學(xué)歸納法等基礎(chǔ)知識，同時考查運(yùn)算求解能力和綜合應(yīng)用能力.13【四川省峨眉山市2019屆高三高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題】在等差數(shù)列中，是方程的兩根，則數(shù)列的前11項和等于A66B132C66D 32【答案】D【解析】因為，是方程的兩根，所以，又，所以，故選D.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，等差中項，數(shù)列的求和公式，屬于中檔題.14【四川省百校2019年高三模擬沖刺卷數(shù)學(xué)試題】定義在0,+)上的函數(shù)fx滿足：當(dāng)0x<2時，fx=2x-x2；當(dāng)x2時，fx=3fx-2.記函數(shù)fx的極大值點(diǎn)從小到大依次記為a1,a2,an,并記相應(yīng)的極大值為b1,b2,bn,則a1b1+a2b2+a20b20的值為A19×320+1B19×319+1C20×319+1D20×320+1【答案】A【解析】由題意當(dāng)0x<2時，,極大值點(diǎn)為1，極大值為1，當(dāng)x2時，.則極大值點(diǎn)形成首項為1公差為2 的等差數(shù)列，極大值形成首項為1公比為3 的等比數(shù)列，故an=2n-1.,bn=3n-1,故anbn=2n-13n-1，設(shè)S=a1b1+a2b2+a20b20=11+331+532+39319，3S=131+332+39320，兩式相減得-2S=1+2(31+32+319)-320=1+2×31-3191-3-39320=-2-38320S=19×320+1，故選：A.【名師點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列與函數(shù)綜合,錯位相減求和,確定an及bn的通項公式是關(guān)鍵,考查計算能力,是中檔題.15【福建省2019屆高三畢業(yè)班質(zhì)量檢查測試數(shù)學(xué)試題】數(shù)列an中，a1=2，且，則數(shù)列1(an-1)2前2019項和為A40362019B20191010C40372019D40392020【答案】B【解析】：an+an-1=nan-an-1+2（n2），整理得：an-12-an-1-12=n，an-12-a1-12=n+n-1+2，又a1=2，an-12=nn+12，可得：1an-12=2nn+1=21n-1n+1則數(shù)列1an-12前2019項和為：21-12+12-13+12019-12020=21-12020=20191010故選：B【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列遞推關(guān)系、“累加求和”方法、裂項求和，考查了推理能力、轉(zhuǎn)化能力與計算能力，屬于中檔題16【內(nèi)蒙古2019屆高三高考一模試卷數(shù)學(xué)試題】九章算術(shù)第三章“衰分”介紹比例分配問題：“衰分”是按比例遞減分配的意思,通常稱遞減的比例(百分比)為“衰分比”如：甲、乙、丙、丁“哀”得,個單位,遞減的比例為,今共有糧石,按甲、乙、丙、丁的順序進(jìn)行“衰分”,已知丙衰分得石,乙、丁衰分所得的和為石,則“衰分比”與的值分別為ABCD【答案】A【解析】設(shè)“衰分比”為,甲衰分得石,由題意得,解得,故選A【名師點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列在生產(chǎn)生活中的實際應(yīng)用,是基礎(chǔ)題,解題時要認(rèn)真審題,注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用17【山東省德州市2019屆高三第二次練習(xí)數(shù)學(xué)試題】設(shè)數(shù)列的前n項和為，已知，且，記，則數(shù)列的前10項和為_【答案】200【解析】，且，時，兩式相減可得，（）即時，即，數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別成等比數(shù)列，公比均為2，則數(shù)列，則的前10項和為.故答案為200.【名師點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推公式在數(shù)列的通項公式求解中的應(yīng)用，考查等比數(shù)列的通項公式及數(shù)列的求和方法的應(yīng)用，屬于中檔題.18【廣東省深圳市高級中學(xué)2019屆高三適應(yīng)性考試（6月)數(shù)學(xué)試題】在數(shù)列中，則的值為_【答案】1【解析】因為所以，,各式相加，可得，所以，故答案為1.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查利用遞推關(guān)系求數(shù)列中的項，屬于中檔題.利用遞推關(guān)系求數(shù)列中的項常見思路為：（1）項的序號較小時，逐步遞推求出即可；（2）項的序數(shù)較大時，考慮證明數(shù)列是等差、等比數(shù)列，或者是周期數(shù)列；（3）將遞推關(guān)系變形，利用累加法、累乘法以及構(gòu)造新數(shù)列法求解.19【2019北京市通州區(qū)三模數(shù)學(xué)試題】設(shè)是等比數(shù)列，且，則的通項公式為_【答案】，.【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為，所以，解得，所以，因此，.故答案為，.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列基本量的計算，熟記等比數(shù)列的通項公式即可，屬于?？碱}型.20【重慶西南大學(xué)附屬中學(xué)校2019屆高三第十次月考數(shù)學(xué)試題】已知等差數(shù)列的前項和為，等比數(shù)列的前項和為若，（I）求數(shù)列與的通項公式；（II）求數(shù)列的前項和【答案】（I）；（II）.【解析】（I）由，則，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，所以.所以.設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題，即，所以.所以；（II），所以的前項和為.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列，熟記通項公式、前項和公式即可，屬于?？碱}型.21【山東省煙臺市2019屆高三3月診斷性測試數(shù)學(xué)試題】已知等差數(shù)列的公差是1，且，成等比數(shù)列（I）求數(shù)列的通項公式；（II）求數(shù)列的前項和【答案】（I）；（II）.【解析】（I）因為是公差為1的等差數(shù)列，且，成等比數(shù)列，所以，即，解得.所以.（II），兩式相減得，所以.所以.【名師點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式、錯位相減法，考查了推理能力與計算能力，屬于?？碱}型22【安徽省1號卷A10聯(lián)盟2019年高考最后一卷數(shù)學(xué)試題】已知等差數(shù)列滿足，且是的等比中項.（I）求數(shù)列的通項公式；（II）設(shè)，數(shù)列的前項和為，求使成立的最大正整數(shù)的值【答案】（I）.（II）8.【解析】（I）設(shè)等差數(shù)列的公差為，即，是，的等比中項，即，解得.數(shù)列的通項公式為.（II）由（I）得.，由，得.使得成立的最大正整數(shù)的值為.【名師點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列通項公式以及裂項相消法求和，考查基本分析求解能力，屬中檔題.23【重慶一中2019屆高三下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題】已知數(shù)列滿足：，數(shù)列中，且，成等比數(shù)列.（I）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（II）若是數(shù)列的前項和，求數(shù)列的前項和.【答案】（I）見解析；（II）.【解析】（I），數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列；（II）由題意可得，即，所以，所以，.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列性質(zhì)的證明，考查等差數(shù)列的前n項和的求法，考查裂項相消法求和，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.18