2022年暑期預(yù)習(xí)必修第一冊(cè)第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式 同步練習(xí)（Word版含解析）

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1、人教A版（2019）必修第一冊(cè) 第二章 一元二次函數(shù)、方程和不等式 一、單選題 1．已知兩個(gè)正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值是（???????） A． B． C．8 D．3 2．若，則的最小值為（???????） A． B． C． D． 3．若正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（???????） A．2 B． C．5 D． 4．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線與橢圓E交于A，B兩點(diǎn).若四邊形面積的最大值為8，則a的最小值為（???????） A． B．2 C． D．4 5．已知，滿足，則的最小值為（???????） A． B．4 C． D． 6．在R上定義運(yùn)算：a⊕b＝(a＋1)

2、b.已知1≤x≤2時(shí)，存在x使不等式(m－x)⊕(m＋x)<4成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（???????） A．{m|－2－b D． 8．若0

3、 D． 11．若不等式對(duì)任意的恒成立，則（???????） A．， B．， C．， D．， 12．若不等式對(duì)于一切恒成立，則的最小值是（???????） A．0 B． C． D． 二、填空題 13．給出下列命題：①，；②，；③，；④，.其中正確的命題序號(hào)是________． 14．正實(shí)數(shù) 滿足：，則的最小值為_____. 15．已知不等式x2+ax+b≥0的解集為{x|x≤2或x≥3}，則a+b＝_____． 16．《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架，其中卷第九勾股中記載：“今有邑，東西七里，南北九里，各中開門．出東門一十五里有木．問出南門

4、幾何步而見木?”其算法為：東門南到城角的步數(shù)，乘南門東到城角的步數(shù)，乘積作被除數(shù)，以樹距離東門的步數(shù)作除數(shù)，被除數(shù)除以除數(shù)得結(jié)果，即出南門里見到樹，則．若一小城，如圖所示，出東門步有樹，出南門步能見到此樹，則該小城的周長的最小值為（注：里步）________ 里. 三、解答題 17．（1）解這個(gè)關(guān)于x的不等式. （2）若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 18．（1）設(shè)，，證明：； （2）設(shè)，，，證明：. 19．已知不等式>0()． （1）解這個(gè)關(guān)于 的不等式； （2）若當(dāng) 時(shí)不等式成立，求 的取值范圍． 20．某汽車公司購買了輛大客車用于長途客運(yùn)，每輛萬元，

5、預(yù)計(jì)每輛客車每年收入約萬元，每輛客車第一年各種費(fèi)用約為萬元，從第二年開始每年比上一年所需費(fèi)用要增加萬元. （1）寫出輛客車運(yùn)營的總利潤(萬元)與運(yùn)營年數(shù)的函數(shù)關(guān)系式： （2）這輛客車運(yùn)營多少年，可使年平均運(yùn)營利潤最大？最大利潤是多少？ 21．求不等式的解集. 參考答案： 1．A 根據(jù)題中條件，得到，展開后根據(jù)基本不等式，即可得出結(jié)果. 【詳解】 因?yàn)檎龑?shí)數(shù)滿足， 則， 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立. 故選：． 易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)； （2）“二定”就是要求和的最

6、小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方. 2．C 利用基本不等式即可求解. 【詳解】 解：， ， 則， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立， 故的最小值為， 故選：． 3．C 化簡，然后利用基本不等式求解即可 【詳解】 根據(jù)題意，若正實(shí)數(shù)，滿足， 則， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立， 即的最小值為5； 故選：C 此題考查基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題 4．C 當(dāng)直線

7、與x軸垂直，即時(shí)，四邊形的面積最大，由面積公式及基本不等式求解即可. 【詳解】 設(shè)橢圓E的半焦距為c.直線過原點(diǎn)， 當(dāng)其與x軸垂直，即時(shí)，四邊形的面積最大，此時(shí)， 所以， 所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立. 故 故選：C 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，利用基本不等式求最值，屬于中檔題. 5．C 由題意可得，結(jié)合目標(biāo)式即可構(gòu)造出，進(jìn)而利用基本不等式求的最小值 【詳解】 由知：，而， ∴，則 ∴ 故選：C 本題考查了利用基本不等式求最值，由已知方程得到目標(biāo)式的等價(jià)形式，應(yīng)用等價(jià)代換構(gòu)造出基本不等式的形式求最值 6．C 根據(jù)定義求出(m－x)⊕(m

8、＋x)＝m2－x2＋m＋x，將不等式分離參數(shù)后，轉(zhuǎn)化為最大值使不等式成立，根據(jù)二次函數(shù)求出最大值后，解一元二次不等式即可得解. 【詳解】 依題意得(m－x)⊕(m＋x)＝(m－x＋1)(m＋x)＝m2－x2＋m＋x， 因?yàn)?≤x≤2時(shí)，存在x使不等式(m－x)⊕(m＋x)<4成立， 所以存在1≤x≤2，使不等式m2＋m

9、，考查了一元二次不等式的解法，屬于中檔題. 7．B 根據(jù)不等式的性質(zhì)即可依次判斷. 【詳解】 對(duì)A，因?yàn)閍0時(shí)選項(xiàng)B成立，其余情況不成立，則選項(xiàng)B不正確，符合題意； 對(duì)C，|a|＝－a>－b，則選項(xiàng)C正確，不符合題意； 對(duì)D，由－a>－b>0，可得，則選項(xiàng)D正確，不符合題意. 故選：B. 8．D 利用一元二次不等式的解法即可求解. 【詳解】 ∵01>m， 故原不等式的解集為， 故選：D． 9．C 依題意可得，則，再利用基本不等式計(jì)算可得； 【詳解】 解：因?yàn)榍?，所以，所?

10、當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)； 所以的最小值為 故選：C 利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)； （2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方 10．D 令，則，由權(quán)方和不等式和基本不等式得，即可求解． 【詳解】 由得 因?yàn)椋?，則 令 則化為恒成立， 由權(quán)方和不等式得 當(dāng)且僅當(dāng)，得即

11、時(shí)等號(hào)成立． 所以 故選：D 11．B 由選項(xiàng)可知，故原不等式等價(jià)于 ，當(dāng)時(shí)，不滿足題意，故，再由二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解 【詳解】 由選項(xiàng)可知，故原不等式等價(jià)于 ， 當(dāng)時(shí)，顯然不滿足題意，故， 由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，此時(shí)必有，即， 故選：B 12．C 采用分離參數(shù)將問題轉(zhuǎn)化為“對(duì)一切恒成立”，再利用基本不等式求解出的最小值，由此求解出的取值范圍. 【詳解】 因?yàn)椴坏仁綄?duì)于一切恒成立， 所以對(duì)一切恒成立， 所以， 又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以， 所以，所以的最小值為， 故選：C. 本題考查利用基本不等式求解最值，涉及不等式在給定區(qū)間上的恒成

12、立問題，難度一般.不等式在給定區(qū)間上恒成立求解參數(shù)范圍的兩種方法：參變分離法、分類討論法. 13．②③ 利用不等式的性質(zhì)或取特殊值代入逐個(gè)判斷即可. 【詳解】 ①當(dāng)時(shí)不成立；②一定成立；③當(dāng)時(shí)，成立；④當(dāng)時(shí)，不一定成立，如：，但. 故答案為：②③. 本題主要考查與不等式的性質(zhì)有關(guān)的命題真假的判斷，屬常規(guī)考題. 14．9 根據(jù)題意，可得，然后再利用基本不等式，即可求解. 【詳解】 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號(hào)． 故答案為：9． 本題主要考查利用基本不等式求最值，屬于基礎(chǔ)題． 15．1 根據(jù)不等式的解集可得方程x2+ax+b＝0的兩根為x＝2或x＝3

13、，最后利用根與系數(shù)的關(guān)系建立等式，解之即可． 【詳解】 ∵不等式x2+ax+b≥0解集為{x|x≤2或x≥3}， 故方程x2+ax+b＝0的兩根為x＝2或x＝3， 由根與系數(shù)的關(guān)系可得，∴，∴a+b＝1． 故答案為：1． 16． 根據(jù)題意得出，進(jìn)而可得出，結(jié)合基本不等式求的最小值即可. 【詳解】 因?yàn)槔锊?，由圖可知，步里，步里， ，則，且， 所以，，所以，，則， 所以，該小城的周長為（里）. 故答案為：. 易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)； （2）“二定”就是要求和的最

14、小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方. 17．（1）答案見解析；（2）. (1)按實(shí)數(shù)a與1的大小關(guān)系分類討論求解即得； (2)時(shí)，求出的最小值得關(guān)系a的不等式，求解即可作答. 【詳解】 （1）原不等式可化為， 時(shí)，解不等式得或， 時(shí)，不等式恒成立，即， 時(shí)，解不等式得或， 綜上：時(shí)解集為或，時(shí)解集為R，時(shí)解集為或； （2）因時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”， 又不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒

15、成立，即有，解得， 所以實(shí)數(shù)a的取值范圍. 18．（1）證明見解析；（2）證明見解析. （1）根據(jù)作差法證明即可； （2）由于，故，再結(jié)合（1）的結(jié)論易證. 【詳解】 證明：（1）因?yàn)?，，所以，? 所以， 故得證； （2）由不等式的性質(zhì)知，， 所以， 又因?yàn)楦鶕?jù)（1）的結(jié)論可知，， 所以. 所以. 19．（1）答案見解析；（2） ． （1）根據(jù)同號(hào)得正異號(hào)得負(fù)，轉(zhuǎn)化為 ，討論二次項(xiàng)系數(shù)，解出不等式的解集； （2）根據(jù)不等式成立，得到關(guān)于 的不等式，求出 的范圍. 【詳解】 解（1）原不等式等價(jià)于． ①當(dāng) 時(shí)，由 ，得． ②當(dāng) 時(shí)，不等式可

16、化為 ， 解得 或 ． ③當(dāng) 時(shí)，不等式可化為． 若 ，即 ，則 ； 若，即a＝－1，則不等式的解集為空集； 若，即a<－1，則． 綜上所述，當(dāng) 時(shí)，不等式的解集為 ； 當(dāng) 時(shí)，不等式解集為 ； 當(dāng) 時(shí)，不等式的解集為； 當(dāng) 時(shí)，不等式的解集為； 當(dāng) 時(shí)，不等式的解集為 ． （2）∵當(dāng) 時(shí)不等式成立， ∴ ，則 ， ∴ ，即 的取值范圍為 ． 20．（1）；（2）這4輛客車運(yùn)營年，可使年平均運(yùn)營利潤最大，最大利潤為48萬元. （1）由題知，每輛車年總收入為萬元，總支出為，進(jìn)而得利潤的表達(dá)式； （2）結(jié)合（1）得年平均運(yùn)營利潤為，再根據(jù)基本不等式求解即可得答案. 【詳解】 解：（1）依題意得，每輛車年總收入為萬元， 總支出為， 所以輛客車運(yùn)營的總利潤. （2）年平均運(yùn)營利潤為， 因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立， 此時(shí)， 所以這4輛客車運(yùn)營年，可使年平均運(yùn)營利潤最大，最大利潤為48萬元. 21．,或. 因?yàn)榉匠痰母呛瘮?shù)的零點(diǎn),先求出的根,再根據(jù)函數(shù)圖象得到的解集. 【詳解】 對(duì)于方程 則,所以方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根. 則 解得, 畫出二次函數(shù)的圖象如下圖所示: 結(jié)合圖象可知不等式的解集為,或 本題考查了一元二次不等式的解法,一元二次不等式與一元二次方程的關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.