（新課標 全國I卷）2010-2019學年高考數(shù)學 真題分類匯編 專題17 坐標系與參數(shù)方程 文（含解析）

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1、專題17 坐標系與參數(shù)方程 坐標系與參數(shù)方程大題：10年10考，而且是作為2個選做題之一出現(xiàn)的，主要考查兩個方面：一是極坐標方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，二是極坐標方程與參數(shù)方程的簡單應(yīng)用，難度較?。? 1．（2019年）在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為2ρcosθ+ρsinθ+11＝0． （1）求C和l的直角坐標方程； （2）求C上的點到l距離的最小值． 【解析】（1）由（t為參數(shù)），得， 兩式平方相加，得（x≠﹣1）， ∴C的直角坐標方程為（x≠﹣1）， 由2ρcosθ+ρsinθ+11＝0

2、，得， 即直線l的直角坐標方程為得． （2）法一、設(shè)C上的點P（cosθ，2sinθ）（θ≠π）， 則P到直線的距離為： d＝＝． ∴當sin（θ+φ）＝﹣1時，d有最小值為． 法二、設(shè)與直線平行的直線方程為， 聯(lián)立，得16x2+4mx+m2﹣12＝0． 由△＝16m2﹣64（m2﹣12）＝0，得m＝±4． ∴當m＝4時，直線與曲線C的切點到直線的距離最小，為． 2．（2018年）在直角坐標系xOy中，曲線C1的方程為y＝k|x|+2．以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ2+2ρcosθ﹣3＝0． （1）求C2的直角坐標方程； （2）

3、若C1與C2有且僅有三個公共點，求C1的方程． 【解析】（1）曲線C2的極坐標方程為ρ2+2ρcosθ﹣3＝0． 轉(zhuǎn)換為直角坐標方程為：x2+y2+2x﹣3＝0， 轉(zhuǎn)換為標準式為：（x+1）2+y2＝4． （2）由于曲線C1的方程為y＝k|x|+2，則：該射線關(guān)于y軸對稱，且恒過定點（0，2）． 由于該射線與曲線C2的極坐標有且僅有三個公共點． 所以必有一直線相切，一直線相交． 則圓心到直線y＝kx+2的距離等于半徑2． 故，或， 解得：k＝或0， 當k＝0時，不符合條件，故舍去， 同理解得：k＝或0， 經(jīng)檢驗，直線與曲線C2沒有公共點． 故C1的方程為． 3．（2

4、017年）在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）． （1）若a＝﹣1，求C與l的交點坐標； （2）若C上的點到l距離的最大值為，求a． 【解析】（1）曲線C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），化為標準方程是+y2＝1； a＝﹣1時，直線l的參數(shù)方程化為一般方程是：x+4y﹣3＝0； 聯(lián)立方程， 解得或， 所以橢圓C和直線l的交點為（3，0）和（，）． （2）l的參數(shù)方程（t為參數(shù)）化為一般方程是x+4y﹣a﹣4＝0， 橢圓C上的任一點P可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π）， 所以點P到直線l的距離d＝＝，φ滿足tanφ＝

5、，且d的最大值為． ①當﹣a﹣4≤0時，即a≥﹣4時，|5sin（θ+φ）﹣a﹣4|≤|﹣5﹣a﹣4|＝|5+a+4|＝17， 解得a＝8和﹣26，a＝8符合題意． ②當﹣a﹣4＞0時，即a＜﹣4時，|5sin（θ+φ）﹣a﹣4|≤|5﹣a﹣4|＝|5﹣a﹣4|＝17， 解得a＝﹣16和18，a＝﹣16符合題意． 4．（2016年）在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，a＞0）．在以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：ρ＝4cosθ． （1）說明C1是哪種曲線，并將C1的方程化為極坐標方程； （2）直線C3的極坐標方程為θ＝α0，其中α0滿足t

6、anα0＝2，若曲線C1與C2的公共點都在C3上，求a． 【解析】（1）由，得，兩式平方相加得，x2+（y﹣1）2＝a2． ∴C1為以（0，1）為圓心，以a為半徑的圓． 化為一般式：x2+y2﹣2y+1﹣a2＝0．① 由x2+y2＝ρ2，y＝ρsinθ，得ρ2﹣2ρsinθ+1﹣a2＝0； （2）C2：ρ＝4cosθ，兩邊同時乘ρ得ρ2＝4ρcosθ， ∴x2+y2＝4x，② 即（x﹣2）2+y2＝4． 由C3：θ＝α0，其中α0滿足tanα0＝2，得y＝2x， ∵曲線C1與C2的公共點都在C3上， ∴y＝2x為圓C1與C2的公共弦所在直線方程， ①﹣②得：4x﹣2y+1

7、﹣a2＝0，即為C3 ， ∴1﹣a2＝0， ∴a＝1（a＞0）． 5．（2015年）在直角坐標系xOy中，直線C1：x＝﹣2，圓C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系． （1）求C1，C2的極坐標方程； （2）若直線C3的極坐標方程為θ＝（ρ∈R），設(shè)C2與C3的交點為M，N，求△C2MN的面積． 【解析】（1）由于x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴C1：x＝﹣2 的極坐標方程為 ρcosθ＝﹣2， 故C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1的極坐標方程為：（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ﹣2）2＝1， 化簡可得ρ2﹣（2ρcosθ

8、+4ρsinθ）+4＝0． （2）把直線C3的極坐標方程θ＝（ρ∈R）代入圓C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1， 可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4＝0， 求得ρ1＝，ρ2＝， ∴|MN|＝|ρ1﹣ρ2|＝，由于圓C2的半徑為1，∴C2M⊥C2N， △C2MN的面積為＝＝． 6．（2014年）已知曲線C：＝1，直線l：（t為參數(shù)）． （1）寫出曲線C的參數(shù)方程，直線l的普通方程； （2）過曲線C上任意一點P作與l夾角為30°的直線，交l于點A，求|PA|的最大值與最小值． 【解析】（1）對于曲線C：＝1，可令x＝2cosθ、y＝3sinθ， 故曲線C的參數(shù)方

9、程為（θ為參數(shù)）． 對于直線l：， 由①得：t＝x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6＝0； （2）設(shè)曲線C上任意一點P（2cosθ，3sinθ）． P到直線l的距離為． 則，其中α為銳角． 當sin（θ+α）＝﹣1時，|PA|取得最大值，最大值為． 當sin（θ+α）＝1時，|PA|取得最小值，最小值為． 7．（2013年）已知曲線C1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ＝2sinθ． （1）把C1的參數(shù)方程化為極坐標方程； （2）求C1與C2交點的極坐標（ρ≥0，0≤θ＜2π）． 【解析】（1）將，消去參數(shù)

10、t，化為普通方程（x﹣4）2+（y﹣5）2＝25， 即C1：x2+y2﹣8x﹣10y+16＝0， 將代入x2+y2﹣8x﹣10y+16＝0， 得ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16＝0． ∴C1的極坐標方程為ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16＝0． （2）∵曲線C2的極坐標方程為ρ＝2sinθ． ∴曲線C2的直角坐標方程為x2+y2﹣2y＝0， 聯(lián)立， 解得或， ∴C1與C2交點的極坐標為（，）和（2，）． 8．（2012年）已知曲線C1的參數(shù)方程是（φ為參數(shù)），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立坐標系，曲線C2的坐標系方程是ρ＝2，正方形ABCD的頂點都在

11、C2上，且A，B，C，D依逆時針次序排列，點A的極坐標為（2，）． （1）求點A，B，C，D的直角坐標； （2）設(shè)P為C1上任意一點，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范圍． 【解析】（1）點A，B，C，D的極坐標為（2，），（2，），（2，），（2，）， 點A，B，C，D的直角坐標為（1，），（，1），（，），（，）． （2）設(shè)P（x0，y0），則（為參數(shù)）， t＝|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2＝4x2+4y2+16＝32+20sin2φ， ∵sin2φ∈[0，1]， ∴t∈[32，52]． 9．（2011年）在直角坐標系xOy中，曲線C

12、1的參數(shù)方程為（α為參數(shù)）M是C1上的動點，P點滿足，P點的軌跡為曲線C2． （1）求C2的方程； （2）在以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，射線θ＝與C1的異于極點的交點為A，與C2的異于極點的交點為B，求|AB|． 【解析】（1）設(shè)P（x，y），則由條件知M（，）．由于M點在C1上， 所以，即， 從而C2的參數(shù)方程為（α為參數(shù)） （2）曲線C1的極坐標方程為ρ＝4sinθ，曲線C2的極坐標方程為ρ＝8sinθ． 射線θ＝與C1的交點A的極徑為ρ1＝4sin， 射線θ＝與C2的交點B的極徑為ρ2＝8sin． 所以|AB|＝|ρ2﹣ρ1|＝． 10．（2010年

13、）已知直線C1：（t為參數(shù)），C2：（θ為參數(shù)）． （1）當α＝時，求C1與C2的交點坐標； （2）過坐標原點O做C1的垂線，垂足為A，P為OA中點，當α變化時，求P點的軌跡的參數(shù)方程，并指出它是什么曲線． 【解析】（1）當α＝時，C1的普通方程為，C2的普通方程為x2+y2＝1． 聯(lián)立方程組， 解得C1與C2的交點為（1，0），（，）． （2）C1的普通方程為xsinα﹣ycosα﹣sinα＝0①． 則OA的方程為xcosα+ysinα＝0②， 聯(lián)立①②可得x＝sin2α，y＝﹣cosαsinα； A點坐標為（sin2α，﹣cosαsinα）， 故當α變化時，P點軌跡的參數(shù)方程為 （為參數(shù)）， P點軌跡的普通方程為． 故P點軌跡是圓心為（，），半徑為的圓． 8